Macchine elettriche rotanti

Macchina sincrona a poli salienti

Generalità

La macchina a poli salienti non presenta più un rotore cilindrico ma è costituita da un nucleo dove si fissano, mediante procedure meccaniche, dei gambi polari, il loro numero è sempre pari e s

La macchina asincrona

Le macchine elettriche asincrone sono principalmente delle macchine elettriche isotrope, conseguentemente la struttura statorica e la struttura rotorica sono delle strutture cilindriche una coassiale con l'altra.

Quindi abbiamo lo statore, che è un cilindro cavo, il rotore che è un cilindro pieno; le due strutture sono perfettamente coassiali l'una con l'altra. Ovviamente tra il rotore e lo statore vi è un tratto d'aria che prende il nome di traferro; il traferro, come nelle macchine elettriche sincrone a poli lisci, ha un doppio scopo: il primo è quello di consentire il movimento relativo del rotore rispetto allo statore e quindi di assicurare un gioco meccanico tra i due sistemi, il secondo è quello di eseguire una operazione di linearizzazione della struttura magnetica e quindi far sì che si possa applicare a questo tipo di sistemi il principio di sovrapposizione degli effetti.

Le macchine elettriche asincrone vengono così definite perché lavorano principalmente ad una velocità di rotazione che è diversa da quella di   sincronismo .mp

La macchina elettrica asincrona è costituita da un avvolgimento trifasico uniformemente distribuito sulla superficie di statore, solitamente è il circuito di eccitazione. L’avvolgimento di rotore è generalmente un avvolgimento polifasico che nel funzionamento normale presenta le fasi cortocircuitate, solitamente è il circuito di indotto.

La modalità con cui viene realizzato l’avvolgimento di rotore classifica il tipo di macchina.

Esistono 2 tipologie di macchine:

• In questo caso l’avvolgimento viene realizzato come la macchina a rotore avvolto, l’avvolgimento statorico, cioè con delle matasse che sono collegate tra di loro in maniera opportuna e uniformemente distribuite sulla superficie di rotore. Il numero di fasi dell’avvolgimento rotorico è uguale al numero di fasi statoriche.
• A gabbia di scoiattolo, l’avvolgimento rotorico è costituito da delle barre che vengono affogate all’interno del rotore e opportunamente cortocircuitate con degli anelli.

L’avvolgimento a gabbia di scoiattolo si suddivide in altre tipologie: l’avvolgimento a doppia gabbia di scoiattolo e avvolgimento a barre profonde. Questo dipende dalla struttura geometrica con cui vengono realizzate le barre.

Ipotizzando il funzionamento a regime studiamo il principio di funzionamento della macchina elettrica asincrona, per poter determinare il modello matematico, e il suo circuito equivalente.

Analizziamo il suo funzionamento partendo da una condizione di funzionamento a vuoto.

Funzionamento a vuoto

Alimentiamo l’avvolgimento statorico con un sistema di correnti simmetrico e apriamo l’avvolgimento rotorico, questo ci permetterà di individuare le condizioni che si creano sull’avvolgimento rotorico quando l’avvolgimento statorico viene alimentato.

Alimentando con un sistema equilibrato di correnti:

√ ωi 2 I sin ts1= s s
√ π/3)i 2 I sin (ω t - 2s2= s s
√ π/3)i 2 I sin (ω t - 4s3= s s

Creiamo un campo magnetico rotante che presenta un valore massimo che dipende dalla forza magnetomotrice applicata e quindi dalla corrente i_s, la velocità meccanica risulta essere collegata alla pulsazione di alimentazione e al numero di coppie polari. In particolare il campo magnetico ruota con una velocità ω /p.

Sappiamo dalle generalità che sicuramente un sistema trifase produce una caduta di f.m.m. del tipo:

3 ˆ        F ( , t ) F cos( t p ) 0B ( , t ) F ( , t)e che esiste un legame con il campo s ss s s s

In base a queste considerazioni ricaviamo il campo magnetico prodotto dallo statore:

ˆ   B ( , t ) B cos( t p )s s s

(campo magnetico visto da un osservatore solidale con lo statore).

