Macroeconomia

Macroeconomia: modello reddito-spesa

Consideriamo la funzione dei consumi aggregati composta da una componente autonoma e da una componente che dipende dal reddito.

Consumi: C = Ċ + cY

• Dove C è la spesa dei consumi del settore privato
• Ċ è spesa autonoma per il consumo
• c è la propensione al consumo compresa tra 0 e 1
• Y è il reddito (PIL).

dY

Possiamo quindi definire la domanda aggregata: = C + I + G

• I = spesa per investimenti, per ipotesi è esogena
• G = spesa pubblica, anch'essa ipotizzata esogena

dY

In equilibrio avremo che = Y

Quindi:

Y = C + I + G = Ċ + cY + Ī + Ḡ

Y* = Ċ + Ī + Ḡ / 1-c (reddito di equilibrio)

C + I + G

Y *= 1 − c Y^d = Y

Graficamente avremo:

Y^d = Ċ+Ī+Ḡ) cY

Y^d E Y

Y*

I I

Ipotizziamo un aumento degli investimenti da a1 2

dY

Dato Ī1: = (Ċ + Ī1 + Ḡ) + cyt

In equilibrio: Y*1 = (Ċ + Ī1 + Ḡ )/ 1-c

I > I

Dato allora Y*2 = Ċ + Ī2 + Ḡ / 1-c

2 1

Indicando con ∆Y* la variazione del reddito di equilibrio a seguito della variazione degli investimenti ∆Y* = Y*2 - Y*1 = Ċ + Ī2 + Ḡ /1-c ] - [Ċ + Ī1 + Ḡ/1-c] = Ī2 - Ī1 /1-c

Ī2 - Ī1 = ∆I

Quindi ∆Y* = ∆Ī / 1-c

Dove 1/1-c è il moltiplicatore (mostra di quanto varia il reddito per ogni unità di variazione degli investimenti). Data 0<c<1 allora k = 1/1-c >1, quindi per una variazione unitaria degli investimenti I si osserva una variazione più che proporzionale del reddito di equilibrio.

Graficamente avremo:

Y^d E2

E1

∆I { 45° Pagina 1

Y

Y*2

Y*1

Dato l’aumento degli investimenti osserviamo che la funzione di domanda aggregata trasla verso l’alto, infatti la domanda aggregata varia esattamente dello stesso ammontare degli investimenti.

Data la domanda aggregata Y^d2 e il livello di produzione Y*1, sul mercato dei beni si verifica un eccesso di domanda. Allora le imprese andranno ad aumentare la produzione per colmare l’eccesso di domanda e il processo continuerà fino al nuovo equilibrio E2.

Se tale meccanismo di aggiustamento è immediato, cioè quando aumentano gli investimenti simultaneamente il sistema economico passa da un equilibrio ad un altro, allora si afferma che il modello è statico. Nella realtà tale aggiustamento non è necessariamente immediato, ma può portarsi per tempo, infatti esiste un processo dinamico tra un equilibrio ed un altro.

Andiamo quindi ad osservare la dinamica che vi è tra il passaggio dall’equilibrio E1 all’equilibrio E2. Ci riferiamo alla dinamica quando vogliamo comprendere il processo di aggiustamento che avviene nel tempo, bisogna quindi specificare la variabile di interesse in ogni punto nel tempo.

Modello dinamico

Un equilibrio in questo contesto rappresenta una situazione in cui il modello economico si posiziona a meno di cambiamenti che perturbano questa situazione.

Se nel modello statico si studia solo l’esistenza dell’equilibrio, nel modello dinamico si afferma se un equilibrio è stabile o instabile. Un equilibrio si dice stabile se la variabile di interesse nel tempo tende al valore di equilibrio, viceversa è instabile. È importante capire se l’equilibrio è stabile o meno, perchè se l’equilibrio è stabile a fronte di una perturbazione, nel tempo l’economia arriverà all’equilibrio; mentre se l’equilibrio è instabile a fronte di un cambiamento non si arriverà mai a tale equilibrio nel tempo.

Modello reddito-spesa dinamico

La spesa per consumi derivati al periodo t è una funzione del reddito dello stesso periodo.

