00 Scienza delle Costruzioni - Lezioni ed esercizi, tutto in uno!!

Scienza delle costruzioni A.A. 2009/2010

Sommario

• Cinematica delle trave ......................................................................................................... 1
• Spostamenti della trave deformabile ........................................................................ 1
• Deformazioni della trave (equazioni delle deformazioni) ............................ 5
• Riepilogo cinematica .............................................................................................................. 7
• Statica della trave (equazioni indefinite di equilibrio) .................................. 8
• Relazioni costitutive ........................................................................................................... 12
• Risoluzione del sistema di equazioni .......................................................................... 13
• Il metodo degli spostamenti ............................................................................................ 13
• Esercizio (mensola uniformemente caricata – metodo degli spostamenti) ........................................................................................................................... 15
• Il metodo delle forze .......................................................................................................... 22
• Il principio dei lavori virtuali ........................................................................................ 25
• Calcolo dello spostamento di un punto con il P.D.L.V. ..................................... 27
• Differenza di spostamento tra due punti ................................................................. 29
• Spostamento medio ................................................................................................................ 30
• Esercizio (telaio 1 volta iperstatico con carico concentrato) ............. 31
• Riepilogo dei risultati e soluzione finale ............................................................... 37
• Esercizio (telaio 2 volte iperstatico con carico distribuito) .................. 41
• Cedimenti vincolari ............................................................................................................... 46
• Calcolo delle sollecitazioni dovute a cedimenti vincolari .............................. 46
• Continuità delle sollecitazioni .................................................................................... 48
• Carichi termici .......................................................................................................................... 49
• Calcolo delle sollecitazioni dovute a carichi termici ................................. 50
• Esercizio (carico termico su telaio) ........................................................................ 53

58/58

Scienza delle costruzioni A.A. 2009/2010

Cinematica delle trave

F

Esercizio trave isostatica. Immaginiamo di avere una trave indeformabile, appoggiata e caricata come a lato. Vogliamo conoscerne le reazioni vincolari. Fx 2

Per prima cosa rappresentiamo le varie reazioni vincolari come nel x 3 diagramma a lato: x1

Applicando poi le equazioni di equilibrio per un corpo rigido possiamo risolvere il sistema e trovare le incognite (reazioni vincolari): =x 0

H equilibrio alla traslazione orizzontale
2 + + =x x F 0

V equilibrio alla traslazione verticale
1 3

L + =F x L 0

M equilibrio dei momenti (alla rotazione)
32

Da cui, risolvendo il sistema, otteniamo le reazioni vincolari: FF F= − = − F Fx x e le rappresentiamo nel diagramma a lato:
1 32 2 2 2

Spostamenti della trave deformabile

F

Se ci troviamo a dover risolvere un problema di una trave deformabile, non è più sufficiente applicare le equazioni di equilibrio per il corpo rigido che abbiamo sfruttato per risolvere l’esempio precedente.

F configurazione nell'approccio alla risoluzione di una trave deformabile dobbiamo innan- di riferimento zitutto stabilire una forma di riferimento. Tale forma di riferimento è quella della configurazione indeformata (cioè quella forma che avrebbe la trave configurazione deformata senza carichi applicati) ed è detta appunto “configurazione di riferimento”. 2 F

In generale la configurazione deformata può essere espressa attraverso la funzione di una curva nel piano. F→ 2

Una curva è un’assegnazione di una funzione q : R R .

Un esempio potrebbe essere quello della funzione seguente, che associa ad ogni ascissa S le funzioni cos S e sin S nel piano:

{ }=q ( S ) cos S , sin S = πS

Al variare di S avremo: 2

{ } e=q ( S ) 1, 0
per S = 0 2 =S 0π e

{ } 1== q ( S ) 0, 1
per S 2

essa rappresenta in effetti la funzione di una curva nel piano (rappresentata a lato). 1/58

Scienza delle costruzioni A.A. 2009/2010

La seguente funzione rappresenta invece una curva particolare, una retta:

= =S 0 S L
{ }= ∈q ( S ) S , 0 S [ 0, L ]

(La configurazione rettilinea è la configurazione di riferimento che utilizzeremo nello studio delle travi deformabili).

