La formulazione di Feynman: integrale sui cammini e processi stocastici nella meccanica quantistica

Università degli studi di Padova

Facoltà di scienze MM. FF. NN.

Dipartimento di fisica “Galileo Galilei”

Laurea triennale in fisica

Integrale di Feynman sui

Cammini e processi stocastici

Relatore: Prof. Pieralberto Marchetti

Laureando: Cristiano De Nobili

Anno accademico 2008/2009

Indice

0.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2 Derivazione dell’Integrale sui Cammini di Feynman attraverso la Formula di Trotter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.3 Formulazione di Feynman della Meccanica Quantistica: Postulati. 4

0.4 Natura e Caratteristiche dei Cammini di Feynman. . . . . . . . . . 5

0.5 Ambiguità di Quantizzazione dell’Integrale di Feynman . . . . . 7

0.6 Equivalenza tra la Formulazione di Feynman e la Formulazione Standard della MQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

0.7 Problematiche di Convergenza dell’Integrale di Feynman . . . . . 9

0.8 La Formula di Feynman-Kac e la Misura di Wiener. . . . . . . . 10

0.9 Equazione del Calore e Moto Browniano . . . . . . . . . . . . . . 12

0.10 Integrale di Feynman e Integrale di Wiener . . . . . . . . . . . . 14

0.11 Equazione di Fokker-Planck e Fluttuazioni Quantistiche . . . . . 15

.1 Appendice A: Derivazione dell’Integrale di Feynman attraverso l’Operatore Normalmente Ordinato . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

.2 Appendice B: un paio di Definizioni e un Teorema . . . . . . . . 19

Bibliografia 20

.3 Ringraziamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

0.1 Introduzione

In questo lavoro si presenta ed elabora concettualmente la Formulazione di Feynman della Meccanica Quantistica (MQ), i problemi di convergenza dell’integrale sui cammini e la relazione di questa formulazione con i processi stocastici.

Dapprima, nella sezione {0.2}, viene derivato l’integrale sui cammini di Feynman attraverso l’utilizzo della formula di Trotter e successivamente, nella sezione {0.3}, sono presentati i postulati della formulazione di Feynman della MQ.

Sono poi studiati i cammini di Feynman e le loro caratteristiche peculiari, che offrono uno stretto paragone con i processi stocastici.

Nelle sezioni {0.7},{0.8} vengono prima mostrate le problematiche di convergenza dell’integrale di Feynman e poi, seguendo la dimostrazione di Nelson del teorema di Kolmogorov, l’approccio di Kac che permette di definire rigorosamente una misura per l’integrale: la misura di Wiener.

Nella sezione {0.9} è mostrata l’equazione del calore e la sua stretta relazione con il moto browniano, esempio più semplice di processo stocastico.

Ciò ci permette, nelle due sezioni successive, di paragonare direttamente prima l’integrale di Feynman con quello di Wiener e poi l’equazione di Schrödinger con quella di Fokker-Plank.

Da questo confronto si conclude che l’evoluzione temporale di una particella quantistica può essere descritta come un’evoluzione deterministica perturbata da fluttuazioni quantistiche.

0.2 Derivazione dell’Integrale sui Cammini di Feynman attraverso la Formula di Trotter

Consideriamo inizialmente l’equazione di Schrödinger di una particella non relativistica in moto unidimensionale in presenza di un potenziale scalare V (x):

2 2

∂ h̄ ∂

ih̄ ψ(x, t) = − ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t) (1)

2

∂t 2m ∂x

Un’arbitraria soluzione di tale equazione, individuata dalla condizione iniziale ψ(x₀, t₀), può essere scritta attraverso la Funzione di Green o anche detta in meccanica quantistica propagatore hx, t|x₀, t₀i:

Z +∞

ψ(x, t) = dx hx, t|x₀, t₀iψ(x₀, t₀) (2)

−∞

Il termine propagatore indica il significato fisico di tale funzione; infatti essa rappresenta l’ampiezza di probabilità di passare da x₀ all’istante t₀ a x all’istante t, cioè da (x₀, t₀) a (x, t).

L’importanza del propagatore e dell’approccio di Feynman è che tale oggetto matematico permette di calcolare un’arbitraria soluzione dell’equazione di Schrödinger, senza dover risolvere esplicitamente la (1).

Ciò che faremo ora è indagare la natura di tale propagatore; otterremo così l’integrale di Feynman.

Sia H l’operatore hamiltoniana e assumiamo H = T + V, dove T rappresenta l’operatore energia cinetica e V quello energia potenziale.

Fissiamo l’attenzione sul propagatore hx₀, t₀|x, t i dallo stato (x₀, t₀) a (x, t).

