Imperfezioni nel carico critico

II lezione: imperfezioni

Quando progettiamo un’opera può accadere che nel momento in cui viene posta in opera risulti “imperfetta”, cioè ad esempio leggermente ruotata piuttosto che perfettamente verticale. Dunque nel momento in cui andiamo a calcolare le configurazioni di equilibrio dobbiamo tenere conto di questi difetti di realizzazione.

θ₀ = deformazione dovuta alla posa in opera

θ = deformazione dovuta al carico

Per calcolare gli spostamenti dobbiamo allora partire dalla configurazione imperfetta tenendo conto dell’angolo θ₀:

u = L(cosθ - cosθ₀)

v = L(senθ - senθ₀)

L’energia potenziale totale del sistema sarà:

Π = U + V = 1/2 kL²(senθ - senθ₀)² − PL(cosθ − cosθ₀)

Configurazioni di equilibrio

Troviamo innanzi tutto le configurazioni di equilibrio, vediamo cioè dove si annulla la derivata prima dell’energia potenziale totale:

∂Π/∂θ = kL²(senθ − senθ₀)cosθ − PLsenθ = 0

Se θ₀ = 0 l’esercizio si riduce al caso studiato la scorsa lezione, in cui non teniamo conto delle imperfezioni.

Il percorso di equilibrio fornisce:

P = −kL(senθ − senθ₀)/tgθ (1)

Affrontiamo il problema dello studio dell’equilibrio da un altro punto di vista calcolando cioè le derivate della soluzione condizionata:

∂P/∂θ = kL[−cosθ tgθ − (senθ − senθ₀)]/cos²θ

Vediamo quando si annulla questa derivata e cioè quando si annulla il numeratore (supponiamo θ ≠ π/2 in modo che non si annulli la tg):

∂P/∂θ = 0 ⇒ P = 0 ⇒ kL cosθ tgθ − kL(senθ − senθ₀) = 0

−[cosθ(senθ − senθ₀)]/cos²θ = kL 0

⇒ 2kL[cosθ senθ(senθ − senθ₀)] · 1/cos²θ

Questa si annulla se il numeratore è uguale a zero:

2kL[−senθ(cosθ − 1) + senθ₀] = 0

−sen³θ + senθ₀ = 0

sen³θ = senθ₀

Quando θ raggiunge il valore che soddisfa questa equazione vuol dire che P ha raggiunto un massimo.

Carico critico

Possiamo allora determinare il carico critico sostituendo alla (1) il valore sopra trovato:

P_crit = −3kL(senθ − senθ₀)/senθ = kL[1 − sen²θ]cosθ = kL cos³θ

Ma:

senθ = (senθ₀)^1/3

sen²θ = (senθ₀)^2/3

cos²θ = 1 − sen²θ = 1 − (senθ₀)^2/3

cosθ = [1 − (senθ₀)^2/3]^1/2

cos³θ = [1 − (senθ₀)^2/3]^3/2

⇒ P_crit = kL[1 − (senθ₀)^2/3]^3/2 ≤ kL

Notiamo che questo valore di carico critico è minore di quello trovato la scorsa lezione nel caso in cui non ci sono imperfezioni: possiamo da questo vedere che il comportamento post-critico instabile fa diminuire il carico critico delle strutture imperfette.

Graficamente accade che: −π/2 π/2

In rosso è disegnato il grafico della stessa struttura non soggetta a imperfezione, in verde quello delle struttura imperfetta. Il carico critico che si riferisce alla seconda è chiaramente minore di quello della prima.

Questa struttura ha comportamento post critico instabile.

Comportamento post critico stabile

Vediamo adesso che accade se la struttura in esame ha comportamento post critico stabile.

Supponiamo che la struttura sia la seguente:

u = L(cosθ − cosθ₀)

v = L(senθ − senθ₀)

L’energia potenziale totale sarà:

1 θ θ θ &t