Investimenti e spesa pubblica continuano ad essere esogeni e quindi costanti nel tempo, a meno di cambiamenti esterni nel tempo. Inoltre la domanda aggregata al periodo t è funzione di tutte le voci di spesa allo stesso in t.

Quindi:

YCt = Ċ + c t

dY = Ċt + Ī + Ḡt

Ipotizziamo inoltre che la produzione si aggiusta lentamente in risposta a cambiamenti dal lato della domanda, quindi si aggiusta proporzionalmente di un fattore dell’eccesso di domanda o di offerta.

Considerati due periodi successivi: t e t+1

dΔY Y Y Y Y= - = ( - ) [se tra parentesi il termine è positivo avremo un eccesso di domanda]

t+1 t+1 t t t

>0

Quindi:

dY Y Y= + (1-)t+1 t t

dΔY Y Y Y Y

In equilibrio = 0, ossia = = Y* allora = per ogni istante temporale

t+1 t+1 t t t

Questa è la medesima condizione del modello statico.

dC Y

Sostituendo in , avremo che:

t t

dY = Ċ + cYt + Ī + Ḡ

t

ΔY Y[(Ċ= + cYt + Ī + Ḡ) - ]

t+1 t

ΔY Y (1-c)= (Ċ + Ī+ Ḡ) - (1)

t+1 t

Verifichiamo che l’equilibrio del modello dinamico è il medesimo di quello dell’equilibrio statico.

Nel modello dinamico in equilibrio ∆Y+1 = 0, quindi la (1) in equilibrio è:

Y(Ċ + Ī + Ḡ) - (1-c) = 0

t

Y* = Ċ + Ī + Ḡ /1-c [i due equilibri coincidono] Pagina 2

NB; stiamo considerando il modello in tempo discreto, nella quale si ipotizza che il tempo sia suddiviso in intervalli di lunghezza predeterminata.

Per studiare la dinamica del modello, ossia il processo di aggiustamento verso o no l’equilibrio, dobbiamo definire la relazione (1), come un equazione alle differenze.

Dara la (1):

ΔY Y Y Y(Ċ+Ī+Ḡ) (1-c)= - = -

t+1 t+1 t t

ΔY Y(Ċ+Ī+Ḡ)= + [1- (1-c)]

t+1 t

Questa è un equazione alle differenze del primo ordine e di primo grado, che descrive la dinamica nel tempo della variabile Y.

(Ċ+Ī+Ḡ) è l’intercetta Y Y

sul piano ;

t t+1

1-(1-c) è la pendenza

Dalla matematica sappiamo che l’equilibrio, chiamato stato stazionario o steady state, è stabile se la pendenza è compresa tra -1 e 1.

>0

1- (1-c) < 1 essendo e 0<c<1

1-(1-c) < 0 È sempre vero

1-(1-c) > -1

se e solo se:

(1-c) < 2 ¯

Quindi: < 2/1-c =

Affinché l’equilibrio sia stabile deve valere questa condizione: ¯<

Se vale tale condizione l’equilibrio è stabile, quindi il sistema economico converge a tale equilibrio.

Si osserva convergenza monotonica se la pendenza è tra 0 e 1, al contrario si osserva convergenza con oscillazioni che si smorzano se la pendenza è tra -1 e 0.

<1-(1-c) > 0 se 1/1-c =¯/2

Se <¯/2 si osserverà una convergenza monotonica.

Graficamente:

Yt Y0 t

Quando 1- (1-c) < 0 se e solo se >¯/2 in questo caso avremo convergenza con oscillazioni

Graficamente:

Yt Y0 Pagina 3

t ¯/2;

Consideriamo il caso di convergenza monotonica: < analizziamo la dinamica del modello

Graficamente:

Yt+1 Diagramma di fase

(Ċ+Ī+Ḡ)

Yt+1= + [1-)1-c)]Yt

E

Y*

Y1 Y* Yt

45° Y0

Consideriamo la situazione in cui il sistema economico è caratterizzato da un certo livello di Yo<Y*, quindi la domanda in zero è minore di Y, quindi abbiamo un eccesso di domanda.

