Insiemi, Elemento Neutro ed Invertibile, Gruppi (Teoria + Esempi)

Introduzione

Spazio vettoriale è un insieme V qualsiasi che verifica delle proprietà.

V = vettori geometrici

V = matrici

V = polinomi

V = funzioni reali

Notazioni

N = numeri naturali = {0, 1, 2, 3, ...}

N₀ = {1, 2, 3, ...}

Z = numeri interi = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Q = numeri razionali = {^m/_n m,n∈Z, n≠0}

R = numeri reali

C = numeri complessi = {a + bi | a, b∈R}

Insiemi, richiamo sulla teoria

Siano A, B due insiemi, l'unione di A e B è l'insieme formato da tutti gli elementi appartenenti ad almeno uno degli insiemi A, B, ovvero

A ∪ B = {x | x∈A oppure x∈B}

L'intersezione di A e B è l'insieme formato da tutti gli elementi appartenenti sia ad A che a B, ovvero

A ∩ B = {x | x∈A e x∈B}

La differenza di A e B è l'insieme formato da tutti gli elementi appartenenti ad A e non appartenenti a B, ovvero

A \ B = {x | x∈A e x∉B}

A ∪ B

A ∩ B

A \ B

Introduzione

Spazio vettoriale è un insieme V qualsiasi che verifica delle proprietà.

V = vettori geometrici

V = matrici

V = polinomi

V = funzioni reali

Notazioni

ℕ = numeri naturali = {0, 1, 2, 3, ...}

ℕ₀ = {0, 1, 2, 3, ...}

ℤ = numeri interi = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

ℚ = numeri razionali = {^m∕_n | m, n ∈ ℤ, n ≠ 0}

ℝ = numeri reali

ℂ = numeri complessi = {a + ib | a, b ∈ ℝ}

Insiemi, ripasso sulla teoria

Siano A, B due insiemi, l'unione di A e B è l'insieme formato da tutti gli elementi appartenenti ad almeno uno degli insiemi A, B, ovvero

A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}

L'intersezione di A e B è l'insieme formato da tutti gli elementi appartenenti sia ad A che a B, ovvero

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

La differenza di A e B è l'insieme formato da tutti gli elementi appartenenti ad A e non appartenenti a B, ovvero

A \ B = {x | x ∈ A e x ∉ B}

Prodotto cartesiano

Siano A, B due insiemi.

Il prodotto cartesiano di A e B è l'insieme di tutte le coppie ordinate (x,y) in cui x ∈ A e y ∈ B, ovvero

A × B = { (x,y) : x ∈ A e y ∈ B }

Se (x,y) è una coppia ordinata, x è detta prima componente ed y è detta seconda componente.

(x,y) ≠ (y,x) se x ≠ y

Esempio

A = {1,2,3,4,3}   B = {x,y,z}

A × B = { (1,x), (1,y), (1,z), (2,x), (2,y), (3,x), (3,y),(4,x), (4,y) }

Siano, A, B,C tre insiemi.

A × B × C = { (x,y,z) | x ∈ A, y ∈ B, z ∈ C }

(x,y,z) = terna ordinata

Siano A₁, A₂, ..., A_m insiemi.

A₁ × A₂ × ... × A_m = { (x₁, x₂, ..., x_m) | x_i ∈ A_i, i = 1, ..., m }

(x₁, x₂, ..., x_m) = m-upla ordinata.

A_m = A × ... × A = { (x₁, x₂, ..., x_m) | x_i ∈ A, i = 1, ..., m }

m volte

Insieme delle parti

Sia A un insieme.

Si definisce insieme delle parti di A l'insieme formato da tutti i sottoinsiemi di A, ovvero

P(A) = { X | X ⊆ A }

⊂ = contenuto

Esempio

A = {1,2,3}

P(A) = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, A }

∅ è il più piccolo sottoinsieme di A

Insieme formato da tutti e "tre gli" elementi

∅ insieme vuoto. Quanti sottoinsiemi P(∅) contiene? Uno solo l'insieme vuoto stesso

P(∅) = { ∅ }

Cardinalità di A

Sia A un insieme finito. Si definisce cardinalità di A il numero degli elementi appartenenti ad A.

|A| = numero elementi di A.

