Integrale di seconda specie

Integrali di II specie

L'integrale di lineaγ: [a, b] → R^nF(μ_(γ))F: A ⊆ Rⁿ → Rⁿ a pezzo A &supset; γ′([a, b])<F(γ′(t)), γ′(t)> Δt→ ∑_t <F(γ′(t)), γ′(t)> Δt∫_γ F(x)dx = ∫_a^b < F(γ′(t)), γ′′(t) > dt --->Integrale del campo---> due modi clamor prezoo...

Se consideriamo la curva definito da γ̂(s)=γ̂(b+a-s) dnaper raggiungere la medesima curva di γ̇. Calcoliamo l'integrale esteso a γ̂∫_γ̆^b FαdX = ∫_a^b <F(γ̇′(s)), γ̇′′(s)> ds = ∫_a^b <F(γ̇(b+a-s)), γ̇′(a+b-s)> (-1) ds †poniamo a+b-s=t-ds=dt∫_α^Θ <F(γ′(t)), γ′(t)> (-dt) = ∫_B <F(γ̂(t), γ′′(t)) dt =-∫_α^μ < F(γ′(t), γ''(t) > dtcurators combiundo il verso di percorrenza cambia il signum

Integrali di II specie: l'integrale di linea

^γ'[a, b] → ℝⁿF(γ'(t)₁)∫_γ F(x)dx = ∫_a^b <F(γ'(t)), γ''(t)> dt

Calcoliamo l'integrale esteso a γ̂∫_γ̂ F(x)dx = ∫_a^b <F(γ'(s)), γ''(s)> ds = ∫_a^b <F(γ'(b+a-s)), γ'(a+b-s)> (-1) dsΘ = -∫_a^b <F(γ'(t)), γ''(t)> (-dt) = -∫_a^b <F(γ'(t)), γ''(t)> dt

Equivalente/associato con le 1-forme differenziali

si associa univocamente una forma differenzialew: C_r(A) -> C(A) dove con A aperto di Rⁿper ogni w è definitaΩ = Σ_i=1ⁿ a_i(x) ∂/∂x_ia_i: A -> R continua in A ∀i=1,...,n-> Ω(f) = Σ_i a_i(X) ∂f/∂x_i

Es Ω(x,y) = x ∂/∂x -4 ∂/∂yEs f=xy ⇒ Ω(f) = xy_x + yx = 2xy = Ω(F) = a=0

Es w ∈ R³ Ω = ∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂zΩ(f) = ∂f/∂x + ∂f/∂y + ∂f/∂z = dwf

Notazione per indicare una 1-forma

per n=2,Ω = a(x,y)dx + b(x,y)dy con a,b ∈ C(A) Aper n=3,Ω = a(x,y,z)dx + b(x,y,z)dy + c(x,y,z)dz con a,b,c ∈ C(A) AA è detto dominio della 1-forma diff. Ωk qualsiasi1-form. omogenea

Def:Ω_ω ^∞ = ∫ F ω (X) dλXdove F_o e il campoF_o(x,y) = (a(x,y), b(x,y)) per n=2F_{o k'(y) = 0= k = cost.=> abbiamo trovato buona primitiva f = 1/2log(x²y²)²+kj.c.e. di f deve coincidere con quella di F. ℝ}

Es. 2

Campo rotor, con una annuetta primitivadω = ^y⁄_x²+y² dx - ^x⁄_x²+y² dy, j.c.e. ℝ²\{0,0}∂^(y⁄_x²+y²) = ^2xy²-2y²⁄_(x²+y²)²∂^x⁄_(x²+y²) = ^-x2y⁴ dx²⁄_(x²+y²)²( è chiuso! )

Proviamo a calcolare una primitivaf(x,y) = ∫^y⁄_x²+y² dx + k(y)f(x,y) = ∫_√x,y - x^-2 y dx + k(y) = y arctg ( x/y ) 1/y + k(y) = arctg (x/y) + k(y)

Calcoliamo ∂f/∂x = -x/y² - 1/x² y + k'(y) = -x/x² y² + k'(y)Confrontiamola con F₂k'(y) = 0 ⇒ k = cost....ma quale c.e. di f ? c.e. e IR² con y ≠ 0f= una primitiva solo in alcuni Pti⇒ non è globaleF non ammette primitiva

Calcoliamo ora l'integrale di linea con y = circonferenza di centro (0,0) e raggio R. ∮_γ ω = ∫₀^2π [ (R sin t / R^-1 - R cos t / R), (R sin t , R cos t) ] = -2π

Collegamento tra integrale di linea di un campo vettoriale e l'esistenza di una sua primitiva

Consideriamo γ una curva regolare e supponiamo che F = ∇f, f ∈ C¹(A), Δ ⊂ curva∫_a^b ω_F = ∫_a^b ⟨ F (γ(t)), γ'(t) ⟩ dt = ∫_a^b ⟨ ∇f(γ(t)) γ'(t) ⟩ dt == ∫_a^b d/dt f (γ(t)) dt = f(γ(b)) - f(γ(a))

