La cicloide

Erman Di Rienzo: la cicloide M-4

La cicloide

La bella Elena

della matematica

[edr - Dicembre 2000]

www.matematicamente.it 1

Erman Di Rienzo: la cicloide

Quella curva arcuata, sono piu’ di cinquant’ anni che mi venne in mente il descriverla, e l’ammirai per una curvita’ graziosissima per adattarla agli archi di un ponte. [Galileo Galilei]

www.matematicamente.it 2

Premessa

Immaginiamo una ruota che rotola senza strisciare su una linea retta, ad es. la ruota di un treno su un binario o la ruota di una bicicletta che si muove su un rettilineo.

Ci chiediamo: Un punto sul bordo esterno della ruota che curva descrive nel moto di rotolamento della ruota?

Istintivamente si è portati a rispondere: “una circonferenza!”, ma riflettendo un pò ci si accorge che forse è così per un osservatore sul treno (o per il ciclista), ma non per un osservatore a terra; il punto dal momento che tocca terra si solleva quasi in verticale, quindi curva nella direzione del moto fino ad arrivare ad un’ altezza massima pari al diametro del cerchio muovendosi in quel momento in orizzontale, quindi ridiscende quasi rallentando orizzontalmente ed accelerando verticalmente verso il basso fino a toccare terra in verticale per riprendere ciclicamente la stessa traiettoria.

Questa curva è detta cicloide, definita come la traiettoria di un punto fisso su una circonferenza che rotoli senza slittamento su una retta.

All’ apparenza è una curva come tante altre, ma ad attenta analisi rivela, come vedremo, proprietà sorprendenti.

Storicamente, di essa non v’ è traccia nella geometria classica; in questo senso può essere considerata una curva “nuova”, uno dei primi frutti cioè della rifioritura della Matematica nel XVII° secolo, e studiata da tutti i matematici di quel secolo.

Difficile dire chi per primo l’ abbia considerata. Certamente la studiò Nicola Cusano (1401-1464) nei suoi tentativi di “quadratura del cerchio” e Mersenne (1588-1648) la definì rigorosamente stabilendone la prima ovvia proprietà, che la lunghezza della sua base è pari alla circonferenza generatrice. Cercò quindi di trovare l’ area sotto la curva senza riuscirvi.

Galileo le diede il nome (nel 1599) e cercò anch’ Egli di misurarla teoricamente, senza però riuscirvi. Da buon fisico qual’ era però non si scoraggiò e cominciò a ritagliarla da superfici di noto peso specifico, sperando così di trovarne l’ area attraverso il peso della parte ritagliata; trovò così che il rapporto dei pesi con il cerchio generatore era di circa 3 a 1, ma decise che non era esattamente 3 ma probabilmente un numero irrazionale molto prossimo. Evidentemente la soluzione 3 gli era apparsa incredibilmente semplice.

Ma la prima sfida era ormai lanciata ed in due, indipendentemente l’ uno dall’ altro, riuscirono a dimostrare che l’ area sotto la curva era esattamente tre volte quella del cerchio generatore. Uno dei due fu Roberval che lo risolse nel 1634; l’ altro fu Evangelista Torricelli, allievo di Galileo che giunse allo stesso risultato quasi contemporaneamente.

Riportiamo nel seguito una delle tre dimostrazioni del Torricelli, forse la più bella e complessa, a testimonianza delle difficoltà in cui si dibatteva la Matematica di quei tempi, quando non erano state ancora messe a punto le tecniche dell’ analisi.

La formulazione originaria recitava così: “Lo spazio (= l’ area) compreso fra la cicloide e la sua retta di base è triplo del circolo generatore. Ovvero è sesquialtero (= una volta e mezza) del triangolo avente la sua stessa base ed altezza.”

www.matematicamente.it 3

Erman Di Rienzo: la cicloide

O M C X B D H R S G T I U Q L E F A N P

Consideriamo allora mezzo arco di cicloide AC, il suo cerchio generatore in C e di questo il diametro CF ed il centro G. Congiungiamo A con C ed osserviamo che il triangolo ACF ha l’ area uguale a quella del cerchio generatore essendo

π⋅r ⋅ π⋅r 2

b⋅h / 2 = 2⋅r /2 = .