Se il sistema si trova in una situazione tale per cui il reddito è minore a Y*, si metterà in moto un meccanismo tale per cui le imprese faranno tornare l’economia in equilibrio. Nel periodo 0, il reddito è pari a Y0, mentre nel periodo successivo sarà pari a Y1, che è maggiore di Y0. Nel periodo 1, il reddito è pari a Y1, mentre nel periodo 2 avremo un reddito Y2, con Y2>Y1. Se seguiamo il meccanismo si convergerà all’equilibrio. Siamo in presenza di convergenza monotonica, perchè man mano che si scorre nel tempo si converge all’equilibrio.

Analiticamente:

Data la condizione iniziale Y0

(Ċ+Ī+Ḡ)

Y1 = + [1-(1-c)]Y0 >Y0

Al passare del tempo Y aumenta con incrementi sempre più piccoli, fino a quando il sistema economico converge all’equilibrio E, fino a quando l’eccesso di domanda si azzera.

∆Yt+1

∆Y1 E

Y0 Y* Yt

∆Yt+1 = 0

(Ċ+Ī+Ḡ) (1-c)Yt

∆Yt+1= -

Graficamente la convergenza nel tempo verso l’equilibrio:

Yt

Y* convergenza monotonica

Y0 t Pagina 4

Modello IS-LM

Mercato dei beni

Consideriamo un’economia chiusa, con settore pubblico, in cui il livello dei prezzi è fisso (Ṗ).

La domanda aggregata sarà:

dY = C + I + G

Scomponiamo le componenti del modello:

cY Y = reddito disponibile

• Consumi = Ċ + ( )

d d

Ipotizziamo che il prelievo tributario sia lineare nel reddito complessivo: quindi T = tY;

Ipotizziamo inoltre che i trasferimenti siano esogeni: TR = ŤȒ

Y = Y − T + TR

Avremo che: = (1-t)Y + ŤȒ

d

Pertanto:

C = Ċ + c[1-t)Y+ŤȒ] = Ċ + cŤȒ + c(1-t)Y

• Investimenti

Nel modello IS-LM gli investimenti sono dati da una componente autonoma ed inoltre sono una funzione decrescente del tasso di interesse reale (e nominale essendo il modello a prezzi fissi).

I = Ī -br con b>0

Più è alto b più gli investimenti rispondono a vibrazioni del tasso di interesse

• Spesa pubblica

Si ipotizza che sia esogena

G = Ḡ

La IS rappresenta le combinazioni di Y ed r di equilibrio per il mercato dei beni. Imponendo equilibrio sul mercato dei beni tale per cui la domanda aggregata è pari all’offerta aggregata avremo che:

Y = C + I + G

Y = Ċ + cŤȒ + c(1-t)Y + Ī -br + Ḡ

Y = Ā - br + c(1-t)Y

Ā = Ċ + cŤȒ + Ī+Ḡ [Domanda autonoma]

Y = 1/ 1-c(1-t) (Ā-br)

Definiamo: 1/1-c(1-t) = [moltiplicatore keynesiano]>1

Dato 0 < i-c(1-t) < 1 allora [relazione più che proporzionale]

IS: Y = (Ā-br)

Esiste una relazione decrescente tra reddito e tasso di interesse

r IS(Ā) Y Pagina 5

Mercato della moneta

sM

L’offerta nominale di moneta è esogena e sotto il controllo della Banca Centrale: = Ṁ

dM

La domanda reale di moneta /Ṗ dipende positivamente dal reddito e negativamente dal tasso di interesse.

dM /P = kY − hr dove h, k >0

Imponendo l’equilibrio sul mercato della moneta determiniamo la LM, ossia le combinazioni di Y e r di equilibrio per il mercato della moneta:

s dM = M

Ṁ/Ṗ = kY-hr

k 1 M

r = Y − (LM)

h h P

LM (Ṁ/Ṗ)

r Y

Date la IS e la LM, determiniamo l’equilibrio macroeconomico, ossia la coppia di Y e r di equilibrio simultaneo per il mercato dei beni e della moneta:

