Leggi generali

Le leggi della meccanica

Le leggi della meccanica nascono dall'analisi dei risultati sperimentali relativi ai fenomeni di moto che dipendono dal riferimento adottato. Prima di fornire le leggi della meccanica è necessario fissare l'attenzione sul s.d.r. da adottare. Non si deve presumere che le leggi di tipo generale assumano una forma semplice se il/n s.d.r. scelto dalla Terra perché se ciò fosse vero non sarebbe possibile rappresentare in maniera altrettanto semplice rispetto a s.d.r. scelti ad altri corpi (e ciò non è vero!).

Dalle osservazioni astronomiche si sa che un corpo celeste, riconducibile come elemento materiale E, in moto rispetto al riferimento terrestre ha un'accelerazione ≠ 0 (rispetto tal rif). Se E è sufficientemente distante dagli altri corpi celesti, la sua accelerazione è data dalla somma di due termini. Il primo dipende dalla posizione di E ed è proprio alla dist d'all'asse terrestre; il secondo dipende dalla velocità d'E e si annulla solo se E // all'asse terrestre. I corpi causue E descrivono rispetto al rif terrestre traiettorie complicate e diverse tra loro. Se invece si adotta come riferimento quello avente origine nel centro della terra e assi i cui orientamenti non variano rsp. delle stelle, si ha che sugli elementi E lontani da tutti gl altri corpi celesti, agisce la stessa accelerazione. Le loro traiettorie sono rettilinee e i moti risultano molto più semplici di prima.

Se infine si considera un rif (P.C^*) avente origine nel centro del Sole ed assi i cui orientamenti non variano rispetto alle stelle fisse tutti gli elementi E hanno rispetto a tal rif accell = 0 e i loro moti sono rettilinii. Si attribuiscono all'elemento isolato tutte le proprietà possedute da ogni corpo lontano dagli altri corpi. Si attribuiscono ai rif inerziali le proprietà possedute.

Le leggi della meccanica nascono dall'analisi dei risultati sperimentali relativi ai fenomeni di moto che dipendono dal riferimento adottato. Prima di fornire le leggi della meccanica è necessario fissare l'attenzione sul S.D. d'adozione. Non si deve presumere che le leggi di tipo generale assumano una forma semplice se si usa S.D. solidale alla Terra perché se così fosse non sarebbe possibile rappresentare in maniera altrettanto semplice rispetto a s.d. solidi di altri corpi (c'è chi non è usa!).

Dalle osservazioni astronomiche si sa che un corpo celeste, schematizzabile come elemento materiale E, in moto rispetto ol riferimento terrestre ha un accelerazione ≠ 0 (rispetto tale rif.). Se E è sufficientemente distante dagli altri corpi celesti la sua accelerazione è data dalla somma di due termini: il primo dipende della posizione di E ed i propri alla dist d'od altri terrestri; il secondo dipende della velocita' d E e si annulla solo se E // alle terrestri. I corpi cause è descrivono rispetto cl rif terrestre traiettorie complicate e diverse tra loro. Se invece si adotta come riferimento quello avente origine nel centro della terra e assi i cui orientamenti non variano nisp de fis elle, sia che sugli elementi ß laterali da tutti gl altri corpi celesti, esibisce la stessa accelerazione. Le loro traiettorie son rettilinee e i moti risultano molto più semplici di prima.

Se infine si considera un rif. (R.C*) deseta origine nel centro del Sole e assi i cui orientamenti non variano rispetto delle stelle fisse tutti gli elementi e hanno rispetto a tale una accell = 0 e i loro moti sono rett indol. Si attribuiscono all'elemento isolato tutte le proprietà possedute da ogni corpo latero agn altri corpi. Si attribuiscono osi rif inerziale le proprietà possedute del rif RC^*. Tutti i moti rettilinei uniformi rispetto a un rif inerziale sono tali risp a un qualsiasi altro rif inerziale.

I rif inerziali costituiscono una classe di ooo spostati di rif in moto TRU l'uno rispetto all'altro e rispetto a questi rif un elemento ha la medesima accelerazione (infatti a_r = 0, a_I = 0 quindi dalla relazione _ās = _ār + _ār + _āI + _ād si ha _āa = _ār).