1 In questo elaborato successivamente il propagatore verrà indicato anche con G(x, x₀; t, t₀).

Si ha che G(x, x₀; t₀, t₀) = δ(x − x₀), come è facile da verificare.

Esso può anche essere scritto:

i

hx₀, t₀|x, t i = hx₀|e^{− (t −t₀)(T + V )/h̄}|x i (3)

Poiché T e V non commutano si ha che e^{T + V} ≠ e^T · e^V, ma vale la seguente Formula di Trotter:

e^{T + V} = lim_{N →+∞} (e^{T /N} e^{V /N})^N (4)

Nel nostro caso dunque, ponendo λ = (t₀ − t)/h̄:

hx₀, t₀|x, t i = lim_{N →+∞} hx₀|(e^{−λ T /N}e^{−λ V /N})^N|x i (5)

Utilizzando ora la relazione di completezza per gli autostati generalizzati dell’operatore posizione Z +∞ |xihx|dx = 1

−∞

e inserendo tale espressione nell’equazione (5), fra gli N fattori e^{−λ T /N} e^{−λ V /N} si ottiene per il propagatore tale espressione:

Ãtilde; !

Z Z N −1 N −1

+∞ +∞

hx₀, t₀|x, t i = lim ... dx hx_j+1|e^{−λ T /N}e^{−λ V /N}|x_ji (6)

N →+∞ −∞ −∞ i=1 j=0

Tale espressione esprime il propagatore hx₀, t₀|x, t i in funzione del propagatore infinitesimo hx_j+1|e^{−λ T /N}e^{−λ V /N}|x_ji.

Vogliamo ora calcolare tale propagatore infinitesimo. Siccome V = V (x), allora si ha:

hx_j+1|e^{−λ T /N}e^{−λ V /N}|x_ji = e^{−λV (x_j)/N}hx_j+1|e^{−λ T /N}|x_ji (7)

Analogamente alla relazione di completezza per gli autostati generalizzati dell’operatore posizione, abbiamo per quelli dell’operatore impulso:

Z +∞ |pihp|dp = 1

−∞

Ciò ci permette di scrivere:

Z +∞

hx_j+1|e^{−λ T /N}|x_ji = dp hx_j+1|e^{−λ T /N}|p ihp |x_ji

−∞

Sapendo che nel caso considerato T = p²/2m e che tale operatore è diagonale nella rappresentazione dell’impulso:

hx_j+1|e^{−λ T /N}|p i = e^−λp2/2mNhx_j+1|p i

Quindi:

Z +∞

hx_j+1|e^{−λ T /N}|x_ji = dp e^−λp2/2mNhx_j+1|p ihp |x_ji

−∞

Ma un’espressione del tipo hx|pi rappresenta l’autofunzione impulso nella rappresentazione delle coordinate, quindi (per una particella libera):

1 1

hx_j+1|p ihp |x_ji = e^{(i/h̄)px_j+1} e^{−(i/h̄)px_j}

2πh̄ 2πh̄

Si ottiene dunque l’integrale gaussiano

Z +∞

1

hx_j+1|e^{−λ T /N}|x_ji = dp e^−λp2/2mNe^{ip (x_j+1−x_j)/h̄}

j j+1 j 2πh̄ −∞

e integrando si ottiene:

hx_j+1|e^{−λ T /N}|x_ji = exp{−(m/2)(x_j+1 − x_j)² N/λh̄}

(mN/2πh̄²λ)^1/2 (8)

Inserendo l’eq.(8) nell’eq.(7), otteniamo per il propagatore infinitesimo l’espressione

hx_j+1|e^{−λ T /N}e^{−λ V /N}|x_ji = (mN/2πh̄²λ)^1/2 exp − V (x_j) (mN/2)(x_j+1 − x_j)²/λh̄ (9)

Con ε = (t₀ − t)/N. Questa forma del propagatore infinitesimo fu suggerita già da Dirac[6], tuttavia egli non fu in grado di collegarla con il propagatore hx₀, t₀|x, t i relativo ad un tempo finito.

È merito di Feynman il fatto di aver espresso il propagatore come infinite convoluzioni del propagatore infinitesimo secondo l’eq.(6) [2].

Utilizzando dunque l’eq.(9)

hx₀, t₀|x, t i = lim_N→+∞ ... dx exp (i/h̄)ε m/2 (x_j+1 − x_j)²/ε² − V (x_j) (10)

Utilizzando le proprietà della funzione esponenziale si ha che il prodotto si trasforma in somma e dunque

hx₀, t₀|x, t i = lim ... dx exp (i/h̄)ε Σ m/2 (x_j+1 − x_j)²/ε² − V (x_j) (11)

Questa è la forma finale del Propagatore Quantistico, espresso come Integrale di Feynman [1]. Il limite N → ∞ equivale a ε → 0.

