Lezioni e teoremi, Analisi matematica

Discontinuità

I specie: salto

II specie

III specie

Teorema Bolzano-Weierstrass

Ogni sottoinsieme X infinito e limitato della retta numerica è dotato di almeno un punto di accumulazione.

x₀ ε X ⊆ R ma di accumulazione si dice: Punto isolato.

I specie

lim f(x)_{x → x0} = e₁

lim f(x)_{x → x0^-} = e₂

|e₁-e₂| → salto della f(x)

III specie

lim f(x)_{x → x0}

lim f(x) ≠ f(x₀)

x₀

II specie

Almeno uno dei due limiti o non esiste oppure è infinito.

Discontinuità

I specie: salto

II specie

III specie

Teorema Bolzano-Weierstrass

Ogni sottoinsieme X infinito e limitato della retta numerica è dotato di almeno un punto di accumulazione.

x₀ ∈ X ⊆ R ma di accumulazione si dice punto isolato.

I specie

lim f(x) = l₁

lim f(x) = l₂

l₁ ≠ l₂

|l₁-l₂| salto della f(x)

II specie

Almeno uno dei due limiti o non esiste oppure è infinito.

III specie

∃ lim f(x)

lim f(x) ≠ f(x₀)

Analisi 1 teoria

Funzioni iniettive

Una funzione f: X S T si dice una funzione di X se tutto T è anche una funzione suriettiva, se il codominio della funzione f(x) coincide con T: se ogni elemento di Y di T è corrispondente per mezzo di f di almeno un elemento x di X.

Funzione lineare

f(x)=ax+b X X

Valore assoluto

f(x) = |x| X R

F. potenza

f(x)=x²

Pari

F. potenza

Pari

F. radice

Pari

F. potenza

f(x) = x^a

a > 0

a < 0

F. esponenziale

f(x) = a^x V = &reals;

a > 1

0 < a ≤ 1

f(x) = è^gx

Sen

Cos

Tg

−π/2 π/2

Limite finito di un punto

Si dice che il numero reale l é il limite della funzione f in x₀ o anche che f(x) converge a l per x che tende a x₀ se

lim_x→x0 f(x) = l

∀ ɲ > 0 ∃ δ > 0 tale che

|f(x) − l| ∀x ∈ X |0 0 |f(x)| > M

lim_x→x0 f(x) = − ∞

Limite finito per x → ∞

lim_x→∞ f(x) = l

quando ∀ ɲ > 0 ∃ B > 0 :

|f(x) − l| e − ɲ

Teorema unicità limite

Se x che tende a x₀ ∃ I.

∀R > 0 |f(x)| e ∈ Rx assurdo

Supponiamo che non sia unico

lim_x→∞ f(x) = l

poiché esiste ς

∀ ɲ > 0 ∃ h > 0 ∃ lim x(x)=l ⇒| 0

G

Almeno un punto interno in cui la tg è parallela all'asse x

Laplace

Sia f(x) una funzione reale continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], derivabile in tutti i punti interni, allora esiste c interno [a,b] nel quale si verifica eguaglianza

(f(b) - f(c)) / b-a

Dim

A(a, f(a))

B(b; f(b))

F = f(x) - y(x)

F(a) = 0

F(b) = 0

f(c) = 0

T. Cauchy

Se f e g due funzioni reali continue nell'intervallo chiuso [a,b] esiste c interno (a;b)

f(b) - f(a) = f'(c)

g(b) - g(a)

g'(c)

g(a) ≠ g(b)

g'(c) ≠ 0

∀ k ∈ (a;b)

F(x):= f(x). [g(b) - g(a)] - g(x).[f(b) - f(a)]

F(a) = f(a).g(b) - g(a).f(b) - f(b).g(a)

F(b) = f(b).g(b) - f(a).g(b)

F(c) = 0 = f(c). [g(b) - g(a)] - g(c). {f(b) - f(a)} = 0

g(b) ≠ g(a)

dividiamo per

g(c). [g(b) - g(a)]

f(c). [g(b) - g(a)] - g(c). [f(b) - f(a)] = 0

f'(c).(g(b) - g(a))

f(c) f(b) - f(a)

g'(c) g(b) - g(a)

f(c) f(b) - f(a)

g'(c) g(b) - g(a)