Prima legge

Rispetto ad ogni rif inerziale l'accelerazione di un qualsiasi demo isolato è nulla.

Consideriamo una coppia di elementi E_b ed E_k e osserviamo ƥ_k e ā_kh le loro accelerazioni, rispetto un rif inerziale. Se la coppia di elementi è sufficientemente lontana da ogni altro corpo e quindi sia la distanza tra di essi le due accelerazioni godono delle seguenti proprietà:

• Hanno la d.d.n di E_k, E_h.
• Hanno versi opposti ↗ constante.
• Il loro rapporto ρ_hk = ^Δh_k/_ākh non dipende da t_f, della postz. e della velocità dell'inf. demo.
• Se si considerano spostamenti sopra diverse coppie di due a due un elemento in comune pes (E_h,E_k), (E_h,E_τ), (E_τ,E_t) i rapporti ρ_hk , ρ_hτ e ρ_τk sono legati dalla relazione ρ_hk = ρ_hτ ρ_τk.
• Ogni coppia isolata di elementi gode di queste proprietà.

Massa e coppia isolata

Quando gli elementi di una coppia hanno accelerazioni simmetriche di eguale "intensita", si dice che i due elementi hanno la stessa massa. Una massa H e' la classe costituita da elementi, riuniti in coppie isolate, aventi uguale accelerazione rispetto a un riferimento inerziale. Se H_h e' la classe a cui appartiene E_h e H_k quella a cui appartiene E_k, il loro rapporto e' uguale, per definizione, a H_h / H_k = α_kh / α_kt.

Le masse sono distinte dalle lunghezze e dai tempi e assieme a essi formano una terna di grandezze mutuamente indipendenti. Nelle relazioni dimensionali la massa e' indicata col simbolo [M]. Qualunque massa può essere scelta come unita U_h. Nel SI e' l' unita di massa adottata e' il kg. Il rapporto H / U_h e' un numero della misura di H misu U_h ed e', per definizione, non negativa. Un elemento si dice materiale se ad esso e' associata la misura m relativa all' unita scelta.

Se uno sistema posizionale di n elementi la misura della massa totale e' data da M = Σ_h m_h.

Per una coppia isolata di elementi le quattro proprietà enunciate prima possano essere risatate nelle relazioni: μ_hα_hk + μ_kα_kh = 0 A_Ph × μ_hα_hk + A_pk × μ_kα_kh = 0 dove Ph e Pk sono i punti accettati dal istante t da E_h ed E_k mentre A e' un punto qualsiasi fisso o mobile rispetto allo spazio di riferimento.

Dalla prima relazione si capisce che le due accelerazioni hanno stessa dir., verso opposto e che il rapporto tra le loro intensità non varia. La seconda indica che la direzione comune alle due accelerazioni che è proprio quella che unisce E_k con E_k infatti se si pone: _APk = _APh + P_k la seconda eq del sist * diventa _APh x (μ_hahk + μ_kakh) + P_hP_k x μ_kqkh = 0 ⇒ _PPk // _qkh.

Forza e momenti

I prodotti delle misure delle masse per le accelerazioni definiscono le grandezze vettoriali forza ⃗F ( F ⃗ ) aventi dimensioni [ MLT^-2 ] che sono concordi con le accelerazioni dato che le misure delle masse sono un rapporto. Nel SI l'unità di misura della forza è il Newton ( N ) esso l'intensità della forza individuata dalla massa di un kg e dell'accelerazione di 1 m/s².

Il prodotto della massa di un elemento per la sua accelerazione in un Mbps incerto si ebornia forza effettiva. Quando due elementi E_k ed E_k ε od una coppia isolata , essi si scambiano le forze F_kh = μ_kakh e F_hk = μ_kakh.

Introducendo queste due relazioni nel sistema *, nella seconda equazione i prodotti vettoriali che appaiono sono i momenti rispetto al polo A delle forze che si scambiano i due elementi. I momenti delle forze sono prodotto vettoriali di dimensioni [ M²L²T^-2 ]. La loro somma prescrive il momento totale è la somma dei momenti delle singole forze sugli n ogni elementi. Risistema * diventa quindi { F_hk + F_kh = 0 _APk x F_hk + APe_k x F_kh = 0 }

Seconda legge

Le forze effettive scambiate dagli elementi di una coppia isolata hanno somma nulla e momento totale nullo.

