Introduzione alla relatività : 4 relatività  generale

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività

Capitolo 4

Relatività generale

1

La teoria della relatività generale (RG) è una teoria della gravitazione. Essa è stata pubblicata da Einstein a partire dal 25 novembre del 1915 e, oltre che essere tutt’ora la teoria di riferimento sulla gravitazione, è anche considerata una fra le più alte creazioni del pensiero umano di tutti i tempi.

La RG segue di ben dieci anni la pubblicazione della teoria della relatività ristretta (RR). Questo lungo lasso di tempo fu a causa della difficoltà matematica riscontrata da Einstein per dar corpo alla sua nuova visione dello spazio-tempo come di un continuum la cui metrica è influenzata dalle masse. Nell’Ottocento i concetti newtoniani di inerzia e gravitazione entrarono in crisi (Olbers, Mach). La cosmologia newtoniana, un universo infinito ed eterno, portava a contraddizioni e paradossi. Occorreva una nuova teoria della gravitazione che si collegasse anche alle nuove idee di spazio e tempo introdotte dalla RR. La RR ipotizza uno spazio-tempo pseudoeuclideo in assenza di campo gravitazionale in cui è possibile definire dei sistemi di riferimento inerziali (SRI) legati matematicamente fra loro dalle trasformazioni di Lorentz. Come introdurre in questo scenario anche un campo gravitazionale, creato da masse? L’idea di Einstein consiste nel fatto che le masse influenzano la metrica dello spazio-tempo per cui la metrica stessa cessa di essere pseudoeuclidea. In generale, quindi, il cronotopo potrebbe avere una metrica non pseudoeuclidea (i primi ad ipotizzare geometrie non euclidee furono Bolyai e Lobachevsky) ed il tipo di metrica è perciò passibile di indagine fisica e di verifica sperimentale. Questa idea, risalente a Riemann, costituisce un punto di rottura rispetto al passato. Una volta stabilito che il cronotopo può essere non pseudoeuclideo, occorre definire la matematica in grado di descriverlo ed in particolare occorre focalizzare l’attenzione sulle trasformazioni di coordinate al suo interno. Questo fatto è per continuità con la RR. La teoria matematica necessaria è quindi fornita proprio dal calcolo tensoriale sviluppato nel capitolo precedente.

0

x futuro assoluto

1 Per non appesantire la trattazione con eccessivi tecnicismi di calcolo tensoriale, rischiando così di perdere di vista la linearità ed eleganza della teoria, nonché il suo senso fisico, qua e là si fa riferimento a formule consolidate senza riportarne la dimostrazione. Di tali formule verrà altresì fornito dettagliato riferimento bibliografico.

73

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74 Capitolo 4

passato assoluto cono di luce

4.1 Il principio di equivalenza

A

P

B

F

La RG si basa su un fatto sperimentale molto banale che è sotto gli occhi di tutti. Incredibilmente, una constatazione quasi elementare fu in grado di modificare profondamente le concezioni consolidate e radicate, apparentemente inamovibili, che si esprimono nella teoria della gravitazione universale di Newton.

C

E D

0 1

x

La teoria della gravitazione universale di Newton (1687) è riassunta, per due punti materiali, dalla formula

x B

µ µ

1 2

=

F G 2

r

F G

dove è il modulo della forza gravitazionale, è la costante di gravitazione universale, che vale circa

6, 67 10

−11 −1 −2

m kg s

3

· µ

universale, che vale circa , è la massa gravitazionale del

1

primo punto materiale (diremo, quando conviene, anche corpo, grave o particella),

A

µ r

è la massa gravitazionale del secondo punto materiale ed è la distanza fra i due punti materiali; il tutto è illustrato nella figura 4.1. Per il terzo principio

0 1

x

z

K µ

1 F

1

r

1 F

2

µ

2

r

2

0 y

x µ µ

Figura 4.1: Attrazione newtoniana tra e .

