Laboratorio informatico con Cabri: Verifica dei Teoremi di Euclide e Pitagora per una comprensione chiara

Scuola di specializzazione per l’insegnamento

Secondario della Toscana

Sede di Firenze

IX ciclo

I anno

Indirizzo fisico matematico

Laboratorio informatico - Cabri

Specializzanda

Elena Lucarelli

Anno accademico 2007/2008 1

Introduzione

Quando si considerano solo segmenti o angoli la congruenza, la sovrapponibilità e l'uguaglianza estensiva (o equivalenza) si identificano. Ma per le superfici poligonali?

Euclide, considerando il concetto di area come primitivo, fonda la sua teoria dell'equivalenza dei poligoni su alcuni postulati:

• Poligoni uguali sono equivalenti.
• Poligoni equivalenti ad uno stesso sono equivalenti fra loro.
• Somme di poligoni equivalenti sono equivalenti.
• Differenze di poligoni equivalenti sono equivalenti.
• Un poligono non è equivalente ad una sua parte.

Ma perché l'uguaglianza di estensione possa essere oggetto di studio rigoroso, è necessaria un'analisi approfondita, che manca in Euclide e fu compiuta soltanto in tempi recenti.

Diversi furono i matematici che si impegnarono a costruire una teoria della equivalenza di poligoni fino a giungere a dimostrare

Due poligoni equivalenti si dicono equivalenti se sono scomponibili in poligoni rispettivamente congruenti.

L'equivalenza gode della proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva.

E da questi derivano i teoremi che ci permettono di stabilire in quali casi due poligoni hanno la stessa area:

• Due parallelogrammi aventi un lato in comune e i lati opposti a questo contenuti in una stessa retta, sono equiscomponibili. Da questo come caso particolare si ha che dato un parallelogramma, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area.
• Dato un triangolo, è possibile costruire un parallelogramma con la stessa area che ha per base la metà della sua base ed uguale altezza. Da cui ovviamente segue che dato un triangolo, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area.
• Dato un poligono, è possibile costruire un poligono equivalente con un lato in meno.
• Dato un poligono convesso, è possibile costruire un rettangolo con la stessa area.
• Teorema dello gnomone: dato un rettangolo, è possibile costruire un altro rettangolo con la stessa area e avente un lato assegnato.
• Dato un qualsiasi poligono, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area e con un lato assegnato.

A questo punto useremo le abilità fin qui acquisite sul concetto di equiscomponibilità per verificare i Teoremi di Euclide e il Teorema di Pitagora in modo che gli allievi ne arrivino a capire gli enunciati più chiaramente. Completeremo il discorso sull'equiscomponibilità verificando che, grazie ai teoremi di Euclide, è possibile costruire un quadrato che ha la stessa area di un rettangolo dato. 2

Classe di riferimento

2° anno di un qualsiasi istituto di scuola secondaria di secondo grado

Prerequisiti

• Elementi di geometria piana: assiomi, definizioni relative a segmenti, angoli, rette.
• Principali caratteristiche di triangoli e quadrilateri.
• Criteri di congruenza dei triangoli.
• Teoremi di Euclide.
• Conoscenza base del software Cabri.

Obiettivi

• Equiscomponibilità ed equivalenza.
• Equivalenza di parallelogrammi.
• Equivalenza di un triangolo e di un parallelogramma.
• Mostrare un esempio di come l'equiscomponibilità aiuta nel visualizzare e a comprendere gli enunciati dei teoremi. Costruzione con Cabri dell'enunciato dei teoremi di Euclide e loro verifica. 3

Il percorso che segue ci permette di osservare che ogni poligono può essere equiscomposto con un rettangolo equivalente al poligono dato e con un lato assegnato.

Primo risultato

Due parallelogrammi aventi un lato in comune e i lati opposti a questo contenuti in una stessa retta, sono equiscomponibili. Da questo come caso particolare si ha che dato un parallelogramma, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area.

Costruzione

1. Traccia una retta r.
2. Prendi due punti, A e B, su di essa.
3. Prendi un punto C non appartenente ad r.
4. Traccia una retta parallela ad r, s, e passante per C.
5. Disegna una circonferenza di centro C e raggio AB.
6. Prendi l'intersezione fra la circonferenza e la retta r, nomina D il punto di intersezione.
7. Disegna il poligono ABCD.
8. Prendi un punto C' sulla retta s.
9. Disegna una circonferenza di centro C' e raggio AB.
10. Chiama D' l'intersezione fra quest'ultima circonferenza e la retta s.
11. Disegna il poligono ABC'D'.
12. Misura l'area dei due poligoni. 28,08 cm²

q C' D'

D

p 28,08 cm²

C A B

f

Secondo risultato

Dato un triangolo, è possibile costruire un parallelogramma con la stessa area.

Costruzione

1. Disegna un triangolo ABC.
2. Disegna il punto medio M del lato AB.
3. Traccia la retta r parallela al lato AC e passante per M.
4. Traccia la retta s parallela al lato AB e passante per C.
5. Disegna l'intersezione delle rette r ed s e chiamalo N.
6. Disegna l'intersezione P tra il lato BC e la retta r.

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7. Traccia i segmenti PC, PN, NC, BP, BM, MP.
8. Disegna il triangolo BPM.
9. Disegna il triangolo PNM.