Sia S uno schema particellare con N > 2. Indicheremo con _h l'accelerazione del generico elemento _h rispetto ad un riferimento inerziale e con _h = m_{h h} la forza effettiva agente su di esso. Se S è isolata la forza che agisce sull'elemento _h può essere espressa come somma delle forze esercitate su esso dagli altri elementi di S (e lo stesso per le accelerazioni) cioè _l = ∑_{k hk}(_h = ∑_{k hk}).

Terza legge

La forza effettiva agente su un elemento di uno schema particellare isolato è la somma delle forze esercitate su di esso dagli altri elementi dello schema.

Quantità di moto

Il prodotto della misura della massa di un elemento per la sua velocità fornisce la grandezza vettoriale quantità di moto _h. Per un elemento _h di uno schema particellare si ha _h = m_hh. La q.d.m. ha come dimensioni [MLT^-1] ed è concorde con la velocità. In uno schema particellare la q.d.m. totale è data dalla somma delle q.d.m. dei singoli elementi _Q = ∑_hh = ∑_h m_hh.

Derivando si ottiene le relazioni ^d/ _dt _h = m_hh e ^d/ _dt _Q = ∑ ^d/ _dt m_hh queste derivate sono grandezze vettoriali aventi dimensioni [MLT^-2]. Tenendo conto della relazione _h = ∑_khk si ha ^d/ _dt _Q = ∑_i^d/ _dt ∑_k m_hhk..

La doppia sommatoria è formata da termini del tipo m_h →a_kt + m_k →a_ht che si annullano quindi si ha ⋙⋙Q = 0 e quindi Q = cost. quindi el TEO DI CONSERVAZIONE DELLA Q.D.M. : Rispetto a un rif. inerziale la q.d.m. totale di uno schema particellare isolato è costante durante il moto.

Baricentro

Si chiama baricentro di uno schema particellare S il punto G individuato della relazione OG = ^N∑₁ m_h OP_h H = ^N∑₁ m_h dove P_h è il punto dello spazio di rif. accettato dall'elem. di S. Il baricentro è unico e la s. indipa. dalla scelta di O adottati O’G’ = O’O + OG’ = O’O + ^N∑₁ m_h OP_h = O’O + OG = O’G cioè G = G’ il baricentro è lo stesso.

In generale G non è sovrapposto a nessun elemento materiale di S. La sua posizione che occupa nello spazio di rif. varia con t. G lo baricentro è distinto dal punto che esso occupa nel ist. t. Derivando la * risp a t si ha HV⋙_G = Q⋙ e se nel rif. iinerziale e lo schema isolato si ha V⋙_G = cost (perché anche Q=cost TEO DI CONS. DELLA VEL DEL BARICENTRO: Rispetto a ogni rif inerziale la vel del baricentro di uno schema particellare isolato si, mantiene cost. durante il moto.

Il baricentro quindi possiede le stesse proprietà del moto di un elem. isolato. Consideriamo il polo A fìsso o mobile nel rif. adottato. Il momento della q.d.m. rispetto ad A è dato per il singolo elemento En della sistema particella da _KA = _AP_h x m_hVh. La somma dei _KA si chiama momento totale della qdm _XA = Σ_{ih A}P_h x m_hVh. Il momento della q.d.m. è una grandezza vettoriale avente dimensioni [M L²T^-1].

Derivando rispetto a t si ha _K̇A = Σ_{i A}P_h x m_hah + Σ_{ih A}P_h x m_{hVh K̇A} = Σ_{i A}P_h x m_hah + Σ_h (_Vh - _V̇A) x m_{hVh K̇A} = Σ_{i A}P_h x m_hah + Σ_{ih Vh} x m_hVh - _V̇A x Σ_Ni m_{h K̇A} = Σ_{i A}P_h x m_hah - _V̇A x _Q̇.

Anche la derivata del momento della q.d.m. è una grandezza vettoriale di dim [M L₂ T^-2]. Affinché l'ultimo termine della = sia nullo la velocità di A deve essere // _Q̇ e cioè alla velocità di G (_Q̇ = M_GM_AM^G). Giomando T in polo avente tale proprietà si ha _K̇T = Σ_{N T}P_h x m_hah Se lo sistema particella e' isolato e se