Il teorema fondamentale del calcolo integrale

Il teorema fondamentale del calcolo integrale

a cura di Flavio Cimolin (ultimo aggiornamento: 24/03/2007)

Pubblicato su Matematicamente.it Magazine n.2, Aprile 2007

A

mmettiamolo pure: l'analisi matematica, ovvero quella parte di matematica che viene introdotta

in maniera spesso troppo frettolosa nell'ultimo anno delle scuole superiori, per poi venir ampliata a

dismisura nelle facoltà universitarie scientifiche, è in linea generale noiosa. Una serie pressoché

interminabile di postulati, lemmi, teoremini e teoremoni - con relative dimostrazioni - vengono

propinati uno in fila all'altro allo studente, che solo con abbondante dose di esercizio e di costanza

riuscirà alla fine (probabilmente quasi a sua insaputa) ad apprendere il tutto.

Chi ha studiato la materia starà sorridendo nel constatare che è avvenuto proprio questo, ma del

resto non potrebbe essere altrimenti, vista l'importanza degli strumenti di calcolo che l'analisi mette

a disposizione di tutti coloro che dovranno in qualche modo occuparsi di scienza o tecnologia. E'

quasi paragonabile all'insegnamento delle quattro operazioni ai bambini delle elementari, che non

può che essere portato avanti attraverso ripetuti esercizi tutti uguali: è troppo importante che essi

imparino a contare! Mentre sulle quattro operazioni siamo tutti (spero) ferratissimi, ben più difficile

è cogliere appieno i principi fondamentali dell'analisi matematica, che talvolta possono sfuggire

anche a coloro che la usano sovente come puro strumento di calcolo.

D

ato che fra l'ingente mole di conquiste tecniche è possibile individuarne alcune di notevole

eleganza matematica, cerchiamo di passare in rassegna alcuni concetti di base in modo da arrivare a

cogliere il risultato più importante, che non a caso viene chiamato "Teorema Fondamentale del

Calcolo Integrale". Quanto discuteremo non può certo avere la pretesa di insegnare nozioni di

analisi matematica, ma va pensato come una "passeggiata" finalizzata a riuscire a cogliere l'essenza

del risultato più importante. Spesso l'arte o la musica sono difficili da apprezzare se non si possiede

background

il giusto culturale, basti pensare ai quadri astratti e alla musica contemporanea. In

matematica questo effetto si amplifica infinitamente, dato che gli oggetti con cui si opera diventano

inevitabilmente sempre più complessi e soprattutto astratti. Nel nostro caso sarà quindi come essere

obbligati a dare un'occhiata ad alcune opere minori prima di poter apprezzare appieno la statua più

bella di una mostra! E' indubbio infatti che, se osservato nell'ottica giusta, il Teorema Fondamentale

del Calcolo Integrale non può che apparire come uno dei più bei contributi che la matematica abbia

mai regalato alle scienze applicate.

Proprio a causa della meccanicità con cui certi concetti vengono assimilati, talvolta si rischia di

perdere di vista quelli che sono gli aspetti matematicamente più rilevanti e - questa è la cosa più di

nostro interesse - eleganti da un punto di vista astratto. Nel caso dell'analisi matematica le pietre

miliari sono tre: le definizioni di limite, derivata e integrale. A partire da questi concetti si possono

poi sviluppare un'enormità di nozioni, tecniche di calcolo e applicazioni di varia natura, indirizzate

sia verso la matematica pura sia verso le applicazioni concrete alle scienze di tipo ingegneristico.

L limite,

a definizione di più basilare di tutte, è uno splendido capolavoro di artificiosità

matematica. Basti pensare che, da quando essa è stata intuita per la prima volta dai padri del calcolo

infinitesimale, è stato necessario oltre un secolo affinché potesse essere formalizzata

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Flavio Cimolin – Il teorema fondamentale del calcolo integrale

definitivamente da Augustin Louis Cauchy, un matematico francese particolarmente devoto al

rigore e al formalismo. Sarebbe fuori luogo discuterne più ampliamente, ma non bisogna mancare di

rendere onore ai matematici che, prima e dopo Cauchy, hanno studiato e perfezionato

l'importantissimo concetto di limite. Per noi sarà sufficien