Svolgimento:
Poniamo[math]\sqrt{a^2+x^2}=x+t[/math]
;da qui elevando ambo i membri al quadrato si ricava (1) [math]x=(a^2-t^2)/(2t)[/math]
ed anche [math]\sqrt{a^2+x^2}=x+t=(a^2+t^2)/(2t)[/math]
Differenziando la (1) si ha:
[math]dx=-(a^2+t^2)/(2t^2)dt[/math]
Sostituendo il tutto nell'integrale, risulta
[math]int(1/\sqrt{a^2+x^2})=int((2t)/(a^2+t^2))(-(a^2+t^2)/(2t^2))[/math]
ovvero
[math]int(1/\sqrt{a^2+x^2})=-int(1/t)=ln(|1/t|)+C[/math]
ma [math]t=\sqrt{a^2+x^2}-x => 1/t=((\sqrt{a^2+x^2}+x))/a^2)[/math]
. Concludendo:
[math]int(1/\sqrt{a^2+x^2})=ln(|(\sqrt{a^2+x^2}+x|/(a^2))+C[/math]
.
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