Linea elastica - parte 3

Modello della linea elastica

Studio delle travi piane ad asse rettilineo, a materiale con comportamenti elastico-lineare, utilizzerò il modello meccanico della linea elastica (tiene conto delle deformazioni della trave): in particolare si utilizzeranno:

• Linea elastica estensionale (per deformazioni estensionali) ➔ deformazioni lungo l’asse delle travi, deformazioni associate alla sollecitazione di sforzo normale N (lungo Z)
• Linea elastica flessionale (per deformazioni flessionali) ➔ deformazioni associate alla sollecitazione di momento flettente M (lungo X)
• Linea elastica a scorrimento (per deformazioni di scorrimento della trave) ➔ legate alle forze di taglio T (lungo Y)
• Linea elastica torsionale (per deformazioni torsionali) ➔ legate al momento torcente Mt (lungo Z)

Modello meccanico

Modello meccanico: si basa su:

• Ipotesi di piccole deformazioni: configurazione deformata della trave (nella quale raggiunge l’equilibrio) = configurazione indeformata coi fini dell’equazione di equilibrio (per scrivere l’equazione di equilibrio guardando la trave di lunghezza L a carico).
• Approccio “fenomenologico”: da prove fatte in laboratorio, sottoponendo provini a trazione o compressione. Viene costruito un modello monodimensionale, cosa da essere più facile da studiare.

Da cui otteniamo 3 equazioni:

• Equazione di congruenza (o di compatibilità cinematica) ➔ lega la deformazione allo spostamento
• Equazione costitutiva (o legame costitutivo) ➔ legate al materiale (determinando la classe del materiale di cui è costituita la trave)

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Modello della linea elastica

Studio delle travi piane ad asse rettilineo, a materiale con comportamenti elastico-lineare, utilizzerò il modello meccanico della linea elastica (tiene conto delle deformazioni della trave): in particolare si utilizzeranno:

• Linea elastica estensionale (per deformazioni estensionali) - deformazioni lungo l'asse delle travi, deformazioni associate alla sollecitazione di sforzo normale N (lungo Z)
• Linea elastica flessionale (per deformazioni flessionali) - deformazioni associate alla sollecitazione di momento flettente M (lungo X)
• Linea elastica a scorrimento (per deformazioni di scorrimento della trave) legate alle forze di taglio T (lungo Y)
• Linea elastica torsionale (per deformazioni torsionali) legate al momento torcente Mt (lungo Z)

Modello meccanico

Modello meccanico

Si basa su:

• Ipotesi di piccole deformazioni: configurazione deformata della trave (nella quale raggiunge l'equilibrio) = configurazione indeformata (coi fini dell'equazione di equilibrio es.: (non scrivere equazioni di equilibrio guardando alle travi di lunghezza L a codice)
• Approccio "fenomenologico": da prove fatte in laboratorio, sottoponendo provini a trazione o compressione. Viene costruito un modello monodimensionale, esso da essere più facile da studiare.

Da cui otteniamo 3 equazioni:

• Equazione di congruenza (o di compatibilità cinematica) ↔ lega la deformazione allo spostamento
• Equazione costitutiva (o legame costitutivo) - legge di materiale (determinabile dalla classe del materiale di cui è costituita la trave)

1) L'eq. costitutiva lega lo sforzo -> alla deformazione, in base alle priorità fisico-meccaniche del materiale.

3 - Equazioni di equilibrio: in base alla deformazione troviamo, le equazioni indefinite di equilibrio che ci interessano (tradiziona i carichi momento delle travi).

2) Combinando queste 3 equazioni otteniamo: l'equazione differenziale della linea elastica, la cui soluzione dipenderà dalle condizioni imposte alla trave.

"Linea elastica estensionale"

L'approccio è fenomenologico (da prove in laboratorio).

Esperimento guida

Consideriamo un provino cilindrico di acciaio sottoposto ad un carico P di (trazione), il provino è di lunghezza libera L₀ ed ad una estremità incastrata, la sua sezione la chiameremo "A".

Mod. tradizionale (globale)

Mod. pradimensionale (globale)

Man mano che incrementa il carico P, più il provino si deformerà estensivamente. La lunghezza nello stato finale, la chiameremo L.

Variazione di lunghezza ΔL = L - L₀

1° Osservazione: le sezioni retta del provino (sezioni trasversali), restano piane e deformazione avviene ortogonale all'asse del provino.

2° Osservazione: alla variazione del carico P per carichi minori del carico di rottura (P<F rottura) si può costruire un diagramma P/ΔL, per osservare questa variazione, il diagramma è lineare:

C'è una proporzionalità tra il carico e l'allungamento (in un opportuno punto dell’origine).

P/ΔL = tg θ = COSTANTE

Il coeff. angolare della retta, indica la pendenza