Se vogliamo calcolare il vettore tangente alla curva vista in precedenza, dovremo farne ( )q S' la derivata prima, cioè:

{ } e′ = −q ( S ) sin( S ), cos( S ) (vettore tangente alla curva all’ascissa S) 2 e1

pertanto, ad esempio: ππ 2 2

′= = = −S il vettore tangente saràall’ascissa q ( S ) ,4 4 2 2

Se invece consideriamo la funzione della retta, avremo che la sua derivata prima:

{ }′ =q ( S ) 1, 0 e

rappresenta il vettore tangente alla retta: rappresenta quindi il versore della retta (la direzione).1

Chiamiamo q la funzione che rappresenta la configurazione di ≡ q (S ) e q 'q 1 riferimento, e P la funzione che rappresenta la configurazione S deformata della trave. u (S )P

In generale, noti la configurazione di riferimento (curva q), i vincoli e le forze agenti sulla trave, dobbiamo ricavare la configurazione P (S ) deformata della trave (curva P) che risulta essere incognita.

Dobbiamo in sostanza capire come si deforma una trave vincolata e caricata in un certo modo.

Tale problema può essere riformulato in termini di spostamento.

In particolare, possiamo osservare che la posizione q (S ) occupata da ciascun punto della trave nella sua configurazione di riferimento, a seguito dell’applicazione di un carico, è diversa dalla posizione P (S ) occupata nella configurazione deformata. Ciascun punto della trave subisce quindi uno spostamento che può essere espresso attraverso il "vettore spostamento" u (S ) := −u ( S ) P ( S ) q ( S ) (vettore spostamento)

Del resto conoscendo la posizione iniziale q (S ) e lo spostamento u (S ) di ciascun punto della trave, siamo in grado di descrivere la posizione finale incognita P (S ) di ciascun punto nella configurazione deformata:

= +P ( S ) q ( S ) u ( S )

Per conoscere la configurazione deformata della trave, dovremo cercare l’incognita spostamento u (S ) anziché la posizione P (S ) della configurazione deformata. 2/58

Scienza delle costruzioni A.A. 2009/2010

Il vettore spostamento u (S ) è costituito da due componenti:

= +u ( S ) w ( S ) e v ( S ) e w(S )

dove componente di spostamento assiale (quantità scalare)
1

2 v (S ) componente di spostamento trasversale (quantità scalare)

e direzione assiale del sistema di riferimento ortonormale (versore)
1

P (S ) e direzione trasversale del sistema di riferimento ortonormale (versore)
2

u (S ) v (S )e 2 e w (S )q (S )1

Esempio

Consideriamo una configurazione di riferimento rettilinea:

{ }=q ( S ) S , 0

e immaginiamo di conoscere le componenti di spostamento:

=w( S ) w0θ
=v ( S ) S0

Andiamo a ricostruire la configurazione deformata della trave, cioè P (S ) :

{ }= = += + q ( S ) S , 0 S e 0 eed essendo

Poiché P ( S ) q ( S ) u ( S ) 1 2

{ }θ θ= = +u ( S ) w , S w e S e0 0 0 1 0 2

dalla loro somma avremo:

{ }θ= + +P ( S ) S w , 0 S0 0 e

Per disegnare la nuova configurazione andiamo a calcolare la nuova 2q e posizione dei punti posti alle estremità della trave: 1 L

{ }=per S = 0 P ( 0 ) w , 00

θ L
{ }θ= + 0per S = L P ( L ) L w , L P w0 0 w 00

Generalmente le componenti v e w dello spostamento saranno le incognite del nostro problema.

Concetto importante, nell’analisi della meccanica dei corpi deformabili, è quella di verificare se le configurazioni P e q della trave abbiano o meno la stessa forma. Infatti la deformazione di un corpo comporta un dispendio di energia.

In questo corso, in presenza di rotazioni infinitesime trascureremo eventuali allungamenti.

(Essi sono trascurabili perché più piccoli delle rotazioni stesse).

