Leonardo Latella: il pendolo di Kater
Richiami teorici sul pendolo semplice
Un pendolo semplice è costituito da un filo inestensibile di lunghezza e massa trascurabile a cui è appeso un punto materiale di massa m. Esso può oscillare attorno a un punto fisso O detto polo.
In ogni istante le forze agenti sulla massa sono il peso P = mg e la tensione del filo T. Se il filo forma un angolo ϑ con la verticale, la componente della forza peso lungo il filo controbilancia la tensione del filo stesso, mentre la componente della forza peso perpendicolare al filo funge da forza di richiamo e produce il moto oscillatorio del pendolo.
Il momento risultante di tale forza rispetto al polo O è M = −mg sin ϑ = × in modulo M = mg.
Dove il “-” sta ad indicare che si tratta di un momento di richiamo.
Dato che M = I i i = ω 2 m ii, eguagliando le due espressioni si ottiene:
m mg sin ϑ = −
da cui, considerando che ω 2 = g e approssimando sin ϑ = ϑ per piccole oscillazioni, si ottiene:
ϑ + ω 2 ϑ = 0 (*)
avente come soluzione generale ϑ = ϑ ’ cos (t t).
Il periodo delle oscillazioni è pari a T = 2 π / ω = 2 π √ 2 I / M. Dalla relazione inversa è possibile calcolare l’accelerazione di gravità g:
g = 4 π 2 / T 2
Richiami teorici sul pendolo composto
A differenza del pendolo semplice, il pendolo composto è costituito da un corpo rigido libero di ruotare attorno ad un asse fisso non passante per il centro di massa.
Considerando le forze agenti e trascurando ogni forma di attrito, si ottengono, come nel caso precedente, le equazioni:
M = I ϕ ii
dove ϕ rappresenta l’angolo compreso tra l’asse di rotazione e la retta congiungente il polo con il centro di massa del corpo, e:
M = −mgd sin ϕ
dove d indica la distanza tra il polo O e il centro di massa (G).
Eguagliando le due espressioni e considerando piccole oscillazioni (sin ϕ = ϕ) si ottiene:
I ϕ ii = −mgd ϕ
da cui:
ϕ ii + mgd / I ϕ = 0
per analogia con la (*) sarà ω = √ mgd / I.
Quindi il periodo delle oscillazioni è dato da T = 2 π / ω = 2 π √ I / mdg (*)
Il pendolo di Kater
Il geodeta inglese Henry Kater, vissuto tra il 1777 e il 1835, sfruttando il teorema degli assi paralleli di Huygens-Steiner, costruì un nuovo tipo di pendolo che è un particolare tipo di pendolo composto.
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