Si vuole dimostrare che l’ area compresa tra il segmento AC e l’ arco di cicloide AC è equivalente a quella di un semicerchio generatore.

Sul diametro AF si prendano allora due punti H ed I equidistanti dal centro e da essi si traccino le parallele alla base AF individuando così le intersezioni D ed E, rispettivamente, con la circonferenza generatrice, le intersezioni B ed L, risp., con la cicloide e le intersezioni R ed U, con il segmento AC.

Si traccino le circonferenze generatrici in B ed in L individuando cosi i loro punti di “appoggio” P ed N, rispettivamente, sulla base AF, le intersezioni X e Q, risp., dei loro diametri con le parallele alla base e le intersezioni S e T, risp., dei loro diametri con il segmento AC.

Si può dimostrare che la somma dei segmenti BR ed LU è uguale alla somma delle semicorde HD ed EI.

Infatti è evidente che: OB = LN, da cui PO – PB = LN e da cui AF – AP = AN ed infine AT = CS.

Per altra via si ha che IF = CH da cui CR = AU, che con la precedente implica che AT – AU = CS – CR da cui UT = SR ed infine XR = UQ.

Ora le semicorde HD, IE, XB e QL sono tutte uguali (Euclide – libro III –pr.14), quindi: HD + EI = BX + LQ = BX + LQ + XR – UQ = BR + LU.

Quindi per ogni coppia di segmenti del semicerchio vi è una coppia di CDEF.

Ciò implica l’ eguaglianza delle segmenti di egual somma della figura ALBC

π⋅r 2

aree. Essendo l’ area del semicerchio /2, tale sarà anche l’ area della figura,

π⋅r 2 2

che, sommata a quella del triangolo ci dà l’ area di mezza cicloide 3⋅π⋅r /2.

, π 2

⋅ ⋅

A = 3 r

Quindi l’ area dell’ intera cicloide sarà, tre volte quella del cerchio generatore.

www.matematicamente.it 4

Le equazioni della cicloide

Erman Di Rienzo: la cicloide

Naturalmente questa ed altre caratteristiche possono essere trovate col calcolo infinitesimale. Procuriamoci allora gli strumenti.

Anzitutto le equazioni; con riferimento alla figura si ottengono le equazioni:

θ

θ

sen ⋅ θ ⋅ θ ⋅ θ)

x = r - r sen = r (θ - sen

parametrica: ⋅ θ ⋅ θ)

y = r - r cos = r (1 - cos

r-y

⋅

e cartesiana: 2

x = r arcos 2xy – y

+

r 2

dx dx

θ) ⋅(1 θ θ)

2 2

= r⋅(1 - cos ; = r - 2cos + cos dy θ/2

dθ dθ = cotg

quindi: dx

2

2

d y

dy ⋅ θ ⋅ θ

2 2

= r sen ; = r sen

2

dθ

dθ

Possiamo ora ricalcolare l’ area:

2 π 2 π

2

2

r (1-cos r (1-cos dθ = r (1-cos dθ =

y dx =

A = 0 0 0

2 π 2 π

θ θ) θ

2 2

2

= r (1 – 2⋅cos + cos dθ = r [1 – 2⋅cos + ½⋅(1+cos 2θ)] dθ =

0 0 2 π

2 π 2 π

θ θ

= r 2

= r

(3/2 – 2⋅cos + ½⋅cos 2θ) dθ 3/2 dθ – 2⋅cos dθ +

0 0 0

2 π π 2

⋅ ⋅ π

⋅ A = 3 r

2 2

= r 3/2 2π = 3 r cioè

½ cos 2θ dθ

+ C.V.D.

0

www.matematicamente.it 5

La lunghezza dell’arco

Erman Di Rienzo: la cicloide

Si può agevolmente calcolare anche la lunghezza dell’ arco:

Β Β 2 π

⋅ θ θ)

2 2 2 2

(dx) + (dy) = r (1 – 2 cos + cos + sen dθ =