Le leggi di Keplero

Erman Di Rienzo Le leggi di Keplero

F-1

LE LEGGI DI

KEPLERO

[edr - Aprile 2001]

www.matematicamente.it 1

. . .

Temp' era dal principio del mattino,

e 'l sol montava 'n sù con quelle stelle

ch’eran con lui quando l'amor divino

mosse di prima quelle cose belle;

. . .

[Dante – Inferno: canto I° - versi 37-40]

In copertina: Ritratto di Giovanni Keplero [Joannes Kepler: Wiel (Germania) 1571 – 1630] 2

Premessa: Le tappe della cosmologia

L’uomo primitivo ebbe per lunghissimo tempo le più strane concezioni sulla

forma e sulle dimensioni della Terra, considerandola comunque come la parte

principale dell’Universo, anche se non si può escludere che qualcuno nel passato

abbia nutrito dubbi su tali concezioni o abbia intuito ipotesi più realistiche, per

non incorrere nel frequente errore di ritenere la genialità appannaggio solo della

modernità.

Già nel VI secolo presso la scuola Ionica, con Talete ed altri filosofi si era

affacciata l’ipotesi della sfericità della Terra, che però restava al centro

dell’Universo. L’idea fu accolta da Aristotele che nel suo De Caelo la suffragò

con ineccepibili argomentazioni, riferendo anche di tentativi precedenti di

misurazione senza alcun cenno ai metodi adottati e concludendo semplicemente

che alla fine la Terra non era neanche poi tanto grande. All’epoca il valore più

accreditato per il meridiano terrestre era di 400'000 stadi, un valore tra i 59

milioni di Km, per lo stadio delfico (148,6 m), ed oltre 73 milioni di Km per lo

stadio olimpico (184,4 m). In ogni caso le dimensioni della Terra erano

sopravalutate.

La prima misurazione della Terra su base scientifica fu effettuata da Eratostene

di Cirene intorno al 240 a.C.; vissuto tra il 280 (circa) ed il 196 a.C. fu una

grande figura della cultura dell’epoca, direttore per lunghissimo tempo della

Biblioteca di Alessandria.

Eratostene aveva osservato (o qualcuno gli aveva fatto osservare) che a Siene,

l’attuale Assuan, nel giorno del solstizio d’estate, quando il sole era allo zenit,

quando cioè le ombre avevano la minima lunghezza, i suoi raggi illuminavano il

fondo dei pozzi, quindi erano praticamente perpendicolari al suolo. Non era così

ad Alessandria, dove nello stesso giorno allo zenit i raggi avevano una

inclinazione di circa 7 gradi. Eratostene ne dedusse una ulteriore prova della

sfericità della Terra (se mai ve ne fosse ancora bisogno), forse la prova

dell’obliquità dell’eclittica sull’equatore, ma sopra tutto ne intuì una possibilità di

misurazione delle dimensioni; il risultato cui pervenne ha dell’incredibile alla luce

delle moderne conoscenze: la Terra aveva un diametro di 252'000 stadi, che, se

per stadio si intende quello egiziano dell’epoca di 157,6 m, corrisponde a 39'700

Km con un errore inferiore all’ 1%.

Ma veniamo al metodo utilizzato; si partì naturalmente da alcune ipotesi:

- che la Terra fosse perfettamente sferica,

3 - che i raggi del sole fossero paralleli tra loro in ogni punto della Terra,

nell’ipotesi cioè che il Sole fosse molto distante dalla Terra e che le sue

dimensioni fossero molto inferiori a detta distanza,

- che le due località, Alessandria e Siene, fossero sullo stesso meridiano, ovvero

che Alessandria fosse esattamente a Nord di Siene.

In queste ipotesi la differenza di angolazione dei raggi nelle due località

corrispondeva alla differenza delle loro latitudini; conoscendone la distanza si

poteva risalire alla lunghezza

del diametro terrestre, essen-

do questo in proporzione a

detta distanza come la

differente angolazione dei Alessandria

raggi solari sta ad un angolo

giro.

Ineccepibile il metodo,

anche se basato su ipotesi, α Siene

due delle quali all’epoca α

erano solo congetture non

essendovi ancora alcuna

possibilità di verifica, e sulla

misura della distanza tra le

due località, sulla cui accuratezza sono stati avanzati molti dubbi.

Da più parti quindi si sostiene che la precisione del risultato sia stato piuttosto

frutto di coincidenze, con errori che si compensarono reciprocamente; in

particolare gli errori principali sarebbero:

- Siene (Assuan) non è sul tropico ma a circa 30’ a Nord di questo;

- Alessandria non è esattamente a Nord di Siene ma di circa 4° più ad Ovest;

- la distanza tra le due città sarebbe stata misurata in termini di giorni di

cammino.

Inoltre vi sarebbe incertezza sull’unità di misura utilizzata (lo stadio) e lo stesso

risultato (252'000 stadi) appare piuttosto come un numero comodo per successive

calcolazioni essendo divisibile per tutti i numeri da 1 a 10.