A questo punto un Cammino di Feynman (discretizzato) è rappresentato da una spezzata Γ (..., x(t_k), ...) di vertici {x₀, x₁, ..., x_k, ..., x_N−1, x_N}, con x(t₀) = x₀, x(t_k) = x_k, x(t_N) = x_N.

Tale spezzata si ottiene discretizzando l’intervallo di tempo considerato (t₀ − t₀) in N-1 punti intermedi equidistanti e spaziati di ε.

Se indichiamo con C_N(x₀, t₀; x₀, t₀) l’insieme di tutte le Γ con estremi fissi x(t₀) = x₀, x(t₀) = t, allora l’eq.(11) indica, per N fissato, la somma di exp{...} su C_N.

2 Notiamo infatti che tale integrazione non coinvolge i punti estremi, ma solo quelli intermedi. 3

Sapendo che (x_j+1 − x_j)/ε = (x(t_j+1)−x(t_j))/ε e che l’azione classica è

S[x(·)] = ∫_t0^t dt [m ẋ(t)²/2 − V (x(t))] (12)

allora è facile vedere che il termine ε [...] dell’eq.(11), ad N fissato, è proprio tale azione classica calcolata lungo la spezzata Γ_N.

Nel limite lim_{N →+∞}, la spezzata Γ_N diventa una curva continua x(t) con stessi estremi fissi.

L’insieme C_N(x₀, t₀; x₀, t₀) diventa lo spazio dei cammini C(x₀, t₀; x₀, t₀), cioè l’insieme delle funzioni reali continue x(t) con estremi x(t₀) = x₀, x(t₀) = x.

L’eq.(11) può dunque essere riscritta in maniera poco rigorosa:

hx₀, t₀|x, t i = ∫_C Dx(t) · exp{(i/h̄)S[x(·)]}

Dx(t) = lim_N→+∞ ∏_i=1^N−1 dx(t_i) (mN/2πih̄ε)^N/2

Nell’eq.(13) si vede che per N → ∞ il termine Dx(t) è divergente, mentre il termine exp{(i/h̄)S[x(·)]}, oscillando rapidamente, tende ad eliminare questa divergenza facendo sì che nell’espressione (11) il limite esiste.

Tuttavia, come sarà mostrato nella sezione 0.7, il prodotto di questi due fattori non è in grado di definire una misura per l’integrale funzionale.

Quindi si ha che l’espressione (13) non è matematicamente corretta.

Per il momento però trascuriamo questo aspetto e ci concentriamo sul significato fisico di questo risultato, che verrà espresso nella prossima sezione.

0.3 Formulazione di Feynman della Meccanica Quantistica: postulati

Consideriamo una particella S descritta dall’azione classica (12) e fissiamo l’attenzione sull’evento A: S va da (x₀, t₀) a (x₀, t₀).

L’ampiezza hx₀, t₀|x₀, t₀i associata a questo evento è il propagatore dell’equazione di Schrödinger nelle varibili (x₀, t₀).

Postulato 1 Tutte le alternative disgiunte (cioè indipendenti mutuamente esclusive) secondo le quali l’evento A può realizzarsi sono descritte da cammini x(t) ∈ C(x₀, t₀; x₀, t₀).

L’idea fondamentale di Feynman è di associare un’ampiezza di probabilità ad ogni alternativa disgiunta relativa all’evento A in questione.

Nella formulazione standard si associa invece un’ampiezza di probabilità, ψ(x, t), alla posizione di una particella ad un particolare istante.

Esprimiamo l’ampiezza che S si muova lungo x(t) con hx₀, t₀|x₀, t₀i[x(·)].

Postulato 2 I cammini x(t) ∈ C(x₀, t₀; x₀, t₀) contribuiscono ugualmente in modulo, ma la fase dei loro contributi è data dall’azione classica (in unità di h̄), cioè dall’integrale temporale della lagrangiana calcolato lungo il cammino.

hx₀, t₀|x₀, t₀i[x(·)] = exp{(i/h̄)S[x(·)]}

4

Il terzo postulato è motivato dal fatto che le ampiezze quantistiche soddisfano il Principio di Sovrapposizione.

Tale principio implica che l’ampiezza totale hx₀, t₀|x₀, t₀i per l’evento A debba essere la somma delle ampiezze hx₀, t₀|x₀, t₀i[x(·)] relative ad ogni singola alternativa disgiunta.

Quindi: