La matematica classica
Antonio Maida
Breve storia della matematica classica
Una delle prime attività umane fu la pastorizia. Il pastore primitivo trovandosi nella necessità di contare i capi di bestiame incise su di un tronco d’albero un segno per ogni capo; era così in grado, non tanto di contare, quanto di verificare se vi fossero capi mancanti. La prima intuizione fu dunque la equinumerosità piuttosto che il numero.
È poi plausibile supporre che le prime intuizioni geometriche siano scaturite da osservazioni di fatti naturali e dall’esigenza di risolvere problemi legati all’attività agricola.
Il più antico documento scritto che c’informa circa le conoscenze matematiche degli antichi è il papiro di Rhind risalente al 2000 a.C. Il sistema di numerazione egizio usava simboli diversi per le prime potenze del dieci, era basato sul principio additivo e non era noto lo zero.
La somma ed inizialmente la moltiplicazione erano eseguite con l’abaco. Successivamente per quest’ultima si costruirono apposite tavole. La divisione era considerata come operazione inversa della moltiplicazione e nel caso di divisioni non esatte s’introducevano frazioni a numeratore unitario.
In Geometria gli egizi conoscevano un modo per determinare l’area del rettangolo e del quadrato e probabilmente la misura di altre superfici era determinata per decomposizione in poligoni elementari.
Nella costruzione di angoli retti si servivano di una fune chiusa divisa in parti uguali da dodici nodi disposti su di un triangolo i cui lati erano 3, 4 e 5 volte la distanza fra due nodi. Era quindi nota la terna pitagorica <3,4,5>. Consideravano π=(16/9)2=3,16… Vi sono infine documenti nei quali è descritto un modo per determinare il volume di un tronco di piramide a base quadrata ed altri volumi.
Sumeri e Babilonesi
Ai Sumeri, stabilitisi in Mesopotamia intorno al 4000 a.C., è attribuita l’invenzione della scrittura. Agli stessi succedettero i Babilonesi la cui civiltà raggiunse l’apice sotto Nabucodonosor (600 a.C.) e tramontò con l’invasione della Mesopotamia da parte di Ciro il Grande.
È documentato che già prima del 1800 a.C. i babilonesi avevano acquisito dai sumeri nozioni di aritmetica ed algebra. Usavano il sistema di numerazione posizionale, che si differenzia da quello additivo per il fatto che il valore di una cifra dipende dal posto occupato, in base 60, poiché mediato dalla misurazione degli angoli.
Rappresentavano con simboli cuneiformi le prime potenze del dieci, conoscevano il significato e l’uso dello zero. L’equivocità in tale sistema di numerazione era probabilmente risolta in riferimento al contesto.
Nell’indicare le frazioni ne omettevano i denominatori anticipando in tal modo i numeri decimali. Conoscevano il significato delle radici quadrate e cubiche per il cui calcolo si servivano di apposite tabelle.
Si occuparono di figure geometriche elementari e si servivano probabilmente di rudimenti trigonometrici nello studio dei fenomeni celesti. Usavano la terna pitagorica <3,4,5>. Attribuivano a π il valore 3.
Indiani e Maya
Agli Indiani si deve l’invenzione del sistema di numerazione posizionale in base dieci portato in occidente dagli arabi. Abili calcolatori, manipolavano numeri molto grandi.
Adoperarono quei numeri irrazionali che i greci tratteranno con diffidenza. Operavano su radici quadrate e cubiche. Inventarono lo zero ed i numeri relativi. Utilizzavano la terna pitagorica <5,12,13>.
I Maya avevano un sistema di numerazione abbastanza collaudato e tali conoscenze scientifiche da rendere possibile l’organizzazione di un calendario e la costruzione di opere ingegneristiche che ancora oggi stupiscono.
Talete
Fra i primi matematici dell’antichità vi è sicuramente Talete (624-547, Mileto, Turchia).
Nei suoi viaggi in Mesopotamia apprese dagli astronomi di quel paese gli studi sui fenomeni celesti e fu il primo ad intuirne il carattere scientifico, nel senso che i procedimenti geometrici utilizzati erano astraibili e generalizzabili. La geometria iniziava a divenire una teoria astratta.
Talete non lasciò nulla di scritto ed è tuttavia considerato il fondatore della geometria intesa come lo studio delle figure private di ogni riferimento materiale. A lui si devono i primi studi sulla similitudine motivati comunque da esigenze pratiche.
Infatti proprio applicando i suoi metodi Talete sbalordì i contemporanei con la previsione di una eclisse visibile nel 585 in Mileto, con la determinazione dell’altezza delle piramidi egizie e della distanza di una nave dalla costa.
Pitagora
Quasi contemporaneo è Pitagora (569-475, Samo, Grecia), che operò a Crotone.
