Le leggi di Keplero

Erman Di Rienzo Le leggi di Keplero

F-1

Le leggi di Keplero

[edr - Aprile 2001]

www.matematicamente.it 1

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Temp' era dal principio del mattino,

e 'l sol montava 'n sù con quelle stelle

ch’eran con lui quando l'amor divino

mosse di prima quelle cose belle;

. . .

[Dante – Inferno: canto I° - versi 37-40]

In copertina: Ritratto di Giovanni Keplero [Joannes Kepler: Wiel (Germania) 1571 – 1630] 2

Premessa: le tappe della cosmologia

L’uomo primitivo ebbe per lunghissimo tempo le più strane concezioni sulla forma e sulle dimensioni della Terra, considerandola comunque come la parte principale dell’Universo, anche se non si può escludere che qualcuno nel passato abbia nutrito dubbi su tali concezioni o abbia intuito ipotesi più realistiche, per non incorrere nel frequente errore di ritenere la genialità appannaggio solo della modernità.

Già nel VI secolo presso la scuola Ionica, con Talete ed altri filosofi si era affacciata l’ipotesi della sfericità della Terra, che però restava al centro dell’Universo. L’idea fu accolta da Aristotele che nel suo De Caelo la suffragò con ineccepibili argomentazioni, riferendo anche di tentativi precedenti di misurazione senza alcun cenno ai metodi adottati e concludendo semplicemente che alla fine la Terra non era neanche poi tanto grande. All’epoca il valore più accreditato per il meridiano terrestre era di 400'000 stadi, un valore tra i 59 milioni di Km, per lo stadio delfico (148,6 m), ed oltre 73 milioni di Km per lo stadio olimpico (184,4 m). In ogni caso le dimensioni della Terra erano sopravalutate.

La prima misurazione della Terra su base scientifica fu effettuata da Eratostene di Cirene intorno al 240 a.C.; vissuto tra il 280 (circa) ed il 196 a.C. fu una grande figura della cultura dell’epoca, direttore per lunghissimo tempo della Biblioteca di Alessandria.

Eratostene aveva osservato (o qualcuno gli aveva fatto osservare) che a Siene, l’attuale Assuan, nel giorno del solstizio d’estate, quando il sole era allo zenit, quando cioè le ombre avevano la minima lunghezza, i suoi raggi illuminavano il fondo dei pozzi, quindi erano praticamente perpendicolari al suolo. Non era così ad Alessandria, dove nello stesso giorno allo zenit i raggi avevano una inclinazione di circa 7 gradi. Eratostene ne dedusse una ulteriore prova della sfericità della Terra (se mai ve ne fosse ancora bisogno), forse la prova dell’obliquità dell’eclittica sull’equatore, ma sopra tutto ne intuì una possibilità di misurazione delle dimensioni; il risultato cui pervenne ha dell’incredibile alla luce delle moderne conoscenze: la Terra aveva un diametro di 252'000 stadi, che, se per stadio si intende quello egiziano dell’epoca di 157,6 m, corrisponde a 39'700 Km con un errore inferiore all’1%.

Ma veniamo al metodo utilizzato; si partì naturalmente da alcune ipotesi:

• Che la Terra fosse perfettamente sferica,
• Che i raggi del sole fossero paralleli tra loro in ogni punto della Terra, nell’ipotesi cioè che il Sole fosse molto distante dalla Terra e che le sue dimensioni fossero molto inferiori a detta distanza,
• Che le due località, Alessandria e Siene, fossero sullo stesso meridiano, ovvero che Alessandria fosse esattamente a Nord di Siene.

In queste ipotesi la differenza di angolazione dei raggi nelle due località corrispondeva alla differenza delle loro latitudini; conoscendone la distanza si poteva risalire alla lunghezza del diametro terrestre, essendo questo in proporzione a detta distanza come la differente angolazione dei raggi solari sta ad un angolo giro.

Ineccepibile il metodo, anche se basato su ipotesi, due delle quali all’epoca erano solo congetture non essendovi ancora alcuna possibilità di verifica, e sulla misura della distanza tra le due località, sulla cui accuratezza sono stati avanzati molti dubbi.

Da più parti quindi si sostiene che la precisione del risultato sia stato piuttosto frutto di coincidenze, con errori che si compensarono reciprocamente; in particolare gli errori principali sarebbero:

• Siene (Assuan) non è sul tropico ma a circa 30’ a Nord di questo;
• Alessandria non è esattamente a Nord di Siene ma di circa 4° più ad Ovest;
• La distanza tra le due città sarebbe stata misurata in termini di giorni di cammino.

Inoltre vi sarebbe incertezza sull’unità di misura utilizzata (lo stadio) e lo stesso risultato (252'000 stadi) appare piuttosto come un numero comodo per successive calcolazioni essendo divisibile per tutti i numeri da 1 a 10.