Il cerchio AB

Int. curvilineo

∫_d^s f ds = ∫_a^b f(x(t))||x'(t)||dt

int. è indipendente della parametricitazione

Inte Vol. Libro p. 214

^NB Se è continua e integrabile allora esiste un punto appartenente ad tale che

Per Weierstrass_int

Teorema Torricelli - Barrow

Sia integranda def. in Form. Newton - Leibnitz

f : [a, b] → &reals;

∫_a^b f(x) dx = [G(x)]_a^b = G(b) - G(a)

Dim

ψ(x) = ∫_a^x f(t) dt   ∀ x ∈ [a, b]

Se ψ(a) = F(x)

1c → ψ(a) = 0   ψ(a) = c

ψ(x) - ψ(a) = F(x) - ∫_a^x f(t) dt   x = b

Volume di rotazione solido

Dato il Q (trapezoide esteso ad [a; b] delimitato da y = f(x)x = a, y = x = b), si chiama Vθ del solido

V = π∫_a^b [f(x)]² dx

Curve di Jordan

Un curva di Jordan è frontiera di due insiemi aperti nel piano dei quali è delimitato e si chiama interno della curva, e altro, l'elemento detto esterno.

A₁ ∪ A₂ = &reals;² - T

A₁ ∩ A₂ = ∅

I = T ∪ (A₁) = Fγ (A₂) = Fγ (A₂)

Lunghezza curva

γ: [a; b] → R^r curva di C¹, allora è rettificabile e la sua lunghezza L(γ) = ∫₀¹ ||γ'|| dt dove || || comp la norma euclidea

∫_a^b ||γ'(t)|| dt = ∫_a^b √(γ'₂(t)² + γ'₁(t)) dt

Se curva piana L(γ) = ∫_a^b √(1 + f'(x)²) dx

Se γ app 1/√2

y₁ = 1/√2

y₂ ρ = ρ(θ)

(Δθ) = ∫_θ₀^θ₁ √ρ' (θ)² + y'²(θ) dθ

Indipendenza dalla parametrizzazione

∫_a^b A(X(t), Y(t), Z(t)) X'(t) + B(X(t), Y(t), Z(t)) Y'(t) +C(X(t), Y(t), Z(t)) Z'(t) dt

non dipende dalla parametrizzazione della curva orientata semplice e regolare γ ma dipende dell'orientazione della curva stessa:

Th: ∫_δ fds

H₁: δ ≈ γ

γ(t) = c cambiamento di variabile

φ: [α, β] → [a, b]

δ copia parametrica

δ(t) = δ(φ(t))

• Se φ'(t) < 0
• φ(a) = b φ(b)= a
• Se φ'(t) > 0
• φ(a) = a φ(b)= b

Dim

∫_α^β f ( c(s(t)) ) |c'(t)| dt = ∫_α^β f ( c (γ(τ))) ||γ'(φ(s))|| ρ'(τ(t))|| dα

∫_α^β f (γ (φ(τ))) ||γ(φ(s))|| ||γ(φ(s)) φ'(s) ρ(t) dτ || = ∫_γ(a)^γ(b) f(x(t)) || γ'(t) || dt = ∫_a^b f(x(t)) || γ'(t) || dt

c.v.d

Forma diff esatta

ω = df

∂_x(k) = ∂f(x)∂x_k ∀k

F. diff chiusa

∂a_j = ∂a_k∂x_k ∂x_j

Se è Esatta ⇒ Chiusa

Se è regolare, chiusa e contenuta in A ⇒ ∫_γ ω = 0

Chiusa ed esatta

ω = λdx + λdy forma diff lineare C³ c con aperto A di R²

ω esatta ⇒ ω chiusa

Dim

ω è esatta vuol dire che esiste un primitiva F | F_x = X e F_y = Y

Per Ip ω è classe C² quindi X, e Y continue

f ∈ C²

∂²X = ∂X e ∂²Y = ∂Y per

∂y∂x ∂y ∂x ∂x

T. Schwarz

∂X - ∂Y∂y ∂x