Il nome di Pitagora e della sua scuola è rimasto legato alla prova dell’omonimo teorema ed alle sue conseguenze. Lo studio delle terne pitagoriche spinse i pitagorici ad affrontare una trattazione sistematica dell’aritmetica e dei suoi legami con la geometria.
È in particolare dei pitagorici lo studio sulla commensurabilità e la scoperta, sconcertante per gli stessi, di segmenti incommensurabili, quali ad esempio il lato e la diagonale del quadrato.
Si osservi a riguardo che nella concezione pitagorica il punto era un ente che, pur se piccolissimo, aveva una dimensione. Tale immagine granulare di punto portava alla convinzione che due segmenti, in quanto insiemi finiti di punti, fossero sempre commensurabili.
La succitata scoperta mise in crisi i pitagorici che si videro costretti ad ammettere a malincuore che il punto è privo di dimensioni.
I conseguenti concetti di infinitesimo, infinito e numero irrazionale non furono però trattati dai matematici greci bloccati a riguardo dai paradossi dell’infinito del tipo del paradosso di Zenone (490-425, Elea, Italia), di Achille e la tartaruga, fondato sulla erronea convinzione che la somma di infiniti termini fosse necessariamente infinita.
Solo Anassagora (499-428, Clazomene, Turchia) si era espresso a riguardo asserendo che rispetto al piccolo v’è un ancor più piccolo e rispetto al grande v’è un ancor più grande. Successivamente Eudosso ed Archimede daranno un valido contributo alla comprensione dei concetti di infinitesimo ed infinito.
Un’altra conseguenza della incommensurabilità fu la falsità del principio pitagorico, secondo il quale il tutto è maggiore della parte.
Il principio pitagorico e l’infinito
G. Galilei (1564-1642, Pisa), sollecitato dal Cavalieri (1598-1647, Milano), costruì per primo una corrispondenza biunivoca tra gli interi positivi e i quadrati perfetti; costruì una corrispondenza biunivoca tra gli interi positivi e i numeri pari; ed infine Richard Dedekind (1831-1916, Braunschweig, Germania) formulò come definizione di insieme infinito proprio la proprietà di essere equinumeroso ad una sua parte, cioè la negazione del principio pitagorico.
La matematica precristiana
Nell’ambito della matematica precristiana fiorente nel V secolo a.C. ad Atene e ad Alessandria in Egitto sono ancora da citare Ippocrate di Chio, Platone, Eudosso di Cnido, Euclide che insegnava ad Alessandria, Apollonio della scuola euclidea, Archimede che operò a Siracusa intorno al 250 a.C., Eratostene direttore della biblioteca di Alessandria ai tempi di Archimede, ed Aristotele.
Ippocrate (470-410, Chios, Grecia) raccolse negli Elementi di geometria le conoscenze matematiche del tempo e si occupò del calcolo delle aree di figure a contorno curvilineo.
Già in Talete v’era in embrione l’idea che le figure geometriche dovessero pensarsi come enti astratti. E la prima definizione di figura perfetta è di Platone (427-347, Atene), secondo il quale sono solo quelle figure costruibili elementarmente, con riga e compasso, o ottenute cioè solo congiungendo punti e riportando segmenti uguali.
Eudosso
Ad Eudosso (408-355, Cnido, Turchia) si deve il metodo di esaustione, fondato sulla possibilità di suddividere all’infinito un segmento.
Si osservi che in Eudosso, come nei greci eccezion fatta per i platonisti, l’infinito era inteso come infinito potenziale, cioè come la possibilità di aggiungere un elemento per volta, e non piuttosto attuale.
Euclide
Nei tredici volumi degli Elementi, Euclide (325-265, Alessandria, Egitto) presenta, caso unico nella matematica premoderna, la prima versione semiassiomatica, la geometria euclidea GE, fondata su definizioni, nozioni comuni e postulati, e sulla deduzione delle proprietà geometriche, i teoremi, dai postulati.
I primi tre postulati euclidei privilegiano l’uso di strumenti elementari, riga e compasso, come già stabilito da Platone.
Può interessare una prova dovuta ad Euclide dell’infinità dei numeri primi: se fossero in numero finito allora sicuramente p0, p1, …, pn, (p0p1…pn)+1, non essendo primo poiché è più grande di pn, dovrà essere divisibile per qualche pi; ciò non è possibile essendo 1 il resto di una tale divisione.
Apollonio
Di Apollonio (262-190, Perga, Turchia) è il Trattato sulle coniche nel quale vi sono sorprendenti anticipazioni del calcolo infinitesimale e della geometria analitica. È di Keplero la scoperta delle orbite ellittiche dei pianeti!
Archimede
Archimede (287-212, Siracusa) affronta con parziale successo vari problemi fra i quali quello della rettificazione e della determinazione di π.
