Integrazione Numerica

ITIS “Primo Levi” Laboratorio di matematica

Mirano (VE) Classe 5

Integrazione numerica

Premessa

Se consideriamo una funzione f(x) continua in [a,b] e si conosce una sua primitiva F(x),

l’integrale definito di questa funzione, nei limiti da a a b, può essere calcolato con la formula:

b

∫ = −

f ( x ) dx F ( b ) F ( a )

a

dove F'(x) = f(x)

Spesso però succede che:

• La primitiva di f(x) non può essere espressa con una funzione elementare;
• La determinazione della primitiva di f(x) può essere particolarmente laboriosa;
• La funzione integranda è una funzione empirica, cioè una funzione di cui non è nota una espressione analitica ma si conoscono solo alcuni valori numerici ottenuti, per esempio, da rilevazioni statistiche o esperimenti di laboratorio.

Ci occupiamo, quindi, di trovare dei metodi di integrazione numerica e cioè delle formule di quadratura.

Sappiamo che la determinazione dell’integrale definito:

b

∫ f ( x ) dx

a

equivale al calcolo dell’area del trapezoide APQB, in figura successiva, delimitato:

• Superiormente dalla curva continua di equazione y = f(x);
• Lateralmente dalle due rette parallele passanti per i punti a e b;
• Inferiormente dall’asse x. Novembre 2007

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Mirano (VE) Classe 5

Formule dirette

Supponiamo che: ≥ ≤ ≤

f ( x

) 0 e a x b

Per avere un valore approssimato di questa area si può dividere l’intervallo [ ] in n intervalli

a,b

−

b a

=

uguali, di ampiezza mediante i punti x = a < x < x < x …….. < x = b

h 0 1 2 3 n

n

y Q

y

2

P y

n

y

1

y

0 h

A B

O a = x x x x x x = b x

0 1 2 3 n-1 n

e consideriamo i valori che assume agli estremi dei singoli intervalli parziali, cioè:

f(x)

y = f(x ) y = f(x ) y = f(x ) …………………… Y = f(x ) y = f(x )

0 0 1 1 2 2 n-1 n-1 n n

Formiamo ora le seguenti somme: −

n 1

∑

y h + y h + y h + …………………… + y h = h y considerando l’estremo sinistro

i

0 1 2 n-1 =

i 0

n

∑

y h + y h + y h + ………………..… + y h = h y considerando l’estremo destro

i

1 2 3 n =

i 1

Sappiamo che: −

n 1 n b

∑ ∑ ∫

= = f ( x ) dx

lim h y lim h y

i i

→ ∞ → ∞

n n

= = a

i 0 i 1

Novembre 2007

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Possiamo quindi considerare come valore dell’integrale approssimato sia la prima che la seconda somma cioè porre:

−

b b a

≅

∫ + + + +

f ( x ) dx ( y y y ......... y − Formule dei rettangoli