1 2

+ = 0; = = =

F F F |F | |F | r |r − r |.

della dinamica si ha inoltre si ha e Le

1 2 1 2 1 2

5

accelerazioni subite dalle particelle, considerando che esse costituiscono un sistema isolato, sono, in modulo, date da

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Relatività generale 75

µ µ

F

 1 2

=

= G

a

 1 2

 m m r

 1 1

 F µ µ

 1 2

= =

 a G

 2

 2

m m r

2 2

m m

dove e sono le loro masse inerziali. Evidentemente, le accelerazioni dipendono sia dalle masse gravitazionali che dalle masse inerziali. Approfondiamo meglio questa affermazione. Supponiamo che sia .

m << m

1 2

In questo caso l’accelerazione

a µ

è trascurabile per cui la particella di massa gravitazionale può, per comodità, essere considerata ferma rispetto al SRI K. Questa situazione è tipica del campo gravitazionale uniforme terrestre in cui la nostra esperienza quotidiana si esplica.

=

µ µ

Poniamoci allora nel campo gravitazionale uniforme terrestre e poniamo ,

1

= = = =

m m a a µ µ m m T

, , e , dove indica evidentemente il pianeta Terra; si veda in proposito la figura 4.2.

µ m

F m

µ T

T g

Figura 4.2: Forza di gravità.

K

K 1

0

Si ha quindi

F µ µ

T

= =

a G (4.1)

2

m m r

r

dove qui è la distanza del grave dal centro della Terra. Orbene, l’esperienza mostra che tutti i gravi cadono con la stessa accelerazione indipendentemente dalla loro massa inerziale (non considerando l’aria e la rotazione terrestre). Tale accelerazione è detta accelerazione di gravità ed è indicata solitamente con la lettera g: g ≃ 9, 8 m/s² sul livello del mare vale . La (4.1) diventa allora

!

K

µ µ

T

= =

g G costante.

2

m r g. g µ

Analizziamo il significato della costanza di Se è costante, poiché è costante così come per cadute brevi, si ha di conseguenza che

r,

µ = =

k costante. (4.2)

m !

v

1

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La (4.2) esprime il fatto che la massa inerziale e quella gravitazionale sono proporzionali e questo fatto è stato verificato anche con esperimenti di grande precisione (Eötvös). Siccome all’interno della teoria newtoniana non è possibile definire il coefficiente di proporzionalità fra massa inerziale e massa gravitazionale, possiamo supporre che si abbia

k

= 1.

k

In questo modo massa inerziale e massa gravitazionale risultano equivalenti e possono essere indicate semplicemente con la parola massa. Questo è un principio di natura ed è chiamato principio di equivalenza. Esso è alla base della RG. Mentre per la teoria di Newton questo fatto è del tutto accidentale, per la RG è la chiave di volta dell’intera teoria.

Vediamo ora una conseguenza diretta del principio di equivalenza che può essere preso come formulazione analoga del suddetto principio e che costituisce, in quella forma, il punto di partenza della RG. Abbiamo visto che in un campo gravitazionale uniforme, come qui sulla superficie della Terra, i gravi cadono tutti con la stessa accelerazione indipendentemente dalla loro massa, non considerando l’aria e la rotazione terrestre. Consideriamo ora alcuni corpi dotati di masse diverse in quiete rispetto a un SRI ed introduciamo un secondo sistema di riferimento in moto uniformemente accelerato rispetto a K con accelerazione g, come in figura 4.3.

F

K K

0 1

K g,

0 K

Come saranno visti i corpi rispetto al sistema di riferimento ? Evidentemente

1

m

µ T

T g

K

K 1

0 K g.

Figura 4.3: uniformemente accelerato con accelerazione

1 !

K

K

essi saranno visti da accelerare tutti, indipendentemente dalla loro massa, con accelerazione −g. Confrontando quest’ultima considerazione con quanto detto sopra, ovvero che i corpi cadono tutti con la stessa accelerazione indipendentemente dalla loro massa, possiamo esprimere il principio di equivalenza nel seguente modo:

“un campo gravitazionale uniforme è equivalente ad un sistema di riferimento accelerato”. Seguendo il principio di equivalenza così formulato possiamo descrivere localmente un campo gravitazionale qualunque rappresentandolo con un sistema di riferimento accelerato. Questa descrizione, non essendo in termini di forze, trasforma la fisica della gravitazione in geometria. Questa constatazione è alla base concettuale della RG.

