La cicloide

Erman Di Rienzo La cicloide M-4

LA CICLOIDE

La bella Elena

della matematica

[edr - Dicembre 2000]

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Erman Di Rienzo La cicloide Quella curva arcuata, sono piu’ di

cinquant’ anni che mi venne in mente il

descriverla, e l’ammirai per una curvita’

graziosissima per adattarla agli archi di

un ponte. [Galileo Galilei]

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Erman Di Rienzo La cicloide

Premessa

Immaginiamo una ruota che rotola senza strisciare su una linea retta, ad es. la

ruota di un treno su un binario o la ruota di una bicicletta che si muove su un

rettilineo. Ci chiediamo: Un punto sul bordo esterno della ruota che curva

descrive nel moto di rotolamento della ruota? Istintivamente si è portati a

rispondere: “una circonferenza!”, ma riflettendo un pò ci si accorge che forse è

così per un osservatore sul treno (o per il ciclista), ma non per un osservatore a

terra; il punto dal momento che tocca terra si solleva quasi in verticale, quindi

curva nella direzione del moto fino ad arrivare ad un’ altezza massima pari al

diametro del cerchio muovendosi in quel momento in orizzontale, quindi

ridiscende quasi rallentando orizzontalmente ed accelerando verticalmente verso il

basso fino a toccare terra in verticale per riprendere ciclicamente la stessa

traiettoria.

Questa curva è detta “cicloide” definita come la traiettoria di un punto fisso su

una circonferenza che rotoli senza slittamento su una retta.

All’ apparenza è una curva come tante altre, ma ad attenta analisi rivela, come

vedremo, proprietà sorprendenti.

Storicamente, di essa non v’ è traccia nella geometria classica; in questo senso

può essere considerata una curva “nuova”, uno dei primi frutti cioè della

rifioritura della Matematica nel XVII° secolo, e studiata da tutti i matematici di

quel secolo.

Difficile dire chi per primo l’ abbia considerata. Certamente la studiò Nicola

Cusano (1401-1464) nei suoi tentativi di “quadratura del cerchio” e Mersenne

(1588-1648) la definì rigorosamente stabilendone la prima ovvia proprietà, che la

lunghezza della sua base è pari alla circonferenza generatrice. Cercò quindi di

trovare l’ area sotto la curva senza riuscirvi.

Galileo le diede il nome (nel 1599) e cercò anch’ Egli di misurarla teoricamente,

senza però riuscirvi. Da buon fisico qual’ era però non si scoraggiò e cominciò a

ritagliarla da superfici di noto peso specifico, sperando così di trovarne l’ area

attraverso il peso della parte ritagliata; trovò così che il rapporto dei pesi con il

cerchio generatore era di circa 3 a 1, ma decise che non era esattamente 3 ma

probabilmente un numero irrazionale molto prossimo. Evidentemente la soluzione

3 gli era apparsa incredibilmente semplice. Ma la prima sfida era ormai lanciata

ed in due, indipendentemente l’ uno dall’ altro, riuscirono a dimostrare che l’ area

sotto la curva era esattamente tre volte quella del cerchio generatore. Uno dei due

fu Roberval che lo risolse nel 1634; l’ altro fu Evangelista Torricelli, allievo di

Galileo che giunse allo stesso risultato quasi contemporaneamente. Riportiamo nel

seguito una delle tre dimostrazioni del Torricelli, forse la più bella e complessa, a

testimonianza delle difficoltà in cui si dibatteva la Matematica di quei tempi,

quando non erano state ancora messe a punto le tecniche dell’ analisi.

La formulazione originaria recitava così: “Lo spazio (= l’ area) compreso fra la

cicloide e la sua retta di base è triplo del circolo generatore. Ovvero è

sesquialtero (= una volta e mezza) del triangolo avente la sua stessa base ed

altezza.”

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Erman Di Rienzo La cicloide O

M C

X

B D H

R

S G

T I

U Q

L E F

A N P

Consideriamo allora mezzo arco di cicloide AC, il suo cerchio generatore in C e

di questo il diametro CF ed il centro G. Congiungiamo A con C ed osserviamo

che il triangolo ACF ha l’ area uguale a quella del cerchio generatore essendo

π⋅r ⋅ π⋅r 2

b⋅h / 2 = 2⋅r /2 = .

