La divina proportione

La divina proporzione

Erman Di Rienzo

M-5

[edr - Gennaio 2001]

www.matematicamente.it

La Geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro è la Sezione Aurea di un segmento.

Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d’oro; il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello.

- Johannes Kepler [1571-1630] -

In copertina: Ritratto di Fra Luca Pacioli [Napoli – Museo di Capodimonte]

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La Divina Proporzione

Premessa

Il primo incontro con la Divina Proporzione in genere avviene in Geometria. La proposizione 11 II del libro degli Elementi di Euclide recita così:

“Come dividere un segmento in modo che il rettangolo che ha per lati l’intero segmento e la parte minore sia equivalente al quadrato che ha per lato la parte maggiore”, ovvero come trovare la Sezione Aurea di un segmento, cioè la parte media proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente.

La costruzione è tra le più classiche della Geometria: dato il segmento AB, tracciare il cerchio di pari diametro e la tangente ad esso in B, passante per il centro C, e la secante per A del cerchio.

La parte esterna della secante (AE) è la sezione aurea del segmento, essendo la tangente (AB) media proporzionale tra l’intera secante (AD) e la sua parte esterna (AE) [Euclide L. III – P. 36], essendo ED = AB e per alcune proprietà delle proporzioni:

AD : AB = AB : AE

(AD-AB) : AB = (AB – AE) : AE

AS : AB = SB : AS

AB : AS = AS : SB

B

A S

Volendo invece trovare quel segmento di cui un dato segmento AB sia la Sezione Aurea, si procede nel modo seguente:

• Trovare il punto medio M del segmento dato;
• Costruire il quadrato sul segmento dato; siano C e D gli altri due vertici;
• Tracciare il cerchio con centro in M e raggio MC = MD, che interseca in S il prolungamento di AB.

AS è il segmento cercato, di cui AB è la Sezione Aurea.

Infatti i triangoli CAS e SBD sono simili perché rettangoli e con gli angoli α e β uguali, angoli alla circonferenza che sottendono lo stesso arco DS (C.v.d.); quindi i cateti sono in proporzione:

AS : DB = CA : BS

AS : AB = AB : AS – AB

C

α

β

M B

A

Le proprietà della sezione aurea

Ma cos’ha di così importante questa sezione per meritarsi l’aggettivo “Aureo”?

Lo scopriremo attraverso le sue proprietà. Restando nella Geometria ne ricaviamo immediatamente una: “Ogni segmento è sezione aurea della sua somma con la sua sezione aurea”; ed in effetti questo è quanto sopra si è dimostrato.

Ne segue che: “Tolta la sezione aurea la parte rimanente di un segmento è la sezione aurea della sezione aurea del segmento”. È come se la sezione aurea si autorigenerasse per sottrazione o addizione.

Ma scopriamone altre caratteristiche. Sempre in Geometria una delle più importanti caratteristiche della Sezione Aurea è la seguente: “Se in un triangolo isoscele la base è la sezione aurea del lato allora l’angolo al vertice è un quinto dell’angolo piatto, ovvero la base è il lato del decagono regolare inscritto nel cerchio che ha per raggio il lato”.

La dimostrazione è relativamente semplice: nel triangolo isoscele CAB sulla base a, sezione aurea del lato b, si individui per costruzione il punto M sul lato AC tale che MB = CB; il triangolo MBC è isoscele e simile al triangolo originario, quindi con i lati in proporzione: b : a = a : CM.

Ma essendo la sezione aurea di b sarà: b : a = a : (b-a), da cui per l’unicità del quarto proporzionale sarà: CM = (b-a); da cui AM = a.

Quindi anche il triangolo AMB è isoscele avendo AM = BM = a; gli angoli alla sua base sono pertanto uguali e l’angolo in M è uguale a π - 2 · θ.

Ne segue che γ = 2 · θ e θ + 2 · γ = π; quindi, essendo θ = π / 5, sarà 5 · θ = π, cioè θ = π / 5.

Ma essendo un decimo dell’angolo giro, ne discende che la base del triangolo è il lato del decagono regolare inscritto nel cerchio che ha per raggio il lato.

b

b

π/5

M

a

θ

γ

A

C

B

E’ vero anche l’inverso, cioè “se in un triangolo isoscele l’angolo al vertice è di π/5 allora la base è la sezione aurea del lato”.

Se infatti nel triangolo isoscele CAB sulla base a l’angolo al vertice è di π/5, essendo la somma degli angoli interni pari a π ed essendo gli angoli alla base uguali, questi saranno di π / 2 - π / 10 = 2 · π / 5.

Individuando per costruzione il punto M sul lato AC tale che MB = CB, ne segue che il triangolo MBC è isoscele e simile al triangolo originario quindi con i lati in proporzione:

AC : CB = CB : MC

Anche il triangolo BMA è isoscele avendo gli angoli alla base uguali; sarà quindi: MA = MB = CB.

Sarà quindi: MC = (AC – MA) = (AC – CB), che sostituita nella proporzione precedente verifica che la base CB è la sezione aurea del lato AC.

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Il pentagono e la stella a cinque punte

Collegando alternativamente i vertici del decagono si ottiene il pentagono regolare inscritto nel cerchio; tracciatone due diagonali dallo stesso vertice, essendo l’angolo alla circonferenza metà di quello al centro di 2π/5, si ripropone con il lato opposto al vertice il triangolo isoscele con angolo al vertice di π/5;

ne segue che in un pentagono regolare il lato è la sezione aurea della diagonale.

