Le progressioni aritmetiche

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Progressioni aritmetiche

Cominciamo con due esempi:

Consideriamo la successione di numeri:

Esempio 1 3, 7, 11, 15, 19, 23

+4 +4

+4 +4

+4

La successione è tale che si passa da un termine al successivo aggiungendo

sempre +4. Si dice anche che la successione precedente è una progressione

‘3’ è il primo termine della progressione, ‘23’ è l’ultimo termine

aritmetica.

e ‘+4’ (il numero che si aggiunge ad un termine per avere il successivo) si

chiama ragione della progressione. Inoltre visto che i termini aumentano

sempre, la progressione considerata è crescente.

Consideriamo la successione di numeri:

Esempio 2 15, 9, 3, -3

-6 -6 -6

La successione è tale che si passa da un termine al successivo aggiungendo

sempre -6. La successione precedente è una progressione aritmetica di

ragione -6. I termini della successione diminuiscono sempre e la

progressione considerata è decrescente.

Possiamo generalizzare quanto visto nei due esempi precedenti con la seguente definizione:

Una progressione aritmetica é una successione di numeri reali tale che la differenza tra due termini

consecutivi della successione è costante. Questa costante si chiama ragione della progressione stessa:

se la ragione è positiva la successione è crescente, se la ragione è negativa la succesione è decrescente.

Simbolicamente, indicando con a il termine n-simo della successione e con d la sua ragione, possiamo

n

scrivere:

a = a + d

2 1

a = a + d = a + d + d = a + 2d

3 2 1 1

a = a + d = a + 2d + d = a + 3d

4 3 1 1

...

a = a + d = a + (n-2)d + d = a + (n - 1)d

n n-1 1 1

dove l’ultima espressione: a = a + (n - 1)d (1)

n 1

R. SANTORO: Progressioni aritmetiche 2

fornisce una relazione generale per calcolare il termine di posto n (a ) di una progressione aritmetica di

n

cui si conosce il primo ternine (a ) e la ragione (d).

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Calcolare il 13-mo termine di una progressione aritmetica per cui il primo

Esempio 3 termine vale 2 e la ragione vale 5.

Applicando la formula precedente, abbiamo subito:

a = a + (13-1)d = 2 + 125 = 2 + 60 = 62.

13 1

La relazione (1) puó essere utilizzata per calcolare uno qualunque degli elementi presenti a partire dagli

altri. Cosí possiamo scrivere anche le relazioni:

   (2)

a a ( n 1

) d

1 n 

a a

 n 1 (3)

d 

n 1



a a

 

n 1 (4)

n 1

d

Calcolare la ragione di una progressione aritmetica di cui si conosce il primo

Esempio 4 termine uguale a 4 ed il 15-mo uguale a 21.

Applicando la form