Si vuole dimostrare che l’ area compresa tra il segmento AC e l’ arco di cicloide

AC è equivalente a quella di un semicerchio generatore.

Sul diametro AF si prendano allora due punti H ed I equidistanti dal centro e da

essi si traccino le parallele alla base AF individuando così le intersezioni D ed E,

rispettivamente, con la circonferenza generatrice, le intersezioni B ed L, risp., con

la cicloide e le intersezioni R ed U, con il segmento AC.

Si traccino le circonferenze generatrici in B ed in L individuando cosi i loro punti

di “appoggio” P ed N, rispettivamente, sulla base AF, le intersezioni X e Q,

risp., dei loro diametri con le parallele alla base e le intersezioni S e T, risp., dei

loro diametri con il segmento AC.

Si può dimostrare che la somma dei segmenti BR ed LU è uguale alla somma

delle semicorde HD ed EI .

Infatti è evidente che: OB = LN, da cui PO – PB = LN e da cui AF – AP = AN

ed infine AT = CS .

Per altra via si ha che IF = CH da cui CR = AU , che con la precedente implica

che AT – AU = CS – CR da cui UT = SR ed infine XR = UQ

Ora le semicorde HD, IE, XB e QL sono tutte uguali (Euclide – libro III –pr.14),

quindi: HD + EI = BX + LQ = BX + LQ + XR – UQ = BR + LU

Quindi per ogni coppia di segmenti del semicerchio vi è una coppia di

CDEF

. Ciò implica l’ eguaglianza delle

segmenti di egual somma della figura ALBC

π⋅r 2

aree. Essendo l’ area del semicerchio /2, tale sarà anche l’ area della figura,

π⋅r 2 2

che, sommata a quella del triangolo ci dà l’ area di mezza cicloide 3⋅π⋅r /2.

, π 2

⋅ ⋅

A = 3 r

Quindi l’ area dell’ intera cicloide sarà , tre volte quella del cerchio

generatore.

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Erman Di Rienzo La cicloide

Naturalmente questa ed altre caratteristiche possono essere trovate col calcolo

infinitesimale. Procuriamoci allora gli strumenti.

Anzitutto le equazioni; con riferimento alla figura si ottengono le equazioni:

θ

θ

sen ⋅ θ ⋅ θ ⋅ θ)

x = r - r sen = r (θ - sen

parametrica: ⋅ θ ⋅ θ)

y = r - r cos = r (1 - cos

r-y

⋅

e cartesiana: 2

x = r arcos 2xy – y

+

r 2

dx dx

θ) ⋅(1 θ θ)

2 2

= r⋅(1 - cos ; = r - 2cos + cos dy θ/2

dθ dθ = cotg

quindi: dx

2

2

d y

dy ⋅ θ ⋅ θ

2 2

= r sen ; = r sen

2

dθ

dθ

Possiamo ora ricalcolare l’ area:

2 π 2 π

2 π r ⋅ θ) ⋅ ⋅ θ) θ)

2

2

r (1-cos r (1-cos dθ = r (1-cos dθ =

y dx =

A = 0 0 0

2 π 2 π

θ θ) θ

2

2 2

= r (1 – 2⋅cos + cos dθ = r [1 – 2⋅cos + ½⋅(1+cos 2θ)] dθ =

0 0 2 π

2 π 2 π

θ θ

2

= r 2

= r

(3/2 – 2⋅cos + ½⋅cos 2θ) dθ 3/2 dθ – 2⋅cos dθ +

0 0 0

2 π π 2

⋅ ⋅ π

⋅ A = 3 r

2 2

= r 3/2 2π = 3 r cioè

½ cos 2θ dθ

+ C.V.D.

0

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Si può agevolmente calcolare anche la lunghezza dell’ arco:

Β Β 2 π

⋅ θ θ) θ

2 2 2 2

(dx) + (dy) = r (1 – 2 cos + cos + sen dθ =

L = ds =