Idrologia - Idrologia statistica

Capitolo 2

Idrologia statistica: considerazioni preliminari

L’obiettivo di investigare il futuro, per quanto riguarda la distribuzione dell’acqua in natura, non appare perseguibile se non a breve, brevissimo termine. Possiamo però svolgere queste considerazioni.

Chiediamoci che cosa avverrà nel prossimo intervallo Δt; ad esempio, chiediamoci quale sarà il valore medio, o massimo, o minimo della grandezza idrologica che ci interessa. Limitiamo la nostra attenzione, per il momento, a grandezze il cui andamento nel tempo non appaia intermittente (come avviene per le piogge). Se Δt è abbastanza piccolo probabilmente il valore che ci interessa non si allontana molto da quello attuale. Ma noi siamo, ovviamente, interessati a Δt più grandi. Per rispondere alla domanda che ci siamo posti andiamo ad esaminare che cosa è successo nel passato, considerando la sequenza di intervalli Δt che hanno preceduto il momento attuale.

Le portate medie giornaliere, ma anche le massime o le minime (sempre giornaliere), presentano, per il passato, un andamento non molto dissimile da quello delle portate istantanee. I loro valori futuri sono altrettanto imprevedibili di quelle; ma è possibile riconoscere ancora, a questa scala, alcune caratteristiche dell’idrogramma continuo, come una certa regolarità nelle fasi di risalita e di discesa. Usando una terminologia qualitativa (per il momento) potremmo dire che nel segnale ottenuto ‘sono ancora presenti una componente deterministica (prevedibile) ed una componente aleatoria (imprevedibile)’.

Se passiamo ad una scala temporale maggiore, come ad esempio quella mensile, le regolarità presenti alla scala inferiore tendono a scomparire. In particolare, tende a scomparire quella proprietà, chiamata persistenza, per cui valori maggiori della media (totale) tendono a essere seguiti da valori maggiori, e valori minori da valori minori. La persistenza è chiaramente presente alla scala giornaliera, ed alle scale inferiori. Ne rimane una traccia a livello mensile (si pensi al succedersi delle stagioni).

Quando si arriva alla scala annuale (sia per i valori medi, sia per quelli massimi o minimi), le regolarità presenti prima non ci sono più. Almeno, se facciamo riferimento a bacini di dimensioni medie (fino alle migliaia di km²). Al posto di questa regolarità è comparsa una evidente casualità totale, o pura casualità. Bene, nonostante questa condizione corrisponda alla minima capacità di prevedere i valori futuri (il valore della portata massima annuale per il prossimo anno, ad esempio), è possibile introdurre una nuova logica che rende conoscibile il futuro in termini probabilistici. Le tecniche che utilizzeremo sono applicabili solo là dove è scomparsa ogni persistenza; tecniche più complicate sarebbero necessarie quando la persistenza rimane.

• Sequenza continua di portate
• Sequenza di portate massime mensili
• Sequenza di portate massime annuali

Un prototipo per i processi casuali: un’urna

Immaginiamo di estrarre in successione da un’urna, contenente una distribuzione di tasselli numerati, un insieme di numeri; ad ogni estrazione segua la reintroduzione nell’urna del numero estratto. La successione delle portate massime annuali (per la sezione di un corso d’acqua), di cui abbiamo appena parlato, assomiglia alla sequenza di numeri estratti da un’urna.

La casualità della sequenza delle portate massime annuali propone quindi come valido obiettivo per la ricerca idrologica la ricostruzione del contenuto dell’urna (ovviamente, virtuale) da cui si può pensare che quei numeri siano stati estratti. Una volta ricostruito il contenuto di quell’urna (a priori sconosciuto) sarà possibile eseguire le due operazioni fondamentali dell’analisi statistica: prevedere il futuro in termini probabilistici, assegnando ai futuri valori una misura della loro probabilità (vedi seguito), e generare sequenze possibili di valori futuri, attraverso successive estrazioni da quell’urna.

L’obiettivo indicato richiede l’introduzione di elementi (rudimentali) di teoria delle probabilità.

Elementi di teoria della probabilità: introduzione

Iniziamo con la teoria degli eventi aleatori. Questi ultimi sono definiti come i possibili risultati di un esperimento, il cui risultato non sia noto a priori. Preso in esame un particolare esperimento (per il quale accettiamo una definizione intuitiva), potremo individuarne a priori i possibili risultati; il passo successivo sarà quello di assegnare a ciascuno di questi risultati (come detto in precedenza, a ciascun evento aleatorio) un numero, compreso tra zero ed uno, il cui valore ci permette, per confronto con il corrispondente valore per un altro evento, di dire quanto sia maggiore la confidenza che abbiamo nel verificarsi dell’uno rispetto al verificarsi dell’altro. Chiameremo questo numero probabilità di quell’evento aleatorio.

La teoria delle probabilità (TdP) si occupa di costruire un sistema coerente di regole che permettano di ricavare la probabilità, sconosciuta, di alcuni eventi aleatori, a partire da quella, nota, di altri eventi aleatori. Per fare questo occorre definire le operazioni che, a partire da una coppia di eventi aleatori, permettono di costruirne altri, ed individuare gli assiomi (cioè delle regole non dimostrate, ma accettabili) che permettano di attribuire ai nuovi eventi le corrispondenti probabilità.

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Iniziamo con indicare con lettere latine maiuscole gli eventi aleatori e con la scrittura P(.) la corrispondente probabilità; con P(A), ad esempio, indichiamo la probabilità dell’evento A. Assumiamo validi i seguenti assiomi, a riguardo della P(A).

