Introduzione alla logica con il foglio elettronico: Fondamenti per un ragionamento corretto

SIS Torino a.a. 2004-2005

Tesi di matematica

Classe di abilitazione A049

Introduzione alla logica

Con l’ausilio di un foglio elettronico

Supervisore: prof. Pierluigi Pezzini

Relatore: Mannini Bruno

La classe

La classe in cui ho effettuato il mio intervento didattico è una prima classe di liceo scientifico con programma sperimentale di scienze.

La classe è composta di 28 alunni, 12 femmine e 16 maschi; non è una classe particolarmente brillante, ma nemmeno scadente, con alcuni casi di studenti problematici.

Alcuni episodi verificatisi durante l’anno avevano creato un clima un po’ teso; ad esempio, una studentessa, che già aveva una situazione personale non semplice, ha avuto uno scontro con una sua insegnante (non la tutor), la quale aveva casualmente letto brani di un suo diario personale, e questo episodio ha innescato una serie di provvedimenti nei confronti della studentessa che aveva reagito con veemenza.

L’approccio con la classe si presentava perciò non del tutto agevole, e la tutor mi aveva subito raccomandato di non lasciarmi sopraffare da alcuni elementi che temeva avrebbero potuto tentare di disturbarmi durante la lezione.

La tutor, però, non ha mai avuto particolari difficoltà durante le attività didattiche, nonostante gli avvertimenti che mi ha rivolto, e quindi mi sono sentito fiducioso di poter riuscire a coinvolgere i ragazzi, anche se l’argomento scelto per l’intervento (un’introduzione alla logica) non è fra quelli di più immediata comprensione, e può risultare un po’ “tecnico”.

Durante lo svolgimento dell’intervento, ad ogni modo, sono stato molto soddisfatto nel constatare che la classe era attenta, nessuno si è mai (o quasi) distratto, i miei discorsi sono stati seguiti con piacere e gli interventi sono arrivati spesso senza neanche bisogno di sollecitarli.

Credo che di questo la tutor sia stata contenta.

Il libro di testo adottato in questa classe è:

Claudio Cremaschi, Matematica per problemi, Zanichelli, vol. I

Questo libro non è di facile utilizzo; gli argomenti sono trattati in maniera molto chiara e stimolante, con percorsi didattici veramente interessanti, ma l’ordine di presentazione non è affatto lineare, e credo che per un utilizzo proficuo la guida dell’insegnante sia necessaria.

Le numerose schede di lavoro e i percorsi didattici del libro di testo evitano agli studenti di dedicare troppo tempo alla scrittura di appunti, che pure vengono presi, permettendo loro di focalizzarsi sui concetti in discussione.

L’intervento didattico

Premessa

La tutor, durante il primo incontro preliminare che abbiamo avuto, mi ha proposto di fare un intervento didattico che mi è subito sembrato abbastanza impegnativo, anche se molto interessante, e cioè un’introduzione alla logica che includesse l’uso di strumenti informatici, e in particolare un foglio elettronico.

Ho iniziato, quindi, a raccogliere materiale per preparare una proposta di intervento; il mio supervisore mi ha procurato alcuni testi da leggere, sull’uso didattico di Excel e sulla didattica della logica, e sulla base di quelli e di altri testi che ho reperito ho iniziato il lavoro.

In aggiunta ai libri di testo ho ritenuto che fosse necessario, per l’impostazione suggerita dal tutor, poter usare il laboratorio di informatica della scuola, ma anche predisporre una serie di materiali attraverso i quali rendere più “suggestiva” la presentazione di una materia che altrimenti può rivelarsi troppo astratta, soprattutto in una prima classe.

Ho quindi cercato un approccio concreto agli argomenti che volevo spiegare “materializzando” i concetti attraverso una serie di oggetti, da me costruiti.

Argomento astratto, approccio concreto.

L’interazione con il tutor è stata molto soddisfacente; durante i miei interventi ha ascoltato quello che dicevo dal fondo della classe, dove in genere ha preso posto, o comunque da una posizione defilata, aggiungendo di tanto in tanto qualche riferimento ad attività da lei svolte in precedenza, perché i ragazzi effettuassero i necessari collegamenti, secondo gli accordi che avevamo preso.

Prerequisiti

La logica studia il corretto ragionare, e quindi è trasversale a tutti gli altri argomenti studiati.