Prop. Se F è dotato di primitiva ⇒ ∀ γ ⊆ A, ∫_γ ω_F = f(γ(b)) - f(γ(a))in particolare∮_γ ω_F = 0 ∀ γ            ↑            _{circuitazione} ⇒ campo conservativo

Def F si dice conservativo su A ⊂ ℝⁿ se∮_γ ω_F = 0 ∀ curva regolare chiusa ⊆ ASi può dimostrare che l'ammette potenziale/primitiva ⇔ F è conservativo in A.OSS. Si può costruire un potenziale per F,f(x,y,z) = ∫_P^A ω_Fy (x,y,z)

Campi conservativi

Riscriviamo la definizione:F è conservativo, F: A ⊂ Rⁿ → Rⁿ, F ∈ C(A) se ∀ curva regolare γ contenuta in A e chiusa in A ⇒ ∮ γ ω_F = 0

Condizione necessaria affinché F ammetta una primitiva è che:∂F₁ ∂F₂ ∂F₃ ∂F₃ ∂F₃ ∂F₁── = ──, ── = ──, ── = ── in A. (Rot F = 0)∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z(Per Schwarz)

Se F ammette primitiva f ∈ C¹(A), (∇f = F) alloraγ ω_F = f(γ_P(b)) - f(γ_P(a))Se F ha una primitiva in A, allora ∮ γ ω_F = 0 (conservativo)Se F è conservativo allora ∃ una primitivaLa condizione rotF = 0 in A è necessaria e sufficiente se il dominio A è semplicemente connesso.

Th. di Poincaré (conservativo irrotazionale)

Definiamo prima il dominio stellato:un dominio A si dice stellato rispetto ad x₀ &in; A se ∀ x &in; A il segmentoche unisce x ad x₀ è contenuto in A. è contenuto è chiuso. A è stellato rispetto ai è chiuso ma non convesso.

Se F &in; C¹(A) con A stellato rispetto ad x₀ &in; A, allora F ammetteuna primitiva (o potenziale) conservativo irrotazionale rot F = 0

Dim. (per il caso piano, n=2)

Prendiamo A e due pt. (x, y) e (x₀, y₀) e congiungiamolicalcoliamo l'integrale di linea del campo sul segmento congiungente

Definiamo f(x,y) = ∫^x dove [x, y]^Tγ(x, y) = { {x(t) = x₀ + t(x - x₀){y(t) = y₀ + t(y - y₀) 0 ≤ t ≤ 1}luogo campione per passare uni pic da (x₀, y₀) a (x, y)

Mostriamo che f è una primitiva per F.f(x,y) = ∫₀¹ < F(γ₁(t)), γ'₁(t) > dt = ∫₀¹ < F(x₀ + t(x-x₀), y₀ + t(y-y₀)), (x-x₀, y-y₀) > dtL'integrale è mdt ma ho dipendente da x̅ y̅ t.

3) Formula di derivazione sotto segno di integrale

Mostriamo che∂F₁(f₁,f₂)(g₁,g₂) = ₂/^∂xf₁(g₁ + f₁^{∂x-1g₁ + ∂xg₂ + ∂_∂x}f₂ ΘΘ = 2f , f₁,f₂ , (g₁,g₂) > + 1,f₂ ) , ∂_∂yg₁,_{∂g2) > Allora posso scrivere∂fx(x,y) = ∫0^{1 2F}/∂x(x0 + t(x-x0), y0 + t(y-y0)), (x-x0, y-y0) dt θθ = ∫0¹ < ( F(..) ) (1, 0) > dtF2(γ'(t)) = ∂F2/∂x γ'(t) t}

Anche∂²FHD(t) = < ∇F₁(γ(t)), ∂^xγ(t) > = ∂^F₁/∂x (γ'(t)) t∂_xAbbiamo aueca a postruitc∂f_x∫¹₀ = ^∂F₁/∂x γ'(t). t. ^x-x₀ + ^∂F₂/∂x γ'(t)). t ( y-y₀) θ+ ∫₀¹ F₁ (γ')dt con γ'(t) = ( ^x₀/_y0 ) + t ( ^x-x₀/_y-y0 )So che ^∂F₂/∂x = ^∂F₁/∂yOsserviamo chedF₁ (γ') t^Δ = 1(γ'(t)), ∇f₁(γ'(t)) ), γ'(t)), t = F₁= ∂^2F₁/∂x (γ(t))(γ(t)(x-x₀)t + ∂^2F₁/∂y γ(t))(y-y₀ )t + F₁ (γ'(t))Dal confrareu con la sua integranda, nelia ∂F_∂⁰possono ricavuuo integrale cosi.^∂F₂/∂x