La perpendicolarità 

La perpendicolarità

di Leonardo Calconi

La condizione di perpendicolarità è parte integrante della nostra vita, per tutto ciò che questa frase può significare.

• Un oggetto lasciato cadere viaggia verso il suolo con una traiettoria ad esso perpendicolare.
• Noi camminiamo in posizione eretta perpendicolare al suolo.
• L’angolo retto è in genere la soluzione migliore per la gestione dello spazio: edifici, mobili, imballaggi, superfici di proiezione.
• Le superfici vengono ripartite in parti eguali con l’uso degli angoli retti creati da rette perpendicolari, angoli che, come ci dice Euclide col quarto postulato, sono tutti uguali.
• Col sole allo zenith gli oggetti non proiettano ombre perché i raggi solari sono perpendicolari al suolo.
• Le matrici sono griglie con righe e colonne tra di loro perpendicolari.
• La condizione di simmetria con la quale abbiamo a che fare ovunque, a cominciare dal nostro corpo di esseri viventi, è strettamente correlata a quella di perpendicolarità.

Eccetera per mille altri esempi.

Ma in che modo possiamo individuare in una formulazione astratta questa condizione che vincola pesantemente la nostra esistenza nell’infinitesimo sottoinsieme T del sistema universo U cui apparteniamo?

Equazione implicita della retta

È possibile individuare una condizione di normalità (e la sua “inversa” di parallelismo) nell’equazione implicita di una retta nel piano cartesiano del tipo

ax + by + c = 0

equazione che, come abbiamo illustrato in un altro nostro lavoro contiene anche un’altra condizione esistenziale nel sottoinsieme T: la continuità.

D’ora in avanti adotteremo la seguente terminologia:

• Una retta perpendicolare ad un’altra è ad essa normale.
• Due rette perpendicolari tra di loro sono normali tra di loro.
• La condizione di perpendicolarità è la condizione di normalità.

Discussione sui vettori applicati

Iniziamo stabilendo la condizione di normalità tra due rette nel piano cartesiano per mezzo di due vettori A e B applicati nell’origine e aventi la stessa direzione delle rette.

Se i due vettori sono tra di loro normali si ha

|A + B| = |A – B|

ovvero il modulo del vettore somma è uguale al modulo del vettore differenza.

Ricordando che il modulo di un vettore è

|N| = NN

Si ha =

(A + B)(A + B) (A - B)(A - B)

da cui elevando al quadrato e sviluppando il calcolo si ottiene

4AB = 0 ovvero

AB = 0

Ricordando che il prodotto di due vettori è un numero, qual è il significato del numero

c = AB

che nel nostro caso è uguale a zero?

Se due vettori A e B hanno direzione qualunque e, in prima istanza, non sono tra di loro normali,

R

possiamo considerare la proiezione cB di A su B con c

In tal caso il vettore differenza A-cB sarà normale a B e si avrà

B(A – cB) = 0

ovvero

AB

=

c BB

che, nel caso B sia un vettore unità, si riduce alla forma semplificata

c = AB.

Ora, con un semplice calcolo trigonometrico, abbiamo

α

|A|cos AB

α = =

|B| = |A|cos e c

c |B| BB

da cui si ha |B| |B|

AB AB AB

α = = =

cos 2

|A| |B| |A| |A||B|

BB

Ricordando che per la diseguaglianza di Schwarz si ha

≤ ≤

2 2 2

( ) ( )( ) |A| |B|

AB AA BB

si ha anche

≤

( ) |A||B|

AB

Allora è evidente che deve essere

α

− ≤ ≤

1 cos 1

ovvero

α π

≤ ≤

0

Quindi il nostro numero, attribuendo significato al prodotto di due vettori, rappresenta l’indicatore della loro eventuale condizione di normalità:

c

Esprimendo questa condizione con una variabile booleana κ

|A|

α

• se =0 c= ovvero |A| = c|B|, i due vettori coincidono ed hanno stesso verso = falso

κ

|B|

α

• °

=90 c = 0

se, i due vettori sono distinti = vero

κ

-|A|

α

• °

= 180 c=

se, i due vettori coincidono e hanno verso opposto = falso

κ

|B|

α

• °

se =270 c = 0, i due vettori sono distinti = vero

κ

Equazione implicita della retta

Tornando alla condizione di normalità espressa da

B(A – cB) = 0

osserviamo che A e B sono due vettori applicati nell’origine e quindi sono definiti ciascuno da una n-upla che rappresenta le coordinate dell’estremità libera del vettore, ovvero un punto.

Cambiamo simboli ponendo N(X – P) = 0 dove

• X (x,y) è un punto qualsiasi del piano
• N (a,b) è un vettore non nullo applicato nell’origine
• P (u,v) è il punto per il quale passa una retta normale ad N

Essendo NX = PN sarà ax + by = ua +vb, da cui ponendo ua + vb = -c si ha

ax + by + c = 0

ovvero l’equazione implicita della retta passante per X e P e normale ad N.

In questa equazione quindi i coefficienti a,b definiscono il vettore N normale alla retta data e a qualsiasi altra retta i cui coefficienti a’,b’ identifichino un vettore N’=N.