La formula chiusa per la successione di Lucas

La formula chiusa per la successione di Lucas

Francesco Daddi

www.webalice.it/francesco.daddi

Luglio 2011

Lo scopo di queste pagine è quello di dimostrare la formula chiusa per la successione di Lucas facendo uso dell’algebra lineare e della formula di Binet per i numeri di Fibonacci. L’impostazione iniziale è analoga a quella che si trova nell’articolo [1].

La successione di Lucas è definita nel seguente modo:

L₀ = 2

L₁ = 1

L_n = L_n−1 + L_n−2 ∀ n > 1

Osserviamo che, per ogni k ≥ 1, risulta:

L_k+1 = L_k + L_k−1

L_k = L_k

che possiamo riscrivere nel seguente modo:

[ L_k+1
  L_k ] = [ 1  1
  1  0 ] [ L_k
  L_k−1 ];

se poniamo

[ L_k+1
  L_k ] = u_k,  A = [ 1  1
  1  0 ],

si ha:

u_k = Au_k−1 = A²u_k−2 = … = A^ku₀ = u₀. (1)

u₀ = [ L₁
  L₀ ]

Dalla formula (1) risulta, per linearità:

[ L_k+1
  L_k ] = [ 1  1
  1  0 ] ^k [ 1
  0 ]

quindi, poiché

[ 1  1
  1  0 ] ^k = [ F_k+1  F_k
  F_k  F_k−1 ]

(si noti che con F_k vengono indicati i numeri di Fibonacci)

[ L_k+1
  L_k ] = [ F_k+1
  F_k ]