Integrali e confronto con Serie Numeriche, Analisi matematica I

Integrali integrazione I

Integrale di una funzione continua in un intervallo [a,b]

Integrale definito II Integrale di una funzione continua su [a,+∞)

Integrale improprio I f: [a,b] → R Continua

Definiamo un oggetto matematico che denotiamo con ∫_a^bf(x)dx e che sarà un Numero.

Sia n ∈ N.

Si divide [a,b] in parti uguali di lunghezza b-a / n.

Z∈[x_i-1, x_i], i=1, ..., n.

S_n=(f(z₁), f(z₂), ..., f(z_n)).

Si dimostra che lim_n→∞ S_n (z₁, ..., z_n) esiste finito ed è sempre lo stesso per ogni scelta dei punti z_i.

Tale limite si chiama integrale definito di F su [a,b] ∫_a^bf(x)dx numero, non è una funzione di x.

Esempio: f(x)=2x [a,b]=[0,1] ∫₀¹2xdx numero 0.

Integrali integrazione ^I

Integrale di una funzione continua su un intervallo [a, b]

Integrale definito ^II Integrale di una funzione continua su [a, +∞)

Integrale improprio ^I f: [a, b] → ℝ Continua

Definiamo un oggetto matematico che denoteremo con ^b∫_a f(x) dx e che sarà un Numero.

Sia n ∈ ℕ.

Si divida [a, b] in n parti uguali di lunghezza ^b-a_n.

Si considera un punto z_i ogni in ogni intervallo.

S_n = f(z₁) + f(z₂) + ... + f(z_n).

Si dimostra che lim_n→+∞ S_n (z₁, ..., z_n) esiste finito ed è sempre lo stesso per ogni scelta dei punti z_i.

Tale limite si chiama integrale definito di f su [a, b] e si denota con ^b∫_a f(x) dx.

Numero, non è una funzione di x.

Esempio: f(x) = 2x [a, b] = [0, 1] ¹∫₀ 2x dx Numero 0.

z_i ∈ [0, ²⁄_n] → f(z_i) = z_i

z_i ∈ ]²⁄_n, ³⁄_n] → f(z_i) = 2z_i

z_n ∈ [^n-1⁄_n, 1] → f(z_n) = 2z_n

⁄ ⁄_n (2z₁ + 2z₂ + ... + 2z_n) ≅ Sn (z₁, z_n).

Rim: Sn (z₁, z_n) = f(z_n) f(z_n) n → +∞.

Sn (z₁, ..., z_n) = ¹⁄_n (2.0 + 2.¹⁄_n + 2.²⁄_n + ... + 2.^n-1⁄_n) = ²⁄_n (¹⁄_n + ²⁄_n) = ^{(n+1) - 1}⁄_n ²⁄_n + 2.^{(n+1) - n}⁄ ⁄_n (^n(n-1)⁄₂) = ^n-1⁄_n *Caso particolare(*)←Sotto quello a sinistra.

Caso particolare

Z₁ = 0.

Z₂ = ¹⁄_n.

Z₃ = ²⁄_n.

Z_n = n-1.

Formula sottrativa primi n numeri.

1 + 2 + ... + k = k(k+1)^⁄₂ Sn (z₁, ... z_n) = ¹⁄_n (2.¹⁄_n + ²⁄_n + ²⁄_n) ⁺ _+ ⁄ Sn (z₁, ..., z_n) = ²⁄_n ( ¹⁄_n + ²⁄_n + ...) = ²⁄_n ( ⁿ⁄_n ) = ²⁄_n ( ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄_n) ⁿ⁄+1 _n

Estremo di sinistra Sn = n — ⁿ⁄_n → n → +∞.

Caso particolare

← 0.

Z₁ = 0.

Z₂ = ¹⁄_n⁄ ²⁄_n = h.

Caso generale

z₁ ∈ [0, ¹⁄_n]

z₂ ∈ [¹⁄_n, ²⁄_n]

...

z_n ∈ [^n-1⁄_n, 1]

0 + ¹⁄_n + ... + ^n-1⁄_n

z₂ + z₃ + ... + z_n

1 + ¹⁄_n + ..