• Che essa sia un numero compreso tra zero ed 1.
• Che i valori di estremità (zero ed uno) siano da attribuirsi rispettivamente alla probabilità dell’evento impossibile ed a quella dell’evento certo.

Come potremo assegnare la probabilità agli eventi aleatori? Nel caso sia visibile l’urna da cui possiamo supporre che i prossimi eventi vengano estratti (nel caso in cui l'esperimento consista nell'osservazione di un valore numerico), una semplice ispezione ci potrà dire quale è la probabilità dell’evento che ci interessa; si tratterà di rilevare il rapporto tra il numero di casi favorevoli all'evento sul totale dei casi possibili (se questi ultimi hanno tutti lo stesso grado di probabilità). Se invece ogni evento aleatorio emerge da una sequenza di tentativi, la sua probabilità potrà essere ricavata continuando indefinitamente i tentativi e stimando la probabilità come limite della frequenza relativa di quell’evento (rapporto tra numero di casi favorevoli all’evento e numero totale di tentativi). Esiste anche un modo soggettivo di assegnare la probabilità ad un evento, soprattutto quando non si verifica nessuno dei casi prima richiamati.

In tutti i casi, i numeri che esprimono quelle probabilità dovranno verificare le regole derivanti dagli assiomi prima richiamati, e da quello che verrà introdotto tra breve.

Vediamo alcuni esempi di derivazione della probabilità di eventi, nota quella di altri. In perfetto parallelismo con la teoria degli insiemi, definiamo, a partire dagli eventi aleatori A e B, i seguenti altri eventi aleatori:

• Unione tra A e B: C = A ∪ B; si legge ‘evento unione tra A e B’, ed è definito come l’evento che si verifica quando si verificano o A o B.
• Intersezione tra A e B: D = A ∩ B; si legge ‘evento intersezione tra A e B’, ed è definito come l’evento che si verifica quando si verificano A e B.

Due eventi si dicono disgiunti o mutuamente esclusivi quando non possono verificarsi congiuntamente (in termini temporali: contemporaneamente). Ne deriva che è nulla la probabilità della loro intersezione. Vale per questi eventi l’assioma più importante della teoria delle probabilità, che dice che, se due eventi sono disgiunti, la probabilità della loro unione è pari alla somma delle loro probabilità individuali (o marginali). Ossia:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Passiamo ora ad esaminare due eventi A e B, non disgiunti; questo significa che possono verificarsi congiuntamente (o contemporaneamente, vedi sopra). La probabilità della loro unione è facilmente derivabile utilizzando i diagrammi di Venn. Questi ultimi rappresentano gli eventi aleatori come figure comprese all’interno di un rettangolo di area unitaria, la cui probabilità è misurata dall’area della superficie delle figure stesse (questo comporta che ciascuna figura all’interno abbia un’area misurata, in qualunque unità di misura, dal rapporto tra l’area della figura e l’area del rettangolo. In altre parole, non è necessario affannarsi a dare un significato geometrico preciso all’area unitaria del rettangolo).

I tre assiomi permettono di ricavare l’espressione della probabilità dell’unione tra due eventi, quando non siano disgiunti. Nella figura è rappresentata, nel diagramma di Venn, la trasformazione dell’unione tra A e B nell’unione di tre eventi disgiunti, a cui applicare l’assioma prima visto.

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Fig. 2.1: diagramma di Venn

P(A ∪ B) = P(A ∪ (A ∩ B) ∪ B) = P(A) + P(A ∩ B) + P(B)

Essendo, d’altra parte, A = A − (A ∩ B) e B = B − (A ∩ B), e tenendo conto delle evidenti mutue esclusioni tra i diversi eventi, scriveremo:

P(A) = P(A − (A ∩ B)) + P(A ∩ B)

e

P(B) = P(B − (A ∩ B)) + P(A ∩ B)

da cui, con semplici passaggi:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Definiamo ora gli eventi condizionati, come quegli eventi, non ancora verificatisi, che sono preceduti (in senso lato) dal verificarsi di qualche altro evento. L’informazione a riguardo dell’evento condizionante (non necessariamente rappresentato da un altro evento aleatorio, visto che il suo verificarsi ne annulla la natura imprevedibile, facendolo diventare simile a qualunque altra informazione) può modificare la probabilità dell’evento condizionato, rispetto a quella incondizionata, o marginale, dello stesso evento.

Facendo riferimento alla definizione di probabilità come rapporto tra numero di casi favorevoli e numero di casi possibili (egualmente possibili) si può dimostrare che tra probabilità condizionate, probabilità congiunte e probabilità marginali valgono le seguenti relazioni:

P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B)

P(B/A) = P(A ∩ B) / P(A)

Non è difficile interpretare le relazioni precedenti alla luce dei diagrammi di Venn, dove, come abbiamo visto, il generico evento appare rappresentato da una superficie all’interno di un rettangolo di superficie unitaria, e la probabilità di quell’evento è misurata dall’area di quella superficie. Se adesso immaginiamo di dare area unitaria agli eventi condizionanti (B, nel primo caso, ed A nel secondo), l’unico evento favorevole al verificarsi congiunto di A e B, e cioè l’intersezione A ∩ B, dovrà essere rapportato all’area dell’evento condizionante.

Da qui la validità delle espressioni precedenti.

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Le tre relazioni ricavate,