Nell’esempio appena trattato possiamo vedere che la deformata della trave resta rettilinea e non si incurva; tuttavia varia la sua posizione, pertanto dobbiamo andare a verificare che non vi sia stato un allungamento (che rappresenta una variazione di forma).

Dal teorema di Pitagora calcoliamo la lunghezza L’ della deformata: 3/58

Scienza delle costruzioni A.A. 2009/2010

′ θ θ= + = +2 2 2 2L L L L 1 ovvero, portando fuori :L0 0

′ θ= + 2L L 1 0 θ ′

Possiamo notare che, per che tende a zero, la nuova lunghezza è uguale alla lunghezza della L0 configurazione indeformata. Approssimando con lo sviluppo in serie di Taylor, possiamo vedere che:

θ 2
′ = + +0L L 1 ...2 θ =

Ponendo ad esempio 0,1 , avremo che l’allungamento della trave:0

θ′ ′− −2L L 0, 01L L= = =0 sarebbe dell’ordine di 0, 0052 2L LNell’ambito del nostro corso tratteremo una teoria lineare in cui ipotizziamo che gli spostamenti e le rotazioni siano piccole.

q uP

La teoria appena trattata è valida per oggetti estremamente sottili.

Se l’oggetto ha spessore non trascurabile (es. la trave) vengono utilizzate delle sezioni il cui angolo α descrive l’inclinazione delle fibre della trave rispetto all’asse verticale (inclinazione delle sezioni rispetto alla verticale).

α

La configurazione di riferimento in tal caso è nota quando è definita la posizione ( ) della trave e q S α l’inclinazione delle sue fibre ( ) rispetto all’asse.S

Generalmente, per il nostro corso, la configurazione di riferimento della trave sarà la seguente:

{ } α= =( ) , 0 ( ) 0q S S S0

Pertanto, in generale, nella configurazione di riferimento le fibre non saranno inclinate (inclinazione α = ): nella configurazione di riferimento quindi tutte le fibre saranno ortogonali all’asse.( ) 0S 4/58

Scienza delle costruzioni A.A. 2009/2010

La configurazione deformata (incognita) sarà descritta dalla posizione β ( ) (configurazione variata dell’asse) e dall’inclinazione ( ) delle sue P S S fibre rispetto all’asse. βP ( S ), ( S )

Pertanto la configurazione deformata, nel caso di corpi non sottili, sarà descritta da due funzioni:

= +( ) ( ) ( )P S q S u S

β α θ θ β α= + = =( ) ( ) ( ) n.b. lo spostamento angolare ( ) ( ) perché ( ) 0 sempre.S S S S S S

Possiamo così affermare che le incognite del problema diventano 3:

• La componente assiale dello spostamento dell'asse;w
• La componente trasversale dello spostamento dell'asse;v
• La variazione dell'inclinazione angolare θ delle fibre rispetto all’asse.

Deformazioni della trave (equazioni delle deformazioni)

Le deformazioni della trave sono date dalla combinazione di 3 deformazioni elementari:

ε ′=( ) ( ) allungamento ( )S w S epsilon

′γ θ= −( ) ( ) ( ) scorrimento a taglio o scorrimento ( )S v S S gamma

′χ θ=( ) ( ) incurvamento ( )S S chi

Consideriamo un tratto infinitesimo di trave di lunghezza :dS 10

il tratto infinitesimo è costituito da un pezzetto di trave di asse rettilineo e da due fibre dS poste alle estremità 0 e 1 ortogonali all’asse.

Consideriamo le espressioni delle deformazioni appena viste ed approssimiamo (per molto dS piccolo) le derivate presenti al loro interno:

−w w
′ε ε= ≅ = 1 0( )w S dS

−v v
′γ θ γ θ= − ≅ = −1 0( ) ( )v S S 0dS

θ θ−′χ θ χ= ≅ = 1 0( )S dS

Esplicitiamo ora gli spostamenti (assiale , trasversale e angolare ) del punto 1:w v

ε= +w w dS1 0 ( )

γ θ= + +v v dS1 0 0

θ θ χ= + dS1 0

E vediamo cosa succede al pezzetto di trave imponendo diversi valori alle deformazioni. 5/58

Scienza delle costruzioni A.A. 2009/2010

• Deformazioni nulle

Ipotizziamo inizialmente che le siano tutte , cioè:

γ χε = = =0 0 0

= (traslazione assiale)w w1 0

θ= + (rotazione rigida)v v dS1 0 0

θ θ= (traslazione trasversale)1 0

Ciò significa che se le deformazioni sono tutte nulle, abbiamo traslazioni semplici o rotazioni rigide (senza deformazioni).