Noi vogliamo analizzare cosa accade nell’avvolgimento rotorico. Ipotizziamo che l’avvolgimento rotorico si muova con una generica velocità pari ad ω_m. Passando dal sistema di riferimento statorico al sistema di riferimento rotorico si avrà quindi:

         tsistema di riferimento rotorico si avrà quindim 0
ˆ ˆ           B ( , t ) B cos[( )t p ] B cos( s t p ) 0cons s s m s s 0s

Dove risulta essere lo scorrimento, cioè la velocità relativa con cui si muove il campo magnetico rotante rispetto al sistema di riferimento:

  p s ms  s

L’avvolgimento rotorico viene investito da un campo magnetico rotante che ruota non più alla velocità ω /p vista dall’avvolgimento rotorico, ma alla velocità sω /p. Quindi il campo magnetico nel caso in cui s risulti essere diverso da zero, è ancora un campo magnetico rotante.

Noi sappiamo che se un avvolgimento polifasico uniformemente distribuito viene investito da un campo magnetico rotante, su di esso si induce un sistema di tensioni che risulta essere perfettamente simmetrico, infatti avremo un flusso pari a:

  L 2 I sin( s t )infatti avremo un flusso pari a r t s s

Vediamo che il flusso concatenato con ogni avvolgimento rotorico risulta essere strettamente collegato all’intensità del campo, alle caratteristiche geometriche della macchina e quindi alla corrente statorica che ha prodotto il campo, in più il flusso mantiene una forma di tipo sinusoidale variabile nel tempo, la cui frequenza risulta essere collegata alla velocità di rotazione del campo.

Ricaviamo il valore della tensione indotta sull’avvolgimento rotorico:

d     re L s 2 I cos s tr t s s sdt

Quindi la tensione indotta sul rotore risulta essere collegata al valore del campo al traferro e statorico, quindi alla corrente circolante nell’avvolgimento; risulta anche essere strettamente collegata allo scorrimento, in più presenta una evoluzione di tipo sinusoidale la cui pulsazione s ω risulta essere cioè risulta essere legata alla velocità relativa del campo magnetico rotante rispetto al sistema di riferimento rotorico.

Si vede immediatamente che la presenza di una tensione indotta di tipo sinusoidale è legata alla presenza di un campo magnetico rotante; infatti, se il campo magnetico rotante risulta essere non più rotante ma stazionario, quindi scorrimento s esattamente uguale a zero, in questo caso la tensione indotta risulta essere nulla.

Quindi la condizione fondamentale è che ci sia movimento relativo del campo magnetico rotante rispetto al sistema di riferimento rotorico, solo in questo caso si ha tensione indotta sull’avvolgimento rotorico e quindi lo scorrimento risulta essere diverso da zero:

      s scioè deve verificarsi la condiziones 0 0 mm pp

Quindi perché una macchina di questo genere possa avere una tensione indotta diversa da zero è necessario che vi siano tra il campo magnetico rotante e la velocità di rotazione le condizioni di asincronismo, da qui ne deriva il nome di macchina elettrica asincrona. È fondamentale ricordare che i due campi, di rotore e di statore, sono sincroni. Questa è una condizione da verificare se si vuole avere una coppia costante nel tempo.

Abbiamo detto che questa macchina lavora in condizioni di cortocircuito, cioè l’avvolgimento indotto viene disposto in cortocircuito; se non esiste una tensione indotta sull’avvolgimento cortocircuitato in esso non si avrà la circolazione di corrente e quindi non avremmo un campo magnetico di reazione d’armatura, non si avrà l’interazione tra un campo di reazione e un campo di eccitazione e quindi la produzione di coppie elettromagnetiche, conseguentemente non abbiamo la conversione di energia elettrica in energia meccanica.

Si capisce che se non si ha tensione indotta non si ha conversione elettromeccanica dell’energia. La condizione fondamentale è s ≠ 0, infatti in condizioni di sincronismo questa macchina risulta essere neutra, non produce nessuna conversione dell’energia elettrica in meccanica e viceversa.

