Le unità  di misura in elettromagnetismo e le equazioni di Maxwell

Le unità di misura in elettromagnetismo e le equazioni di Maxwell

Autore: Pietro Romano (pr.romano@tin.it)

Liceo Scientifico Statale “Leonardo” – Giarre (CT) (www.liceoleonardogiarre.it)

Abstract

In this work, c.g.s. and S.I. metric systems are compared, from the electromagnetic units point of view. Starting from a system-independent form of the electric and magnetic basic equations, based on three constants k_e, k_m, and γ_em, we obtain the light velocity as:

c = √k_e / (γ_em² k_m) [I]

c is a cinematic parameter that can be independently measured. Thus, only two of the three constants can be arbitrarily fixed, determining the different systems by this choice.

Premessa

In queste pagine, viene trattata la questione relativa alle unità di misura delle grandezze elettromagnetiche, al fine di migliorare la comprensione delle relazioni tra i vari sistemi di unità di misura che, tra la fine del XIX° secolo e gli inizi del XX°, si sono succeduti e che, spesso, sono anche stati utilizzati in forma ibrida.

Inizialmente, tutte le relazioni importanti dell’elettromagnetismo vengono introdotte senza fare riferimento ad alcuno dei sistemi di unità di misura. Così facendo, ci si ritroverà in presenza di tre costanti arbitrarie (una elettrica, k_e, una magnetica, k_m, ed una elettromagnetica, γ_em), che, infine, risulteranno collegate dalla relazione che esprime la velocità della luce:

c = √k_e / (γ_em² k_m) [I]

Essendo c una velocità, quindi un parametro essenzialmente cinematico, la sua determinazione è indipendente dalle leggi dell’elettromagnetismo; nella relazione [I] sono allora solamente due le grandezze indipendenti e l’accento viene posto sul fatto che è il modo in cui viene effettuata la loro scelta che determina il tipo di sistema di unità di misura.

La legge di Coulomb per l’elettrostatica

La legge che va sotto il nome di legge di Coulomb viene scoperta nel 1766 da Priestley e, indipendentemente, da Cavendish, alcuni anni dopo. Priestley partì da una osservazione sperimentale di Franklin, il quale osservò che un corpo, posto all’interno di un recipiente metallico cavo ed elettricamente carico, non presentava alcuna carica elettrostatica. Avendo presente la dimostrazione teorica di Newton, secondo la quale, se si considerava valida la legge dell’inverso del quadrato della distanza, all’interno di una sfera cava non agisce nessuna forza gravitazionale, Priestley ne dedusse che la stessa legge doveva valere anche per le forze elettrostatiche.

Nel 1785, Coulomb sottopone la legge a verifica sperimentale, utilizzando una bilancia a torsione, e verificando che:

F = k_e q q′ / r² [1]

La costante k_e può essere determinata per via sperimentale attraverso la [1], se è stata preliminarmente definita l’unità di carica elettrica.

In alternativa, è possibile fissare k_e in modo arbitrario e definire l’unità di carica attraverso la [1].

La legge di Coulomb per la magnetostatica

La differenza fondamentale tra fenomeni elettrici e magnetici è data dal fatto che non risulta possibile isolare singoli poli magnetici. Se però il magnete ha una forma allungata, in prossimità di un polo l’effetto dell’altro polo risulta trascurabile.

La possibilità di misurare l’intensità magnetica di un polo consegue da alcuni fatti sperimentali (Michell, 1750; Coulomb, 1800), che possono essere messi in evidenza attraverso una bilancia di torsione modificata e qui ne diamo una breve descrizione:

• Dati due poli magnetici A e B, diremo che essi hanno la stessa intensità magnetica se esercitano forze uguali su uno stesso polo C di riferimento. Inoltre, sotto questa ipotesi, avvicinando contemporaneamente e contiguamente al polo di riferimento C il nord di A ed il sud di B, al migliorare della contiguità la forza tende ad annullarsi.
• Se due poli magnetici aventi uguale intensità agiscono contemporaneamente e con lo stesso segno sul polo magnetico di riferimento, questo risulta soggetto ad una forza doppia di quella applicata da ciascuno dei due poli separatamente.

Gli esperimenti misero in evidenza che la forza tra due poli magnetici è:

F = k_m p p′ / r² [2]

quindi una legge simile a quella valida in elettrostatica. Le quantità p e p′ indicano le intensità magnetiche dei poli. Come prima, anche la costante k_m può essere determinata attraverso la [2] per via sperimentale, dopo che si è introdotto il valore unitario della carica magnetica oppure fissandola arbitrariamente, per poi definire, sempre da qui, l’unità di misura della carica magnetica.

Per la già espressa difficoltà di isolare un singolo polo magnetico, questo approccio alla magnetostatica non è molto praticato, ma la [2] è una relazione che tornerà utile più in là.

L’intensità di corrente

Viene definita come la carica che nell’unità di tempo attraversa la sezione di un conduttore:

i = dq / dt [3]

La sua unità di misura è quindi derivabile dall’unità di carica e dall’unità di tempo.

La connessione tra fenomeni elettrici e magnetici

Nel 1820, Oërsted mise in evidenza la stretta connessione tra elettricità e magnetismo, dimostrando sperimentalmente gli effetti di una corrente elettrica su un ago magnetico. Dopo poco più di un mese, Biot e Savart dimostrano che la forza che un campo magnetico H esercita su un filo percorso da corrente e la cui direzione è perpendicolare a quella del campo, risulta proporzionale alla corrente, alla lunghezza del conduttore e al campo stesso:

F = γ_em i l H [4]

Da qui, la costante γ_em può essere determinata a partire da misure di i, di l e di H.

Le equazioni dell’elettromagnetismo

Il vettore induzione magnetica B

La relazione [4] consente l’introduzione di una nuova grandezza magnetica di grande utilità. Se poniamo infatti:

B = γ_em H [5]

la [4] diventa:

F = i l B [6]

La grandezza B, che prende il nome di induzione magnetica, risulta quindi definibile operativamente attraverso la [6], facendo ricorso solo a grandezze meccaniche.