Per un giudizio obiettivo però occorrerebbe possedere l’opera originale dello scienziato “Sulla misurazione della terra” che purtroppo è andata perduta. Si ritiene invece che la storia del pozzo di Siene sia stato piuttosto uno spunto per intraprendere un complesso sistema di rilevazioni e misurazioni che portò ad un risultato molto preciso, anche in considerazione della lunga tradizione in materia di misurazioni dei terreni dell’antico Egitto. 4

Le misurazioni della Terra e del cosmo

Ma per lungo tempo alla misura di Eratostene si preferì quella di Posidonio di Apamea che circa 150 anni dopo aveva stabilito in circa 30'000 Km il diametro terrestre. Sui motivi di tale preferenza ci sarebbe tanto da argomentare; ci limitiamo a suggerire alcune ipotesi: che Posidonio apparteneva ad una cultura più aderente a quella dominante di Roma, essendo stato tra l’altro amico di Cicerone e di Pompeo. Inoltre il nuovo valore era più rassicurante in un’epoca in cui il mondo conosciuto non superava alcune migliaia di Km. Ed infine più piccolo era il mondo, maggiore era la percentuale dello stesso dominato da Roma.

Più o meno negli stessi anni di Eratostene, Aristarco di Samo procedette a misurazioni più ambiziose: quella della distanza Terra-Luna e quella Terra-Sole, quindi delle dimensioni di Sole e Luna, pervenendo a risultati azzeccati solo per l’ordine di grandezza. Singolari i metodi adottati: ad esempio per determinare il rapporto tra la distanza Terra-Luna e quella Terra-Sole, partì dalla considerazione che quando la Luna ci appare illuminata esattamente a metà (primo o ultimo quarto), ciò significa che l’asse visivo, L

S

dalla Terra al centro del disco lunare, è perpendicolare all’asse di illuminazione dal centro del Sole al centro della Luna. Basta allora misurare T l’angolo relativo tra i due corpi per ottenere il rapporto tra le loro distanze con la Terra. Purtroppo a causa della rifrazione dell’atmosfera (che probabilmente Aristarco non conosceva) la sua misura di 87°, contro gli effettivi 89° e 50’ circa, lo portò ad un valore di tale rapporto di 1/19, contro circa 1/400 effettivo.

Erano comunque risultati notevoli per l’epoca, ma più notevolmente ne dedusse come fosse improbabile, nel caso del Sole, che un corpo molto più grande ruotasse intorno ad uno molto più piccolo. Rimaneva la difficoltà di spiegare la fissità delle stelle se fosse stata la Terra a girare intorno al Sole, a meno che non si ipotizzasse una distanza delle stesse tale da annullare qualunque parallasse. Ne sarebbe derivato un valore delle dimensioni dell’Universo grandissimo, nei cui confronti “…per poco il cor non si spaura”. Ed infatti la teoria non fu accettata ed anche per Aristarco scattò la solita accusa e condanna per empietà.

Un’altra importante tappa della cosmologia fu Ipparco di Nicea (125-187 a.C.), forse il più grande astronomo dell’antichità. Visse per la maggior parte della vita a Rodi ma trascorse qualche tempo ad Alessandria d’Egitto che all’epoca era un centro di attrazione per la cultura richiamando letterati, artisti, scienziati e tecnici da tutto il mondo allora conosciuto. Le sue opere non ci sono pervenute e tutto ciò che sappiamo del suo pensiero lo dobbiamo a Tolomeo suo grande ammiratore e 5 seguace. Ipparco fu un osservatore attento e scrupoloso dei fenomeni celesti, per lo scopo inventando numerosi strumenti come l’Astrolabio e la Diottra e mettendo a punto tecniche matematiche raffinate, gettando le basi di quel ramo della geometria che più tardi si chiamerà trigonometria. Per quanto ne sappiamo compilò un catalogo delle stelle descrivendone oltre 800, determinò la durata dell’anno solare in 365 giorni e 6 ore, scoprì con la precessione degli equinozi il terzo movimento della Terra e calcolò la distanza Terra-Luna ricavandone un valore di circa 390'000 Km straordinariamente vicina a quella attualmente nota.

Probabilmente pervenne a questo valore rilevando dapprima il diametro lunare confrontato con quello terrestre, misurando il tempo nel quale la Luna percorre il cono d’ombra della Terra durante una sua eclissi, quindi ricavando la distanza dall’angolo, di circa 0,5°, sotto il quale la Luna stessa è vista dalla Terra.

Avrebbe però rifiutata ogni ipotesi eliocentrica, ma non sappiamo su quali basi.

Il sistema di Tolomeo

Quindi Claudio Tolomeo, astronomo e matematico vissuto nel II secolo d.C. (100 – 178 circa), che nel suo Almagesto (il titolo originario “Magisté Syntaxis” fu tradotto dagli arabi in Al majisti, e dall’arabo in latino in Almagestum) fece la più grande sintesi di tutte le conoscenze astronomiche fino ai suoi tempi e, un po’ come in altri campi per le opere di Aristotele, costituì per molti secoli l’unico riferimento per l’interpretazione dei fenomeni celesti. Quando un impianto teorico è così vasto e dà spiegazioni di così tanti Sole Eccentrico fenomeni, naufraga ogni tentativo di critica, anche parziale.

Tolomeo presenta lo schema dell’Universo mettendo la Terra al suo centro. Il Sole e la Luna si Terra muovono in modo uniforme su orbite circolari il cui centro però non coincide con il centro della Terra e per questo dette “eccentrici”. Con questo si spiegavano alcune irregolarità del moto che in alcuni periodi appariva più rapido, in altri meno.

I pianeti (all’epoca ne erano noti solo cinque: Mercurio, Venere, Marte, Giove e Saturno) si Moto eccentrico