Questo punto di vista è condiviso anche dalla mia tutor, che ha inserito la logica o i concetti ad essa collegati in quasi tutti i moduli in cui si articola la programmazione annuale della classe, oltre a dedicarle un modulo in cui viene trattata più specificamente, insieme alla geometria.

Non sono richiesti, pertanto, particolari prerequisiti per la sua trattazione, mentre qualunque conoscenza pregressa può fornire materiali da analizzare con gli strumenti della logica, attraverso i quali è possibile raggiungere un maggior grado di chiarezza e comprensione dei concetti.

Contenuti dell’intervento

Frasi generiche, proposizioni ben formate e figure di ragionamento (schemi logici)

• Proposizioni vere, false e indecidibili
• Disgiunzione, congiunzione e negazione
• Operatori logici binari e unari (con riferimento al punto precedente)
• Tavole di verità di proposizioni composte
• Funzioni logiche di un foglio elettronico
• Obiettivi specifici

Conoscenze e abilità

Conoscenze

Proposizioni vere, false e indecidibili

Proposizioni elementari e composte

Operatori logici e notazione

Tavole di verità delle proposizioni composte

Sintassi delle funzioni logiche di un foglio elettronico

Abilità

Distinguere proposizioni elementari e operatori logici in proposizioni composte e costruire proposizioni composte a partire da operatori logici e proposizioni elementari

Saper costruire la tavola di verità di una proposizione composta

Saper usare un foglio elettronico per costruire tavole di verità

Competenze

• Leggere, utilizzare e interpretare correttamente le notazioni del linguaggio della logica e le relative formalizzazioni.
• Riconoscere gli schemi di ragionamento corretti e i principali errori di ragionamento.
• Analizzare e discutere semplici casi, testi e situazioni, individuando conclusioni logicamente corrette.

Obiettivi formativi generali

• Comprendere l’importanza della logica in ambito scientifico e in generale nella cultura
• Sviluppare le capacità di generalizzazione e astrazione
• Sviluppare le capacità di analisi e sintesi
• Sviluppare la creatività degli studenti
• Migliorare l’uso del linguaggio

Metodi e materiali

Ho scelto la forma della lezione frontale partecipata, durante la quale gli studenti venivano coinvolti individualmente nella discussione.

I materiali didattici usati durante la lezione sono riportati nell’appendice.

Il laboratorio di informatica che abbiamo usato, uno dei tre presenti nella scuola, è dotato di 15 computer in rete, uno dei quali agisce da server ed è a disposizione del docente.

Un software per la didattica in rete permette al docente di bloccare i computer degli studenti e inviare loro l’immagine del desktop della macchina sulla quale sta lavorando; una volta mostrate le operazioni che gli studenti devono fare si possono sbloccare le loro macchine per permettere che eseguano il compito richiesto.

Ho usato questo sistema per illustrare ai ragazzi l’uso delle funzioni logiche del foglio elettronico.

Nel laboratorio di informatica ho diviso gli studenti in gruppi di due persone, in modo che ogni gruppo disponesse di un computer.

Schema dell’intervento didattico

Contenuti Attività Metodologia Luogo

Ore Lezione

• Vero, falso, indecidibile
• Ragionamenti e figure di ragionamento
• Cartoncini con numeri e lettere
• Cartoncino indecidibile
• Lezione partecipata, lavoro in piccoli gruppi
• 1 Aula

• Connettivi logici (e, o)
• Scrigni di Porzia
• Proposizioni elementari e composte
• Tavole di verità
• Lezione partecipata, lavoro in piccoli gruppi
• 1 Aula

• Connettivi logici (non)
• L’isola dei cavalieri, dei furfanti e dei normali
• Connettivi logici e foglio elettronico
• Lezione partecipata, lavoro in piccoli gruppi
• 1 Aula

• Attività sul libro di testo: correzione degli esercizi assegnati per casa e discussione
• Discussione di un brano, letture varie
• Lezione partecipata, lavoro in piccoli gruppi
• 1 Aula

• Costruzione di tavole di verità con il foglio elettronico
• Esercizi assegnati
• Lavoro in piccoli gruppi
• 1 Laboratorio di informatica

• 1 Verifica
• Aula
• 1 Consegna e correzione verifica
• Aula

L’intervento didattico

Lezione 1 – Introduzione

Vero e falso: proposizioni

Ho iniziato chiedendo agli studenti come si stabilisce se un’affermazione è vera o falsa.

Per esempio, si può dire che “Luigi ha gli occhi azzurri” è un’affermazione di cui, con una verifica diretta, si può stabilire se è vera o è falsa.