Funzionamento sotto carico

Cortocircuitiamo l’avvolgimento di rotore e manteniamo la macchina in questa condizione. Se è presente una tensione indotta di tipo sinusoidale sull’avvolgimento di cortocircuito avremo che sull’avvolgimento circolerà una corrente sinusoidale I_r che risulterà avere frequenza s ω uguale alla tensione che sto applicando.

Abbiamo detto che gli avvolgimenti rotorici sono uniformemente distribuiti, quindi tutte le tensioni sono sfasate le une rispetto alle altre in modo da creare un sistema simmetrico; ciò vuol dire che al sistema simmetrico di tensioni corrisponderà un sistema simmetrico di correnti che presenteranno tutte la stessa frequenza, queste daranno vita a un campo magnetico rotante con una velocità strettamente collegata alla frequenza di alimentazione:

ˆ     B ( , t ) B cos( t p )r r s

Il campo magnetico rotante ha la stessa velocità di rotazione del campo di eccitazione e questo si verifica in qualunque posizione di scorrimento s. Quindi è vero che il rotore e il campo magnetico rotante sono asincroni ma il campo di eccitazione e il campo di reazione dell’armatura risultano essere perfettamente sincroni, viaggiano alla stessa velocità in qualunque condizione di scorrimento.

Infatti, se variamo lo scorrimento varia la frequenza della tensione indotta, questa fa variare la frequenza del sistema di correnti rotoriche che fa variare la velocità del campo magnetico di reazione.

A regime la velocità del campo di statore e di rotore sono sincroni, ma se sono sincroni hanno lo stesso numero di coppie polari, quindi la coppia elettromagnetica prodotta risulta essere costante nel tempo, questo è garantito per ogni velocità di rotazione.

Modello matematico della macchina elettrica asincrona

Vediamo che il sistema elettrico rotorico e statorico hanno diversa frequenza, per lo statore invece il rotore s ω; dovremmo analizzare i due modelli elettrici separatamente e poi dovremmo individuare delle operazioni di trasformazione che ci consentono di rendere i due sistemi congrui, cioè trasformarli in modo che la frequenza sullo statore e la frequenza del rotore siano le stesse.

Tenendo conto che i due avvolgimenti, quello rotorico e quello statorico, sono caratterizzati da un numero di spire differenti e da un numero di fasi differenti, dobbiamo riportarci ad una configurazione equivalente caratterizzata dallo stesso numero di spire, dallo stesso numero di fasi.

Per poter fare questa analisi partiamo dalla equazione di equilibrio elettrico:

 d di d    s s msv R i R i ls s s s s dsdt dt dt

Come si può notare si è scomposto il flusso complessivo di statore in un contributo dato dai flussi di dispersione e dal contributo del flusso di mutuo accoppiamento, è il flusso associato al campo a traferro.

Dato che siamo in regime sinusoidale possiamo riscrivere la nostra equazione di equilibrio elettrica:

    V R I j l I j Ns s s s ds s s s m

Le resistenze degli avvolgimenti di statore e i flussi dispersi sono piccoli quindi possiamo trascurarli:

 V j Nallora la macchina viene alimentata a tensione costante questo vuol dire che il flussos s s m

di mutua sarà costante, ma allora il campo a traferro B sarà costante e varierà al variare della tensione impressa. Il campo a traferro sarà la somma del campo magnetico di rotore e di quello generato allo statore B = B + B; questi due possono anche variare ma la loro somma deve essere sempre costante e pari al campo magnetico al traferro.

δ r s

Questa analisi mette in luce una differenza con le macchine sincrone, infatti con esse il controllo della macchina avveniva tramite il controllo del campo di eccitazione mentre con le macchine asincrone abbiamo la possibilità di controllare il campo a traferro ma non quello di eccitazione.

