Introduzione alla relatività: Appendici

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività

Appendice A

A.1 Tensore energia-impulso nella materia

Le leggi di conservazione delle grandezze fisiche possono essere espresse in modo generale ed in forma tensoriale partendo dalla seguente considerazione.

m

Consideriamo un ente fisico classico continuo indicato da e caratterizzato dalla

ρ(x, y, z, t)

funzione densità definita da dm

=

% dV

V

dove è il volume spaziale tridimensionale euclideo. La legge di conservazione

m

dell’ente è allora espressa da

∂ Z I

=

% dV − %v dS (A.1)

∂t

dove il primo integrale è eseguito su di un dato volume, il secondo integrale è

=

dS dS ·n

eseguito sulla superficie che contorna il volume, è l’elemento di superficie,

v

n

essendo il versore normale alla superficie stessa, e infine è la velocità.

Questa equazione è detta equazione di continuità ed esprime il fatto che la variazione nel tempo dell’ente contenuto all’interno di un volume assegnato eguaglia la quantità di ente che entra od esce dal volume stesso. Introducendo la densità di

= %v

j j

corrente definita come l’equazione di continuità diventa

∂ Z I

=

% dV − dS.

j

∂t

Applicando il Teorema di Gauss si ottiene

∂%

+ =0

j

div ∂t 4

Questa è l’equazione di continuità in forma differenziale. Poniamoci ora in e

M

definiamo il quadrivettore densità di corrente

= (c%,

i

J %ẋ, %ẏ, %ż).

113

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114 Appendice A

L’equazione di continuità diventa i

∂J = 0.

i

∂x

Questa equazione mostra l’espressione quadrdimensionale dell’operatore divergenza

4 4

nello spazio . Passando allo spazio la divergenza deve essere eseguita

M E (1, 1)

utilizzando la derivazione covariante. Generalizzando ai tensori di tipo

l’equazione di continuità sarà data da j = 0.

∇ T (A.2)

j i

Estendendo poi il concetto di continuità, la formula (A.2) rappresenta la forma matematica generale di una legge di conservazione.

Consideriamo un sistema fisico formato da materia classica continua immersa in un campo gravitazionale. Per questo sistema, definiamo il tensore energia-impulso della materia.

Consideriamo un semplice sistema fisico formato esclusivamente da materia classica continua immersa in un campo gravitazionale dato. In questo sistema, il campo gravitazionale è considerato assegnato a priori per cui ci si può soffermare solo sul moto della materia. Qui, la materia risente del campo gravitazionale (che ne determina il moto) ma non influisce su di esso. Ciò rappresenta la generalizzazione di quanto già visto circa il moto di una particella nel campo gravitazionale. Per questo sistema, definiamo il tensore energia-impulso della materia

T

ij

in modo che sia simmetrico e che sia soddisfatta la (A.2). Per i nostri scopi poniamo (vedi [5], pag. 358): = (p +

T ε)u u − pg (A.3)

ij i j ij

= 2

p ε %c u

essendo la pressione, la densità di energia e la quadrivelocità, tutte espresse, ovviamente, in funzione delle coordinate. Questa definizione soddisfa le nostre esigenze. Non intraprenderemo lo studio di tensori energia-impulso per il campo elettromagnetico e il campo gravitazionale.

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Appendice B

Seguono i listati dei principali blocchi dei programmi in PHP di calcolo numerico utilizzati per la RG, reperibili anche presso la pagina web

http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/calcolonumericolnx.htm

B.1 Programma tensori

// simboli di Christoffel

echo "<hr>";

echo "<b>Simboli di Christoffel</b>

(il carattere ’_’ indica la derivata

parziale) <p>";

for ($i = 0; $i <= $n; $i++)

{ for ($k = 0; $k <= $n; $k++)

{ for ($l = 0; $l <= $n; $l++)

{ $rga = "0";

for ($m = 0; $m <= $n; $m++)