(Ā-br)

Y = IS

r = k/h Y - 1/h Ṁ/Ṗ LM

Y* =Ā + Ṁ/Ṗ reddito di equilibrio

con:

h= / h+bk > 0

b/h+bk= >0

’Ā

r* = - ’/h Ṁ/Ṗ tasso di interesse di equilibrio

ß’ = k/h >0

’ = 1-k >0

’ = 1-kb/h+kb > 0 se e solo se kb/h+kb <1 [sempre vero]

Equilibrio macroeconomico è rappresentato dalla coppia dei valori (Y*,r*)

LM(Ṁ/Ṗ)

r E

r*

IS (Ā) Y

Y* Pagina 6

Modello IS-LM dinamico

Ipotizziamo che la produzione si adegui lentamente a cambiamenti della domanda, in tempo discreto: >0

Yt+1 - Yt = (Y^dt -Yt )

dY Y br

Sappiamo che la domanda aggregata t = Ā + c(1-t) -t t t

Sostituendo:

Y br Y = Ā + c(1-t)Yt - + (1-) (1)

t+1 t t

Ipotizziamo inoltre che il tasso di interesse r si aggiusti istantaneamente, quindi il mercato della moneta è sempre in equilibrio.

Data la LM, possiamo determinare in ogni istante il tasso di interesse dove:

rt = k/h Yt - 1/h Ṁ/Ṗ

Sostituiamo nella relazione (1):

Ā c(1-t)Yt b/h

Yt+1 = + - b k/hYt + Ṁ/Ṗ + (1-) Yt

(Ā

Yt+1 = + b/h Ṁ/Ṗ) + {[c(1-t) bk/h -1] +1 }Yt (2)

intercetta pendenza

La (2) è un’equazione alle differenze del primo ordine e di primo grado che descrive la dinamica del reddito.

Per capire se l’equilibrio è stabile, andiamo a vedere quando la pendenza è maggiore o minore di 1.

Il termine:

c(1-t) - bk/h -1 < 0 ; se -bk/h < 1-c(1-t)>0

Dati b,k,h allora -bk/h < 0

Quindi la relazione è sempre vera

Allora la pendenza pertanto può essere riscritta come segue:

1-[1-c(1-t) + bk/h] < 1

>0

>0

Allora la pendenza è sempre minore di 1.

1-[1-c(1-t) + bk/h] > -1

[1-c(1-t) + bk/h] < 2

¯< 2/[1-c(1-t) + bk/h] =

Dato che è sempre vero che la pendenza è minore di 1, allora l’equilibrio nel modello IS-LM dinamico è stabile se < dove = 2/[1-c(1-t) + bk/h]

¯; ¯

Convergenza monotonica

Se, 0 < pendenza < 1

Pendenza > 0 solo se 1-[1-c(1-t) + bk/h] > 0

¯/2< 1/ 1-c(1-t) + bk/h = ¯/2

Per < ; si osserva convergenza monotonica

¯/2

Viceversa se > ; si osserva convergenza con oscillazioni che si smorzano.

Nel modello IS-LM dinamico abbiamo ottenuto:

(Ā

Yt+1 = + b/h Ṁ/Ṗ) + {[c(1-t) bk/h -1] +1 }Yt

intercetta pendenza

ℇδY = δ +ℇY0

t+1 Pagina 7

L’equilibrio è stabile per -1≤ℇ≤1

Per 0≤ℇ≤1 osserviamo convergenza monotonica

Per -1≤ℇ≤0 osserviamo convergenza con oscillazioni

¯/2

Per < ; si osserva convergenza monotonica

¯/2

Viceversa se > ; si osserva convergenza con oscillazioni che si smorzano.

-con = 2 /1-c(1-t) + bk/h

Effetti politica monetaria espansiva, con convergenza monotonica

Consideriamo il caso di convergenza monotonica e studiamo gli effetti sul processo dinamico di un aumento dell’offerta nominale di moneta.

L’ipotesi: dato il livello di offerta nominale di moneta Ṁ0, il sistema economico si trova nello stato stazionario E0, tale per cui il livello di produzione è pari a Y0* ed il tasso di interesse r = r0*.