Più complesso è decidere se “Tutti i cigni sono bianchi” è vera o falsa, perché si dovrebbero controllare tutti i cigni esistenti e quelli futuri. In questo caso sembra che ci dovremo accontentare di un certo grado di fiducia nella verità della frase, se risulterà confermata (corroborata) in molti casi, ma basterà un solo cigno nero, o di un altro colore, per farcela considerare sicuramente falsa.

In ogni caso di entrambe le frasi si può, in linea di principio, dire se sono false o vere; entrambe si dicono, per questo motivo, proposizioni.

Invece di frasi come le seguenti:

Come va? Vieni qui Una notte a Venezia

non ha senso chiedersi se sono vere o false: non sono proposizioni.

Ho affermato che avremmo considerato soltanto proposizioni, e non qualunque frase possibile.

Altri esempi sono stati interpretati correttamente dagli studenti.

Ragionamenti e figure di ragionamento

Ho proposto il seguente ragionamento, chiedendo se fosse corretto:

Se la benzina finisce, l’automobile si ferma

La benzina non è finita

dunque

L’automobile non si ferma

Gli studenti hanno subito notato che questo ragionamento non è valido, perché l’automobile può fermarsi anche se la benzina non finisce.

Ho chiamato le prime due proposizioni premesse, l’ultima conclusione; in questo caso la conclusione non si può ricavare dalle premesse, e quindi il ragionamento è falso.

Ho modificato di poco la struttura del ragionamento precedente:

Se la benzina finisce, l’automobile si ferma

L’automobile non si ferma

dunque

La benzina non è finita

E tutti sono sembrati d’accordo sul fatto che così è valido, perché se l’automobile non si ferma, allora senz’altro la benzina non è finita.

Ma se la macchina si trova su una discesa non si ferma anche se non ha finito la benzina, ho fatto notare; quindi il ragionamento precedente è sbagliato?

Ho detto loro che la conclusione deriva da entrambe le premesse, e accettando la prima abbiamo considerato vero che se la benzina finisce allora la macchina si ferma certamente; questo ha destato qualche perplessità, inizialmente, ma insieme alla tutor siamo riusciti a spiegarlo, perché alla fine i ragazzi hanno detto di aver capito.

Per capire quale sia la differenza tra i due, ho indicato con la lettera A la proposizione “la benzina finisce” e con la lettera B la proposizione “l’automobile si ferma”; allora la proposizione “l’automobile non si ferma” potrà essere indicata con “non A” e “la benzina non è finita” con “non B”.

In questo modo i due ragionamenti si trasformano nelle due figure di ragionamento seguenti:

Se A, allora B Se A, allora B

Non A Non B

dunque dunque

Non B Non A

Con qualche altro esempio (suggerito dagli studenti) ho fatto notare che la prima figura sembra essere sempre falsa e la seconda sempre vera, qualunque coppia di proposizioni si sostituiscano alle lettere A e B.

In generale ho detto loro che una figura di ragionamento deve essere considerata non valida nel caso in cui entrambe le premesse risultino vere ma da esse derivi una conclusione falsa.

La figura è, invece, valida se da premesse entrambe vere deriva sempre una conclusione vera.

Se, invece, una o entrambe le premesse sono false, il fatto che la conclusione lo sia o non lo sia non ci permette di dire se la figura è valida oppure no.

Attività con gli studenti

A questo punto ho ritenuto opportuno interrompere la lezione frontale, sia pure partecipata, e iniziare qualche attività nella quale gli studenti fossero impegnati più direttamente.

Prima attività

Ho fatto vedere agli studenti 10 cartoncini sui quali sono scritte da un lato delle lettere e dall’altro dei numeri.

Ho costruito i cartoncini in questo modo:

• I numeri dietro le vocali sono tutti multipli di 7, mentre nessuno di quelli dietro le consonanti lo è;
• I numeri dietro le consonanti sono tutti primi, e nessuno di quelli dietro le vocali lo è;
• I numeri dietro le consonanti sono tutti dispari, ma anche qualcuno di quelli dietro le vocali lo è;
• I numeri dietro le consonanti sono della forma 3n+1, ma anche il 49=3x16+1, dietro la O, lo è.

Esistono dunque caratteristiche che permettono di separare i cartoncini delle vocali da quelli delle consonanti senza ambiguità ed altre che invece riguardano le une e le altre.

Ho mostrato quattro cartoncini sui quali si legge:

C 61 E 28