Perviene inoltre al calcolo di aree e volumi con un metodo, quello meccanico, per lungo tempo ignoto poiché i suoi scritti andarono dispersi nella biblioteca di Costantinopoli, posto nel 1635 dal Cavalieri a base del calcolo infinitesimale.
Sorprende la facilità con la quale Archimede tratta gli infiniti e gli infinitesimi.
Eratostene
Ad Eratostene (276-194, Cyrene, Libia) si deve l’invenzione di un metodo geniale per la misurazione del diametro terrestre, con un errore di appena 100 km per difetto.
Aristotele e la logica
Aristotele (384-322, Stagira, Grecia) è giustamente considerato il fondatore della logica.
Il suo sillogismo esamina quattro tipi di enunciati e cioè gli: universali affermativi (tutti gli uomini sono mortali), universali negativi (nessun uomo è mortale), particolari affermativi (qualche uomo è mortale) e particolari negativi (qualche uomo non è mortale).
Il problema del sillogismo era quello di stabilire, appunto, i sillogismi, cioè le terne di enunciati l’ultimo dei quali fosse vero non appena lo fossero i primi due, aventi questi ultimi un termine in comune.
Ad esempio, da U sono M e A non è M consegue A non è U.
Aristotele, spingendosi oltre il sillogismo, si pose il problema di indagare non solo sulla connessione fra premesse e conclusione di un sillogismo, ma anche sulla verità delle premesse.
A riguardo, non definì il concetto di enunciato vero, ma stabilì che gli enunciati veri posti alla base del sillogismo fossero quelli corrispondenti ad un dato di fatto.
La sintesi di tale concezione classica della verità è espressa dall’equivalenza fra i due enunciati “P è vero” e “P”. Non v’è dubbio infatti che, ad esempio, “piove” è vero se e solo se piove.
Ancora, per Aristotele una teoria doveva essere costruita derivando da enunciati veri, gli assiomi, tramite l’applicazione intuitiva di regole deduttive, gli altri enunciati veri, i teoremi.
L’unica teoria matematica organizzata su basi aristoteliche era la geometria di Euclide. Le ricerche logiche aristoteliche trassero spunto da vari problemi di natura logico-matematica, fra i quali l’antinomia del mentitore, ai quali comunque Aristotele non era in grado di dare una risposta esauriente.
La cultura araba
Il periodo di Roma è caratterizzato dalla decadenza degli studi matematici. Un primo accenno di ripresa si avrà col disfacimento di Roma e l’affermarsi della cultura araba.
Nel 641 d.C. gli arabi distrussero Alessandria ma salvarono le opere della famosa biblioteca che, portate a Baghdad, furono tradotte e divulgate attraverso le scuole.
Nei primi libri in arabo di al’Khwarizmi (790-840, Baghdad) è esposto in modo completo il sistema di numerazione posizionale su base qualunque.
Scoperte e progressi della matematica classica
Il presente documento illustra, in modo più o meno dettagliato, quali sono state le scoperte e i progressi logico-deduttivi della matematica classica. Nella prima parte vengono introdotti, in ordine cronologico, alcuni dei momenti salienti delle scoperte logiche nel corso dei secoli: dalle basi della numerazione ad opera di popolazioni dell’antichità, all’introduzione di numeri “famosi” quali il pi greco, passando per lo sviluppo della logica e della geometria (legata all’aritmetica) da parte dei greci e alle conseguenze che le opere in campo geometrico e aritmetico fatte da Euclide, Pitagora, Apollonio e altri hanno avuto nello studio della logica, della geometria e del calcolo del 600/700 ad opera di Cartesio, Eulero, Gauss, Nepero e altri.
Nella seconda parte, si analizza nel dettaglio il concetto di infinito e di continuità attraverso i principali assiomi e risultati della geometria greca: lo studio delle proprietà dei segmenti, il loro rapporto con la costruzione dei vari insiemi numerici, il concetto di numerabile (insiemi infiniti che possono essere contati) e le conseguenze che tali osservazioni hanno avuto per lo studio della moderna analisi o per la corretta definizione del concetto di infinito ad opera di Cantor e altri matematici moderni.
Nella terza parte si analizzano i metodi di dimostrazione di alcuni famosi risultati dovuti alla geometria e matematica greca, attraverso la costruzione intensiva degli oggetti proposti: l’infinità dei numeri primi, la quadratura del cerchio, la duplicazione del cubo, l’irrazionalità di radice di 2, l’inscrittibilità dei poligoni nelle circonferenze, il calcolo di pi greco.
Infine, nell’ultima parte, si introduce, in breve, il linguaggio logico di base (anch’esso dovuto ai greci e alla filosofia) e la sua costruzione rigorosa (che ha portato alla logica moderna e al “modus Ponens” e “modus Tollens” della logica dimostrativa della matematica moderna) attraverso una serie di esempi classici e l’analisi di famosi paradossi (come ad esempio quello di Achille e la Tartaruga).
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