• Allungamento sia non nullo

Ipotizziamo che l’ e il resto delle deformazioni siano nulle, cioè:

γ χε ≠ = =0 0 0

θw v

Poiché sappiamo che , e controllano le traslazioni semplici e la rotazione rigida della 0 0 0 trave, consideriamoli nulli, così da concentrarci solo sulle deformazioni vere e proprie.

In questo caso avremo:

ε=w dS1

=v 01

εθ dS= dS01 ( )

ε+1 dSDa cui vediamo che la trave subisce una deformazione di allungamento.

• Scorrimento a taglio sia non nullo

Ipotizziamo che lo e il resto delle deformazioni siano nulle:

γ χε = ≠ =0 0 0

θw v

Nuovamente, poiché , e controllano le traslazioni semplici e la rotazione rigida della trave,0 0 0

θ= = =w vconsideriamo 0 , così da concentrarci solo sulle deformazioni vere e proprie.0 0 0

In questo caso avremo:

=w 0

γ° +901

γ=v dS1

γ dS

θ = 01

Da cui vediamo che la trave subisce uno scorrimento o deformazione a taglio.

Da notare che in questo tipo di deformazione la trave subisce una variazione di forma. 6/58

Scienza delle costruzioni A.A. 2009/2010

• Incurvamento sia non nullo

Ipotizziamo che l’ e il resto delle deformazioni siano nulle, cioè:

γ χε = = ≠0 0 0

θw v

Nuovamente, poiché , e controllano le traslazioni semplici e la rotazione rigida della trave,0 0 0

θ= = =w vconsideriamo 0 , così da concentrarci solo sulle deformazioni vere e proprie.0 0 0

In questo caso avremo: χ dS

=w 01

=v 01

θ χ= dS1

Da cui vediamo che la trave subisce un incurvamento.

Quindi, se le funzioni delle deformazioni sono tutte identicamente nulle, allora punto per punto la forma della trave resta invariata. Se invece anche solo una delle funzioni deformazione è non nulla abbiamo una variazione di forma della trave (allungamento, scorrimento a taglio, incurvamento o loro combinazioni).

Dette funzioni ci consentono di misurare il grado di deformazione della trave: costituiscono pertanto il sistema di equazioni delle deformazioni:

′ε =( S ) w ( S ) allungamento

′γ θ= −( S ) v ( S ) ( S ) scorrimento EQUAZIONI DELLE DEFORMAZIONI

′χ θ=( S ) ( S ) incurvamento

Riepilogo cinematica

( )αNello studio del comportamento della trave assumeremo, quale configurazione di riferimento, quella avente un andamento rettilineo dell’asse della trave e un orientamento delle fibre perpendicolare all’asse. In altre parole ( )θ,u avremo: ( )β,P

{ }=q S , 0 (funzione della configurazione di riferimento)

′ =q e (derivata prima della deformata, direzione costante)1

α =( ) 0S (orientamento delle fibre nullo rispetto alla verticale)

La configurazione deformata sarà invece rappresentata dalla funzione P e dall’orientamento delle fibre della trave.

Tale configurazione può essere ricavata sommano i campi spostamento u e ai valori della configurazione indeformata q ed .

Il campo spostamento u (campo vettoriale) è costituito da due componenti:

=w componente di spostamento assiale;

=v componente di spostamento trasversale;

cioè

= +u we ve1 2

7/58

Scienza delle costruzioni A.A. 2009/2010

Le funzioni , , e misurano la deformazione della configurazione variata P rispetto alla configurazione di riferimento q.

In particolare:

′ε = indica l’