Se |A| = m, allora |P(A)| = 2^m.

dim. per induzione = Andiamo per passi:

• Verifica la base di induzione, cioè che la rispettiva è vera per il valore più piccolo di m, in questo caso m = 0 Se |A| = 0 allora A è privo di elementi e quindi A = ∅ quindi |P(∅)| = |{∅}| = 1 = 2⁰
• Si assume vera l'ipotesi di induzione, cioè che la rispettiva sia vera per m = 1, cioè quando |A| = m.
• Si dimostra che la rispettiva è vera per m, cioè quando |A| = m. Allora sarà valido ∀m.

Supponiamo che |A| = m. Poniamo A = {x₁, x₂, ..., x_n−1, x_m} e poniamo A' = {x₁, x₂, ..., x_n−1}.

Ogni sottoinsieme di A, o è un sottoinsieme di A' oppure, se non lo è, sarà l'unione M un sottoinsieme di A con l'insieme {x_m}. Quindi:

|P(A)| = |P(A')| + |P(A)| = 2|P(A')|

L'insieme delle parti di A' ha cardinalità m − 1, quindi per ipotesi di induzione:

|P(A')| = 2^m−1, quindi:

|P(A)| = 2 · 2^m−1 = 2^m

Applicazioni tra insiemi

Siano A, B due insiemi.

Si definisce applicazione di A in B una corrispondenza che ad ogni elemento di A associa un unico elemento di B.

f: A → B dove A è il dominio, B è il codominio e ∀x∈A, f(x) = l'immagine di x tramite f.

Applicazione iniettiva

Un'applicazione f: A → B si dice iniettiva se ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio, ovvero:

Se x, y ∈ A, x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y)

Esempio

f: x ∈ ℕ → x² ∈ ℕ è iniettiva, infatti se x, y ∈ ℕ e x ≠ y ⇒ x² ≠ y²

Applicazione suriettiva

f: A → B è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio, ovvero:

Se ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A / f(x) = y

Esempio

f: x ∈ ℕ → x² ∈ ℕ non è suriettiva perché, ad esempio, non esiste nessun numero naturale che elevato al quadrato è uguale a 3.

Applicazione invertibile

f: A → B è invertibile se è sia suriettiva che iniettiva.

Si definisce inversa di f l'applicazione f⁻¹: B → A tale che ∀ y ∈ B, f⁻¹(y) = x ⇔ f(x) = y, cioè f⁻¹(y) è l'unico elemento x ∈ A tale che f(x) = y.

Composizioni di applicazioni

Siano f: A → B e g: B → C due applicazioni

∀ x ∈ A ⇒ f(x) ∈ B ⇒ g(f(x)) ∈ C

Si definisce composta di g ed f l'applicazione gof: A → C.

gof: x ∈ A ⇒ g(f(x)) ∈ C

Operazioni su un insieme

Iniziamo con le operazioni aritmetiche definite su insiemi numerici.

• Addizione: + : ℕ×ℕ→ℕ (x,y)∈ℕ×ℕ→x+y∈ℕ Per una coppia di ℕ associa la somma tra essi.
• Moltiplicazione: ⋅: ℕ×ℕ→ℕ (x,y)∈ℕ×ℕ→x⋅y∈ℕ

Proviamo a definire un operazione qualunque su un insieme qualunque.

Un’operazione binaria interna definita in A è un’applicazione:

∗: A×A→A

(x,y)∈A×A→x∗y∈A

Binaria → agisce tra coppie di elementi.

Interna → a una coppia di elementi di A si associa un elemento dello stesso insieme.

Esempio

A insieme e P(A) l'insieme delle parti di A.

Se x,y∈P(A)→x ∪ y∈P(A)

Dunque l'insieme tra sottoinsiemi di A può essere visto come un’applicazione:

∀ : P(A) × P(A) → P(A) ass. e commu.

Lo stesso vale per l'intersezione e la differenza tra sottoinsiemi.

∩ : P(A) × P(A) → P(A) essendo ∀ X,Y ∈ P(A) → X ∩ Y ∈ P(A)

∖ : P(A) × P(A) → P(A) essendo ∀ X,Y ∈ P(A) → X ∖ Y ∈ P(A)

Altre operazioni

• Associativa: X∗(Y∗Z) = (X∗Y)∗Z ∀ X, Y, Z ∈A
• Commutativa: XZ = ZX ∀ X, Y ∈ A
• Sottrazione: - : ℤ×ℤ→ℤ Non è associativa: X−(Y−Z)≠(X−Y)−Z se Z≠0 Non è commutativa: X−Y≠Y−X se X≠Y

Elemento neutro

Sia *: A × A → A un'operazione definita in A.