!

v

1

x

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Relatività generale 77

4.2 Il campo gravitazionale g_ij

L’affermazione: “un campo gravitazionale uniforme è equivalente ad un sistema di riferimento uniformemente accelerato” può essere generalizzata nell’affermazione: “un campo gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento non inerziale”.

Possiamo allora considerare il cronotopo in cui è presente un campo gravitazionale come uno spazio quadridimensionale la cui metrica è descritta dal tensore metrico g_ij. Denotiamo tale spazio con E⁴; la lettera ricorda Einstein. In questo modo E⁴ e cronotopo coincidono e lo scopo della RG è quello di definire e studiare E⁴ tramite la sua metrica g_ij. Diremo perciò, in modo molto incisivo, che la metrica di E⁴ è influenzata, disturbata, dal campo gravitazionale. Il tensore metrico sostanzialmente coincide con il campo gravitazionale stesso.

F

E E

ij

4 4

g

µ

4 T

T

E

Per chiarire il fatto fondamentale che la metrica può non essere euclidea riportiamo il seguente esperimento ideale, dovuto ad Einstein stesso. Consideriamo un sistema di riferimento inerziale K₀ ed un secondo sistema di riferimento non inerziale K in rotazione uniforme rispetto a K₀. Consideriamo anche una circonferenza solidale con K come in figura 4.4. Rispetto a K il rapporto fra la circonferenza in quiete ed il suo diametro è π. Rispetto a K₀ che ruota in senso antiorario la circonferenza viene vista ruotare in senso orario. Ogni piccolo segmento della circonferenza viene visto da K₀ muoversi con una certa velocità v. In un certo istante ogni piccolo segmento di cui è formata la circonferenza viene visto contrarsi rispetto a K₀ secondo la legge della contrazione di Lorentz per cui il rapporto fra circonferenza e diametro è, rispetto a K₀, diverso da π poiché il diametro non subisce la contrazione di Lorentz, dal momento che non si muove rispetto a K₀ nel senso della sua lunghezza.

!

K K

!

v

1

x 0

K

Figura 4.4: Sistema in rotazione.

B 0

π. K

A 0 0

K v

∆x 0

0 x

0

K π,

0

K

Con questo semplice esempio si dimostra che lo spazio rispetto ad un sistema di riferimento accelerato non è euclideo, in quanto non valgono più le regole della geometria euclidea. La metrica oggetto della RG è quindi pseudoriemanniana e questo sarà chiarito in seguito.

La RG è una teoria classica, non quantistica, per cui non considera la materia come costituita da atomi. La materia, per la RG, è distribuita in modo continuo nello spazio e questo non costituisce in generale una limitazione alla teoria, non prendendo in considerazione gli atomi, perché, essendo la gravità una forza molto debole, la più debole presente in natura, la scala di applicazione della RG, per avere forze apprezzabili, è molto grande. Si hanno però fondamentali eccezioni a questa impostazione per esempio nei buchi neri e nelle fasi iniziali dell’universo, secondo il modello del big bang. In tali situazioni, data l’enorme densità della materia che in quei casi si verifica, la struttura discontinua della stessa gioca un ruolo fondamentale assieme alla gravitazione. In quelle situazioni estreme tutte le interazioni fondamentali, gravitazione, forza elettrodebole e nucleare, si fondono in un unicum la comprensione del quale costituisce la scommessa attuale della fisica.

La RG vale quindi solo se si può trascurare la natura quantisitca della realtà. Una teoria quantistica della gravitazione, tutt’ora in fase di realizzazione, deve superare la grande difficoltà concettuale e matematica nel fondere assieme la visione classica, prettamente basata sulla continuità, con la visione quantistica, discontinua per definizione. Noi, qui, presenteremo la RG nella sua formulazione classica di Einstein con alcuni successivi sviluppi essi stessi, però, sulla stessa linea di classicità. Per quanto riguarda il campo elettromagnetico, non ce ne occuperemo se non in casi particolari e lo considereremo sempre debole, quindi non in grado di influenzare la metrica. Un’influenza del campo elettromagnetico sulla metrica si potrebbe avere a causa della relazione E = mc². Il campo elettromagnetico possiede una energia intrinseca che corrisponde ad una certa massa la quale, se non trascurabile, dovrebbe influenzare la metrica. Noi non seguiremo questa linea di ragionamenti.

