L'algebra: storia, significato e didattica nella matematica contemporanea

Il caleidoscopio dell’algebra

Margherita Barile

Sunto: La relazione analizza la natura dell’algebra e il suo significato nella ricerca matematica e nella didattica.

Abstract: The report analyses the nature of algebra and its significance in mathematical research and education.

Parole chiave: Didattica dell’algebra, algebra astratta.

1. Che cos’è l’algebra?

Molti sicuramente direbbero che l’algebra è un particolare campo di esercizi di calcolo, in cui si usano “lettere anziché numeri”. Queste persone hanno in mente l’algebra come una diretta emanazione dell’aritmetica, in cui gli oggetti sono ridenominati, ma sono soggetti alle stesse regole operative. In questo senso, l’algebra appare quindi, essenzialmente, come un linguaggio.

Questa visione è in parte veritiera: infatti la storia dell’algebra, fino al 1700, è strettamente intrecciata con l’evoluzione del linguaggio. Lo storico della matematica Nesselmann suddivide la storia della matematica in tre fasi:

Fig. 1

L’algebra retorica, che è la matematica espressa a parole, col linguaggio naturale; l’algebra sincopata, che è una commistione di parole e di convenzioni linguistiche (abbreviazioni, pittogrammi); l’algebra simbolica, che è l’attuale modalità di scrivere la matematica.

1 Dipartimento di Matematica – Università degli Studi di Bari – Via E. Orabona 4 – 70125 BARI

email: barile@dm.uniba.it

Convegno Nazionale “L’insegnamento della matematica nel quadro delle riforme” 12

Santa Cesarea (LE) 28 set. 2 ott. 2003

Il caleidoscopio dell’algebra Margherita BARILE

L’algebra, quindi, ha un linguaggio proprio che va capito; occorre imparare a leggere una formula come f(x) = sen(ax²). Bisogna saper distinguere i ruoli di “f(x)” (un nome dato ad un oggetto particolare, un simbolo “locale”) e di “sen” (un nome dal significato predefinito, un simbolo “globale”); è necessario interpretare correttamente i caratteri “a” (che è un parametro, ed indica un valore soggetto a certe condizioni prefissate), “x” (che è una variabile, ed assume dunque un insieme di valori) e “2” (che è un numero, usato come un segno di operazione).

Solo allora si potrà determinare la derivata della funzione f(x), e scrivere 2 f’(x) = 2axcos(ax²).

D’altra parte, vedere l’algebra solo come un linguaggio risulta una troppo facile semplificazione non solo a fronte della complessità di questo linguaggio, ma anche perché l’algebra riveste un altro importante ruolo: essa è anche un metodo. Lo dimostra la risoluzione “standard” dell’esercizio proposto.

Questa consiste in una manipolazione di simboli secondo determinate regole formali. La si può effettuare semplicemente riproducendo un meccanismo imparato a memoria. Ciononostante, non si tratta di un’attività priva di valenza formativa, tutt’altro. Prima di operare, è necessario riconoscere la struttura della formula proposta, e scegliere il procedimento coerente con quest’ultima.

La formula algebrica come oggetto strutturato, in cui i ruoli delle varie parti dipendono dalla posizione occupata e da altre convenzioni semiotiche, nasce con Cartesio (vedi il diverso uso delle lettere per coefficienti e variabili e l’incolonnamento dei polinomi secondo i termini corrispondenti).

E questo criterio è stato inserito anche tra le funzioni del software Mathematica (pattern matching). Su di esso si basano esercizi come quello in cui si chiede, data l’equazione cartesiana normale di una circonferenza, di determinarne il centro ed il raggio.

Il seguente esercizio dimostra, tra l’altro, quante insidie si possano celare dietro il confronto delle strutture. Una volta memorizzata l’equazione normale di una circonferenza del piano nella forma (x − x₀)² + (y − y₀)² = r², si chiede di determinare il centro ed il raggio della circonferenza di equazione (x + 1)² + (y − 2)² = (−2)².

Comunque, anche una volta acquisite le tecniche di interpretazione delle formule, il discorso dell’algebra non può concludersi così. Il suo significato non può ridursi alla sua funzione puramente strumentale, che, come nel caso del calcolo della derivata, permette di aggirare i concetti che stanno alla base del problema (la definizione di funzione, la natura della derivata, ecc.). Altrimenti l’algebra si ridurrebbe a pura sintassi, a vuoto semantico. Inoltre, si perderebbe il senso del ruolo dell’algebra nella matematica.

In geometria analitica, vedere la rappresentazione di una retta nel piano cartesiano accanto all’equazione lineare che la descrive, può trarre in inganno. La seconda non è la “forma” della “sostanza” relativa alla prima. Essa è, piuttosto, la sua descrizione mediante relazioni di proporzionalità tra grandezze, nel senso classico di Euclide.

Convegno Nazionale “L’insegnamento della matematica nel quadro delle riforme” 13

Santa Cesarea (LE) 28 set. 2 ott. 2003

Il caleidoscopio dell’algebra Margherita BARILE

Noi spesso siamo tentati di usare il termine “formalizzazione”, in parte perché “forma” è uno dei sinonimi di scrittura, e l’algebra è il primo modo che sia stato conosciuto dall’uomo per “scrivere” (anziché raffigurare) la geometria. In parte, l’uso del termine “forma” è anche un inconscio riferimento a Hilbert ed alla sua creazione di un sistema formale attraverso l’aritmetizzazione della geometria.

Ciò non toglie che gli enunciati espressi da “lettere anziché numeri” abbiano una peculiarità che li rende molto diversi dalle uguaglianze aritmetiche, o dalle proposizioni del linguaggio naturale. In essi, infatti, le singole lettere rappresentano tutta una classe di oggetti, che sono individuati mediante un elenco di elementi, un insieme di proprietà oppure tramite la loro collocazione in un sistema assiomatico.

Io leggo “a” e devo rendermi conto che questo non è necessariamente un numero, oppure non è necessariamente un numero qualsiasi (magari è un numero intero maggiore o uguale 123, oppure un numero reale trascendente, ecc.). Ad un simbolo così elementare corrisponde un concetto che non si coglie in un colpo solo con l’intuizione, ma è un oggetto strutturato, che si individua solo analizzandolo con attenzione.