Un elemento e ∈ A si dice elemento neutro se

X * e = e * X = X   ∀ X ∈ A

Esempi

• (ℕ₀, +)   0   elemento neutro
• (ℤ, +)   0   elemento neutro
• (ℚ, +)   0   elemento neutro
• (ℝ, +)   0   elemento neutro
• (ℂ, +)   0   elemento neutro
• (P(A), ∪)   ∅   elemento neutro   ⇒   X = X ∪ ∅ = ∅ ∪ X,   ∀ X ∈ P(A)
• (P(A), ∩)   A   elemento neutro   ⇒   X = X ∩ A = A ∩ X,   ∀ X ∈ P(A)
• (ℕ₀, ⋅)   1   elemento neutro
• (ℤ\{0}, ⋅)   1   elemento neutro
• (ℚ\{0}, ⋅)   1   elemento neutro
• (ℝ\{0}, ⋅)   1   elemento neutro
• (ℂ\{0}, ⋅)   1   elemento neutro

Sia *: A × A → A un'operazione definita in A. Se * possiede elemento neutro, esso è unico.

dim. Siano e₁, e₂ ∈ A elementi neutri.

e₁ * e₂ = e₂   considerando e₂ come elemento neutro

e₁ * e₂ = e₁   considerando e₁ come elemento neutro

da cui   e₁ = e₂

Elemento invertibile

Sia *: A × A → A un'operazione definita su A, dotata di elemento neutro e ∈ A.

Un elemento X ∈ A si dice invertibile se ∃ x^-1 ∈ A tale che

X * x^-1 = x^-1 * X = e

dove x^-1 è inverso di X e si denota con X^-1   ⇒   X * X^-1 = X^-1 * X = e

Esempi

L'elemento neutro è invertibile, infatti

e ∗ e = e, quindi e⁻¹ = e

In ℤ₃ + (−1) è l'elemento neutro, dunque 1 è invertibile. Lo è anche −1

(−1) + (−1) = 1, quindi (−1)⁻¹ = 1 = 1

In ℤ gli unici elementi invertibili sono 1 e −1

Invece in ( 𝔳 ( A ), ∪ ) e λ è l’unico elemento invertibile. Sia x ∈ P ( A ) un elemento invertibile

= X ∪ X = X ∪ X = Ø da cui X = Ø

Invece in ( 𝔳 ( A ), ∩ ) A è l’unico elemento invertibile. Sia x ∈ P ( A ) un elemento invertibile.

= X ∩ X = X’ = A da cui X = A

Continuo elemento invertibile

( N₀, + ) 0 è l’unico elemento invertibile

( Z, + ) Ogni elemento è invertibile

( Q, + ) u u u u u u

( R, + ) u u u u u u

( C, + ) u u u u u u

Sia * : A × A → A un'operazione def. su A associativa e dotata di elemento neutro → ogni elemento invertibile di A possiede un unico inverso.

dim. Sia x ∈ A un elemento invertibile e siano X⁻¹, X^’ ∈ A due inversi di x, quindi si ha :

X ∗ x = X^‘ ∗ x = e  (1)

X ∗ X⁻¹ ∗ x = e  (2)

=> x ∗ e_{PER LA (1)} ∗ x = (X ∗ X_‘ ∗ x) ∗ X = x_{PER LA (2)} ∗ x = X ₋₁ ∗ e = X^‘

Cioè X^‘ = X⁻¹

Gruppo

Sia G un insieme, la struttura ^∗ = G×G → G si dice gruppo se:

• L’operazione ^∗ è associativa;
• In G l’elemento neutro;
• Ogni elemento di G è invertibile.

Se l’operazione è commutativa il gruppo si dice abeliano.

Esempi

(_N₀, +) non è un gruppo (0 è l’unico elemento invertibile).

(_Z, +) gruppo abeliano

(_Q, +) gruppo abeliano

(_R, +) gruppo abeliano

(_C, +) gruppo abeliano

(Ø, +) non è un gruppo

(_Q, ·) non è un gruppo (0 non è invertibile)

Se 0 fosse invertibile => ∃x ∈ _Q: 0 · x = 1 falso!

(_R \ {0}, ·) non è un gruppo (0 non è invertibile)

(_Q \ {0}, ·) gruppo abeliano

(_R \ {0}, ·) gruppo abeliano

(_C \ {0}, ·) gruppo abeliano

(P(A), ∪) non è un gruppo

(P(A), ∩) non è un gruppo