Si può altresì dimostrare che le diagonali si intersecano secondo le loro sezioni auree. Per questi motivi alla stella a cinque punte disegnata dalle diagonali di un pentagono venivano riconosciuti poteri magici.

Ricordiamo il Faust di Goethe: quando il dottor Faust volendosi liberare del diavolo Mefistofele lo invita ad uscire, questi si rifiuta, poiché sulla porta è appesa una stella a cinque punte, dicendo: “Non posso uscire; me lo impedisce un piccolo ostacolo: il piede della strega sulla soglia”.

π/5

2π/5

Il rettangolo aureo

Un’altra caratteristica: un rettangolo abbia il lato maggiore di lunghezza a₀ e il lato minore a₁, compresa tra quella del lato minore e il doppio di questa: a₁ < a₀ < 2a₁.

Allora è possibile ritagliare dal rettangolo un quadrato di lato pari al lato minore a₁ e resta un rettangolo con il lato maggiore di lunghezza a₂ = a₀ - a₁ e di lato minore a₁.

Se a₁ < a₂ < 2a₁ si può ritagliare un quadrato di lato a₂ in modo da ottenere un rettangolo con il lato maggiore di lunghezza a₃ = a₁ – a₂ e di lato minore a₂.

Se a₂ < a₃ < 2·a₂ si può ritagliare un quadrato di lato a₃ in modo da ottenere un rettangolo con il lato maggiore di lunghezza a₄ = a₂ – a₃ e di lato minore a₃.

E così via finché si ottengono rettangoli con il lato maggiore compreso tra una e due volte il lato minore; prima o poi però si verifica che questa condizione non è più soddisfatta ed il processo si arresta.

Ci si chiede se esiste un valore del rapporto tra base ed altezza del rettangolo originario per il quale il processo non si arresta mai.

Per ottenere un’espressione ricorsiva per a_n definiamo due grandezze A e B, legate ad a₀ e a₁ attraverso due costanti φ₁ e φ₂, soluzioni dell’equazione:

φ² = 1 - φ, cioè: φ₁ = (√5 – 1)/2 e φ₂ = – (√5 + 1)/2, con φ₁ compreso tra 0 e 1 e φ₂ minore di -1.

Quindi siano A e B soluzioni del sistema:

A + B = a₀

Aφ₁ + Bφ₂ = a₁

Siano cioè:

A = (a₁ - a₀φ₂) / (φ₁ - φ₂)

B = (a₀φ₁ - a₁) / (φ₁ - φ₂)

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In questo modo saranno:

a₀ = A + B = Aφ₁⁰ + Bφ₂⁰

a₁ = Aφ₁ + Bφ₂

a₂ = a₀ – a₁ = A(1 - φ₁) + B(1 - φ₂) = Aφ₁² + Bφ₂²

a₃ = a₁ – a₂ = A(1 - φ₁) + B(1 - φ₂) = Aφ₁³ + Bφ₂³

…

a_n = a_n-2 – a_n-1 = A(1 - φ₁) + B(1 - φ₂) = Aφ₁ⁿ + Bφ₂ⁿ

Perché si possa procedere con i tagli all’infinito occorre che gli a_n siano tutti positivi; ma essi sono somma di due addendi dei quali uno è sempre positivo (A·φ₁ⁿ) e minore di 1, l’altro (B·φ₂ⁿ) è alternativamente positivo e negativo, secondo il valore di n, maggiore di 1 e crescente con n in valore assoluto (essendo |φ₂| > 1), per cui per ottenere valori di a_n tutti positivi occorre che sia B = 0, cioè:

φ₂

Quindi perché si possa procedere all’infinito con i tagli occorre che sia a₁ = a₀φ₁.

Occorre che l’altezza del rettangolo sia la Sezione Aurea della base, come vedremo nel prossimo paragrafo.

La crescita lineare e quadratica

Ancora: in un diagramma cartesiano una retta di equazione: y = x + 1 rappresenta una crescita lineare, cioè una crescita nella quale l’incremento si ottiene “sommando” a quanto raggiunto sempre la stessa quantità.

Una crescita invece in cui l’incremento si ottiene moltiplicando quanto raggiunto per una quantità a questo proporzionale si dice quadratica ed è rappresentata da una parabola di equazione: y = x².

I due diagrammi si incontrano in un punto P che determina con gli assi cartesiani un rettangolo aureo, quasi a significare l’equilibrio tra una crescita lineare ed una crescita quadratica.

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3

2

1

Φ

0 1 2 3

-3 -2 -1

In matematica

Per analogia con la Geometria, dato un numero u trattasi di trovare il medio proporzionale x tra il numero dato e la sua differenza con questo medio proporzionale u-x; in pratica trattasi di risolvere l’equazione:

u : x = x : (u-x)

ovvero x² = u² – ux

quindi x² + ux - u² = 0

che ha due soluzioni:

x = u (√5 - 1) / 2

x = -u (√5 + 1) / 2

scartando la soluzione negativa si ricava che il rapporto tra il medio proporzionale ed il numero vale:

x / u = (√5 - 1) / 2 = 0,618033988749894848204586…

che ovviamente è un numero irrazionale (ma non trascendente).

Viceversa il rapporto tra il medio proporzionale x ed il numero u vale:

u / x = 1 / φ = (√5 + 1) / 2 = Φ = 1,618033988749894848204586…

La denominazione di Rapporto Aureo viene talora data alla prima (φ), talora alla seconda (Φ). È facile mostrare che tra le due vale la relazione: Φ = 1 + φ.

Vale altresì la relazione:

Φ² = Φ + 1

Φ = (√5 + 1) / 2 = (3 + √5) / 2