L'ultimo teorema di Fermat di Simon Singh

“L'ultimo teorema di Fermat – L'avventura di un genio, di un problema matematico e dell'uomo che lo ha risolto dopo tre secoli” di Simon Singh La storia dell'Ultimo Teorema di Fermat è inestricabilmente connessa alla storia della matematica e tocca tutti i temi più rilevanti della teoria dei numeri. Per questo motivo, il libro di Simon Singh non è solo la storia della dimostrazione del teorema: è innanzi tutto una storia della matematica, che parte dalla Grecia Antica arrivando ai giorni nostri, attraverso la vita delle menti più brillanti che si sono dedicate alla dimostrazione del teorema, provando nuovi teoremi in ambiti apparentemente lontani dalla teoria dei numeri.

Contributi storici alla matematica

Pitagora (VI sec. a.C.) ebbe il merito di capire che l'esistenza dei numeri è indipendente dal mondo sensibile e che i fenomeni naturali sono governati da leggi descritte con equazioni matematiche, perciò proclamò: “Tutto è numero”. Euclide (III sec. a.C.) dimostrò l'esistenza dei numeri irrazionali e Diofanto di Alessandria (III-IV sec. d.C.) compilò l'Arithmetica, una grande opera sulla teoria dei numeri, nella quale ritroviamo l'intera conoscenza dei numeri costruita dai suoi predecessori: la sua specialità era affrontare quesiti che richiedevano una soluzione con numeri interi.

Rinascita della matematica in Europa

Nel millennio successivo alla matematica greca, la matematica occidentale entrò in una fase di stallo e continuò la propria evoluzione solo grazie ai contributi provenienti dall'India e dall'Arabia: i matematici orientali copiarono le formule dei manoscritti greci, reinventarono molti teoremi ormai perduti e aggiunsero nuovi elementi. Nel 1453, quando i Turchi saccheggiarono Costantinopoli, i dotti di Bisanzio fuggirono in Occidente con tutti i testi che riuscirono a preservare e cominciò così un periodo di rinascita in Europa.

Fermat e la sua congettura

Padre Marino Mersenne (1588-1648) giocò un ruolo importante nella matematica del Seicento e fu forse l'unico matematico con il quale Fermat mantenne contatti regolari. Pierre de Fermat (1601-1665), solerte funzionario pubblico, si dedicò alla matematica come dilettante: creava nuovi teoremi e sfidava i contemporanei a trovare soluzioni ai problemi che lui stesso risolveva. Leggendo l'Arithmetica di Diofanto, troviamo, tra le sue annotazioni a bordo pagina, la scritta “… cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet” (… teorema di cui ho scoperto una meravigliosa dimostrazione. Ma questo margine è troppo piccolo per contenerla). Tale affermazione si riferisce alla congettura – meglio nota come Ultimo Teorema di Fermat – secondo la quale l'equazione aⁿ + bⁿ = cⁿ non ammette soluzioni intere per n > 2.

Progressi nel XVIII e XIX secolo

Nel secolo successivo, Leonhard Euler (1707/1783) compie i primi progressi per la dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat: con la dimostrazione del caso per n = 3 si addentra nel campo dei numeri immaginari. All'inizio del XIX secolo, l'Ultimo Teorema di Fermat è noto come il problema più famigerato della teoria dei numeri. Sophie Germain (1776-1831) dà alla sua dimostrazione un contributo superiore a quello di tutti gli uomini che l'avevano preceduta; il primo marzo del 1847, Gabriel Lamé (1795-1870) e Augustin Louis Cauchy (1789-1857) annunciano di averlo dimostrato, ma tre mesi dopo Ernst Kummer (1810-1893) trova un errore nella dimostrazione: hanno usato una proprietà dei numeri nota come fattorizzazione unica, ma coinvolgendo anche i numeri immaginari. Nel 1908, Paul Wolfskehl destina una quota del suo patrimonio a chi fosse riuscito a dimostrare l'Ultimo Teorema di Fermat entro il 13 settembre 2007.

Sviluppi nel XX secolo

I matematici ancora alle prese con l'Ultimo Teorema di Fermat nel secondo dopoguerra hanno cominciato ad impiegare i computer per aggredire il problema, affidandosi ad una versione computerizzata dell'impostazione ottocentesca di Kummer.

Congettura di Taniyama-Shimura e Wiles

Nel 1954, Goro Shimura (1930-) e Yutaka Taniyama (1927-1958), appassionati dello studio delle forme modulari – oggetti matematici con simmetria infinita – enunciano una congettura, sostenendo di essere in grado di unificare il mondo modulare con quello ellittico. Nel 1986 Ken Ribet dimostra il legame tra la congettura di Taniyama-Shimura e l'Ultimo Teorema di Fermat: chi dimostra la prima ha dimostrato anche il secondo. Nello stesso anno, Andrew Wiles (1953-) comincia a lavorare alla dimostrazione della Congettura, grazie alla sua ottima conoscenza delle equazioni ellittiche. Nel marzo del 1988, Yoichi Miyaoka dimostra l'Ultimo Teorema di Fermat, ma c'è una lacuna logica: la sua esperienza nella geometria non gli ha consentito di essere completamente rigoroso nella teoria dei numeri. Nel 1993, il 23 giugno, dopo sette anni di studio, Wiles completa la dimostrazione della congettura di Taniyama-Shimura, ma due mesi dopo viene rilevato un grave errore. Il 19 settembre del 1994, Wiles completa definitivamente la dimostrazione.