Ad un certo istante T, la BC aumenta Ṁ da Ṁ0 a Ṁ1, dove Ṁ1 >Ṁ0

Diagramma di fase:

ℇYt+1

Yt+1 = δ(M1) + Y0

E1

Y’’

ℇYt+1 = δ(M0) + Y0

Y’

δ Ṁ1

E0

δ Ṁ0

45° Y1* Yt

Y0*

Con l’aumento di Ṁ ad Ṁ1 il diagramma di fase trasla verso l’alto. Allora E0 non è più un equilibrio per il mercato dei beni ed in particolare si osserva un eccesso di domanda, allora le imprese aggiusteranno la produzione per colmare tale eccesso di domanda. Quindi in T il livello di produzione è pari a Y0*; in T+1 sarà pari a Y’>Y0*; il processo continua fin quando il sistema economico converge all’equilibrio E1, dove il livello di produzione è Y1*>Y0*. Il tipo di convergenza che osserviamo è una convergenza monotonica.

Equilibrio macroeconomico

r LM(Ṁ0/Ṗ)

E0

LM(Ṁ1/Ṗ)

r0* E1

r1*

E’

r’

IS Y

Y0* Y1*

L’equilibrio iniziale è nel punto E0, dato l’aumento di Ṁ a Ṁ1, allora la LM trasla verso destra. Data la nuova LM(Ṁ1/Ṗ) il punto E0 non è più un equilibrio per il mercato della moneta. Data l’ipotesi che il tasso di interesse r si aggiusta istantaneamente, al momento in cui avviene lo shock T, ci spostiamo lungo la nuova LM nel punto E’ ed avremo che il tasso di interesse r = r’ che garantisce un equilibrio sul mercato della moneta. E’ non è un punto di equilibrio per il mercato dei beni, ed in particolare osserviamo un eccesso di domanda, la produzione reagirà lentamente, fino a convergere al nuovo equilibrio E1. Graficamente ci spostiamo lungo la nuova LM. Pagina 8

Y

Y1*

Y0* T t

Nel modello dinamico osserviamo un fenomeno di overshooting del tasso di interesse, quindi a seguito della politica monetaria espansiva il tasso di interesse si riduce e la riduzione osservata in E’ è più ampia della riduzione finale dall’equilibrio E0 a E1.

Nel modello IS-LM statico: r diminuisce da r0* a r1*;

Nel modello IS-LM dinamico: r nell’istante in cui avviene lo shock (in T quando M aumenta) si riduce fino al livello r’, per poi aumentare nel tempo fino ad r1* > r’, ma con r1* < r0*, che è appunto il fenomeno di overshooting.

sM

In T si osserva che = M1

dM /P = kY0* - hr’ [mercato della moneta]

s dM M=sM

In T+1 abbiamo che: = M1

dM /P = kY’ - hr’’ (r’’>r’) fino all’equilibrio

Modello IS-LM in tempo continuo

Espressione differenziale del primo ordine:

dx(t) = [a + bx(t)] dt

x(t): indica la variabile x come funzione del tempo t in ogni istante.

a,b: sono dei parametri

dt: indica la lunghezza dell’intervallo temporale preso in considerazione

dx(t): indica l’incremento della variabile x, misurato nell’intervallo di tempo preso in considerazione

dx(t) / d(t) = a + bx(t)

variazione istantanea della variabile = ẋ(t)

ipotesi: dt = 1

dx(t) = a + bx(t) dividiamo ambo i membri per xt

dx(t)/x(t) = a/xt + b

variazione % di x in tempo continuo

Nello stato stazionario avremo che dx(t) = 0, allora x = x* per ogni istante t

L’equazione differenziale data la condizione di stato stazionario diventa: 0 = a + bx*, allora otteniamo che: x* = - a/b

In generale:

• Se b<0 allora si osserva convergenza, pertanto lo stato stazionario è stabile
• Se b>0 allora si osserva divergenza, pertanto lo stato stazionario è instabile

Consideriamo la situazione in cui b < 0 e a >