La presenza di un campo a traferro indurrà una tensione nelle spire degli avvolgimenti rotorici:

d di  mr rl’equazione di equilibrio elettrico al rotore è: R i l in regime sinusoidale avremor r drdt dt

    js N R I js l Is r m r r s dr r

Le due equazioni sono:

     V R I j l I j Ns s s s ds s s s m
      js N R I js l Is r m r r s dr r

Per portare i due sistemi sullo stesso piano di lavoro dobbiamo come prima cosa rendere le frequenze uguali, questo è possibile dividendo l’equazione di rotore per lo scorrimento:

R    r Ora l’equazione al rotore presenta una pulsazione uguale a quellaj N I j l Is r m r s dr rs

di statore, ma presenta ancora un numero di spire differente. Moltiplichiamo primo e secondo membro:

  NRN       srj N I j l Isper ottenendo siamo riusciti ad avere un flusso di mutuas s m r s dr r
 s NN rr

uguale in entrambe le equazioni, ma dobbiamo ancora riportare la corrente di rotore nel sistema di riferimento statorico. Come abbiamo detto il flusso a traferro è originato dalla sovrapposizione del campo di eccitazione più quello di reazione:

 B B Bcampo di eccitazione più quello di reazione  s r

In termini di forza magneto motrice posso dire che la forza magneto motrice che produce il campo totale B è data dalla forza magneto motrice rotorica più la forza magneto motrice statorica:

 F F FB   s r

La definizione di forza magneto motrice noi la conosciamo, in particolare quella totale sarà data da una corrente equivalente che circolando nell’avvolgimento statorico mi produce un campo magnetico totale, in pratica è come se circolasse una corrente fittizia che chiameremo I, quindi la relazione di sopra possiamo scriverla in questo modo:

 N I N I N Is s s r r N  r

Possiamo dire che la corrente responsabile che mi produce il campo totale risulta pari a:

I I I s rN sN r

Si tratta di una relazione a noi nota, vista nei trasformatori. Possiamo definire la quantità:

I rN s'

come la corrente rotorica riportata all’avvolgimento primario che chiameremo; quindi la nostra corrente fittizia avrà l'espressione:

I r  'I I I s r

Questo risultato poteva esser ottenuto partendo dal flusso di mutua; sappiamo che:

  N L I L IQuesto risultato poteva esser ottenuto partendo dal flusso di mutua sappiamo ches m s s m r
 NN       rr2 N L I IL LL N NL N  e allora sostituendo si ottiene s m s s rm sm s r ts s t
 NN ssN 'r

La corrente I_r può esser vista come la corrente fittizia che circolando negli avvolgimenti di statore mi produce un flusso e un campo magnetico uguale alla corrente che circola sugli avvolgimenti di rotore. La I_r con la I_s mi generano il flusso di mutua a cui è associato il campo a traferro B, come previsto abbiamo ottenuto un risultato identico al caso precedente.

   2NRNN       '   sr' ' j N j l IsrI I I IDato che sostituendo si ottiene s s m s dr r
  2r r r r s NN N rs r

Ora si deve solamente portare i parametri elettrici di rotore allo statore ma questa operazione è già stata fatta, infatti il termine 2N_s ci permette, come nei trasformatori, di riportare la resistenza e l’induttanza 2N_r allo statore rispettando il principio di conservazione dell’energia.

Otteniamo un’equazione di equilibrio elettrico di rotore pari a:

 'R      ' 'rj N j l I elettrico di rotore pari a: s s m s dr r
 s

Abbiamo tutte le equazioni per determinare il circuito equivalente:

    V R jx I E r ds s
  'R    ' ' rE jx I  dr r
 s   'I I I  s r

La complessità della macchina elettrica asincrona si evidenzia nella presenza di un termine a comportamento non lineare. Un sistema che presenta la caratteristica di linearità ha i parametri che sono costanti nel tempo; in questo caso non è così perché lo scorrimento varia.

Lo scorrimento mi provoca una variazione della tensione al rotore E_r e la variazione della corrente di rotore in fase e in modulo, infatti:

  s ls N  s dr j arctngs r m eI 2 questa variazione mi porta ad una variazione della corrente diRrr  2 2( s l ) Rs dr r

statore. Questo può esser visto meglio dalla costruzione del diagramma vettoriale.