4.2.1 L’elemento lineare

4 2 i j

ds ds g dx dx

L’elemento della metrica di E⁴ è dato da . Denoteremo (xⁱ), le coordinate di un punto di E⁴ con x⁰, x¹, x², x³, avendo indicato con la coordinata temporale x⁰ mentre con x¹, x², x³ le coordinate spaziali.

1 0 0 0

 

0 0 0

−1

=  

g (4.3)

0 0 0

ij  

−1

 

0 0 0 −1

si ha l’usuale SRI della RR. Chiameremo galileiano un tale sistema di riferimento, ovvero con metrica (4.3) in un certo sistema di coordinate, dette cartesiane, e indicheremo la metrica galileiana con g⁽⁰⁾_ij. Fisicamente un sistema galileiano si ha quando il campo gravitazionale è assente e si prende un SRI come in RR. Per questo è evidente che la RR risulta così un caso particolare della RG.

= (xⁱ)

i i 0 1 2 3

x̄ x̄ , x , x , x

che la RR risulta così un caso particolare della RG. Sia la generica trasformazione ammissibile di coordinate (x⁰, x¹, x², x³) → (x̄⁰, x̄¹, x̄², x̄³)

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Relatività generale 79

g

Le componenti del tensore metrico si trasformano, come sappiamo grazie alla legge (3.2), nelle componenti date da

ij

ḡ

ij h k

∂x ∂x

=

ḡ g .

ij hk

i j

∂ x̄ ∂ x̄

= (xⁱ)

i i 0 1 2 3

x̄ x̄ , x , x , x

Ebbene, se esiste una trasformazione di coordinate per cui si ottenga in ogni punto la metrica galileiana, allora diremo che tale metrica, e, più propriamente, il relativo spazio, è piatto. Altrimenti, diremo che la metrica, e, più propriamente, il relativo spazio, è curvo (si dimostra che tale definizione è equivalente alla definizione di spazio piatto/curvo data in termini del tensore di Riemann). In RG la scelta di un sistema di coordinate per E⁴ è del tutto arbitraria, e ciò vale, ben inteso, anche per la coordinata temporale x⁰, la quale può essere definita in qualsiasi modo.

4.2.2 Il principio di relatività generale

Tutti i sistemi di coordinate di E⁴ sono perciò equivalenti e le leggi della fisica devono avere una forma matematica invariante rispetto ad una qualsiasi trasformazione di coordinate in E⁴. Questa affermazione va sotto il nome di principio di relatività generale ed è una logica estensione del principio di relatività ristretta. È evidente che le leggi della fisica debbano quindi essere espresse nella forma tensoriale

j ...j = 0.

1 q

T (4.4)

i ...i

1 p

j ...j

1 q

T

Se il tensore è nullo in un dato sistema di coordinate, lo sarà anche, a causa delle note formule di trasformazione dei tensori, in qualunque altro sistema di coordinate. In questo modo la forma (4.4) di una legge fisica rimane invariata.

4.3 Proprietà generali di E⁴

x

In RG, come già sappiamo, la scelta di un sistema di coordinate per E⁴ è del tutto arbitraria. Come allora riferirsi alla realtà fisica? Che proprietà generali dovrà avere il tensore metrico in modo che tale ente abbia senso fisico e rappresenti un campo gravitazionale reale? Vediamo di puntualizzare alcune proprietà generali di E⁴.

4.3.1 Struttura pseudoriemanniana di E⁴

=

2 i j 4

ds g dx dx

La forma quadratica che definisce la metrica di E⁴ non è a priori definita positiva né negativa, per cui, come prima ipotesi basterebbe solo che det(g_ij) ≠ 0.

6 ds

sia Una conseguenza di questo è che l’elemento può essere nullo anche per eventi non coincidenti o addirittura negativo. Diciamo quindi che E⁴ è uno spazio pseudoriemannio.

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Poiché in assenza di campo gravitazionale la metrica può essere trasformata nella galileiana g⁽⁰⁾, ed essendo