Per un giudizio obiettivo però occorrerebbe possedere l’opera originale dello

scienziato “Sulla misurazione della terra” che purtroppo è andata perduta. Si

ritiene invece che la storia del pozzo di Siene sia stato piuttosto uno spunto per

intraprendere un complesso sistema di rilevazioni e misurazioni che portò ad un

risultato molto preciso, anche in considerazione della lunga tradizione in materia

di misurazioni dei terreni dell’antico Egitto. 4

Ma per lungo tempo alla misura di Eratostene si preferì quella di Posidonio di

Apamea che circa 150 anni dopo aveva stabilito in circa 30'000 Km il diametro

terrestre. Sui motivi di tale preferenza ci sarebbe tanto da argomentare; ci

limitiamo a suggerire alcune ipotesi: che Posidonio apparteneva ad una cultura più

aderente a quella dominante di Roma, essendo stato tra l’altro amico di Cicerone e

di Pompeo. Inoltre il nuovo valore era più rassicurante in un’epoca in cui il

mondo conosciuto non superava alcune migliaia di Km. Ed infine più piccolo era

il mondo, maggiore era la percentuale dello stesso dominato da Roma.

Più o meno negli stessi anni di Eratostene, Aristarco di Samo procedette a

misurazioni più ambiziose: quella della distanza Terra-Luna e quella Terra-Sole,

quindi delle dimensioni di Sole e Luna, pervenendo a risultati azzeccati solo per

l’ordine di grandezza. Singolari i metodi adottati: ad esempio per determinare il

rapporto tra la distanza Terra-Luna e quella Terra-Sole, partì dalla considerazione

che quando la Luna ci appare illuminata esattamente a metà (primo o ultimo

quarto), ciò significa che l’asse visivo, L

S

dalla Terra al centro del disco lunare, è

perpendicolare all’asse di illumina-

zione dal centro del Sole al centro

della Luna. Basta allora misurare T

l’angolo relativo tra i due corpi per

ottenere il rapporto tra le loro distanze con la Terra. Purtroppo a causa della

rifrazione dell’atmosfera (che probabilmente Aristarco non conosceva) la sua

misura di 87°, contro gli effettivi 89° e 50’ circa, lo portò ad un valore di tale

rapporto di 1/19, contro circa 1/400 effettivo.

Erano comunque risultati notevoli per l’epoca, ma più notevolmente ne dedusse

come fosse improbabile, nel caso del Sole, che un corpo molto più grande

ruotasse intorno ad uno molto più piccolo. Rimaneva la difficoltà di spiegare la

fissità delle stelle se fosse stata la Terra a girare intorno al Sole, a meno che non si

ipotizzasse una distanza delle stesse tale da annullare qualunque parallasse. Ne

sarebbe derivato un valore delle dimensioni dell’Universo grandissimo, nei cui

confronti “…per poco il cor non si spaura”. Ed infatti la teoria non fu accettata ed

anche per Aristarco scattò la solita accusa e condanna per empietà.

Un’altra importante tappa della cosmologia fu Ipparco di Nicea (125-187 a.C.),

forse il più grande astronomo dell’antichità. Visse per la maggior parte della vita a

Rodi ma trascorse qualche tempo ad Alessandria d’Egitto che all’epoca era un

centro di attrazione per la cultura richiamando letterati, artisti, scienziati e tecnici

da tutto il mondo allora conosciuto. Le sue opere non ci sono pervenute e tutto ciò

che sappiamo del suo pensiero lo dobbiamo a Tolomeo suo grande ammiratore e

5 seguace. Ipparco fu un osservatore attento e scrupoloso dei fenomeni celesti, per

lo scopo inventando numerosi strumenti come l’Astrolabio e la Diottra e mettendo

a punto tecniche matematiche raffinate, gettando le basi di quel ramo della

geometria che più tardi si chiamerà trigonometria. Per quanto ne sappiamo

compilò un catalogo delle stelle descrivendone oltre 800, determinò la durata

dell’anno solare in 365 giorni e 6 ore, scoprì con la precessione degli equinozi il

terzo movimento della Terra e calcolò la distanza Terra-Luna ricavandone un

valore di circa 390'000 Km straordinariamente vicina a quella attualmente nota.

Probabilmente pervenne a questo valore rilevando dapprima il diametro lunare

confrontato con quello terrestre, misurando il tempo nel quale la Luna percorre il

cono d’ombra della Terra durante una sua eclissi, quindi ricavando la distanza

dall’angolo, di circa 0,5°, sotto il quale la Luna stessa è vista dalla Terra.

Avrebbe però rifiutata ogni ipotesi eliocentrica, ma non sappiamo su quali basi.

Quindi Claudio Tolomeo, astronomo e matematico vissuto nel II secolo d.C. (100

– 178 circa), che nel suo Almagesto (il titolo originario “Magisté Syntaxis” fu

tradotto dagli arabi in Al majisti, e dall’arabo in latino in Almagestum) fece la più

grande sintesi di tutte le conoscenze astronomiche fino ai suoi tempi e, un po’

come in altri campi per le opere di Aristotele, costituì per molti secoli l’unico

riferimento per l’interpretazione dei fenomeni celesti. Quando un impianto teorico

è così vasto e dà spiegazioni di così tanti Sole Eccentrico

fenomeni, naufraga ogni tentativo di critica, anche

parziale.

Tolomeo presenta lo schema dell’Universo

mettendo la Terra al suo centro. Il Sole e la Luna si Terra

muovono in modo uniforme su orbite circolari il

cui centro però non coincide con il centro della

Terra e per questo dette “eccentrici”. Con questo si

spiegavano alcune irregolarità del moto che in

alcuni periodi appariva più rapido, in altri meno.

I pianeti (all’epoca ne erano noti solo cinque:

Mercurio, Venere, Marte, Giove e Saturno) si Moto eccentrico