Idraulica - Appunto 9

Equazioni di Eulero e teorema di Bernoulli

Fluido incomprimibile e fluido perfetto

Consideriamo un fluido incomprimibile per cui valgono ∇ • υ = 0

∇ • T + ρ f - ρ Dυ/Dt = 0

Per un fluido perfetto l'equazione costitutiva del moto diviene

T = -p I + τ_v

2 noti che:

∇ • div T = -∇ p

quindi possiamo riscrivere le equazioni di Eulero

∇ • υ = 0

-∇p + ρ f = ρ Dυ/Dt

Le equazioni di Eulero costituiscono un sistema di equazioni differenziali e tale sistema non è lineare; vi si assegnano delle condizioni iniziali:

campo di moto → υ (x,t₀)

campo di pressioni → p(x,t₀)

Inoltre vi si osservano delle condizioni al contorno, ossia su tutta la frontiera del dominio si danno delle condizioni al contorno delle variabili di stato.

Le condizioni al contorno sono di due tipi:

• Condizioni al contorno cinematiche: ci siamo quando a considerare il contatto fra liquidi e solidi.
• Condizioni al contorno dinamiche: ci siamo quando vi sono due fluidi in contatto e quindi si deve tenere conto anche.

Seconda formulazione delle equazioni di Eulero

Consideriamo un fluido incomprimibile per cui valgono

∇∙V = 0

∇∙V + 1/ρ(−∇p − ρ g − ρ DV/Dt) = 0

Per un fluido perfetto l’equazione costitutiva del moto diviene

τ = −p δ

2 noti che:

∇∙V + div τ = −∇p

quindi possiamo scrivere le equazioni di Eulero

∇∙V = 0

−∇p + ρ g = ρ DV/Dt

Le equazioni di Eulero costituiscono un sistema di equazioni differenziali ed il sistema non è lineare, in cui assegniamo delle condizioni iniziali:

campo di moto ➔ V(x,0)

campo di pressioni ➔ p(x,0)

Inoltre ci assegnano delle condizioni al contorno, ossia su tutta la frontiera del dominio ci danno delle condizioni al contorno delle variabili di stato.

• Condizioni al contorno cinematica: si hanno quando si considera il contatto fra liquidi e solidi.
• Condizioni al contorno dinamiche: si hanno quando si hanno due fluidi in contatto e quindi si deve tenere conto anche delle forze.

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delle grandezze, continuità delle grandezze

le condizioni al contorno si disegnano sulla frontiera

Se n è la normale uscente ⇒ v_r *n=0 dove

v_r= Velocità relativa al solido, meglio, alla parete del solido

v_r=0 è una condizione al contorno cinematico

Se un fluido è a contatto con un altro (al contorno diverse (dinamiche), ten esempi di condi(al contorno dinamiche, si ha nel caso di un fluido a contatto con l'atmosfera

Teorema di Bernoulli

Le equazioni di Eulero e utilizzano per trovare il teorema di Bernou(

Ipotesi:

Si considera un fluido perfetto: per cui: le due:

• Il fluido è omogeneo ed incomprimibile.
• Il campo delle forze di massa le conservativo.
• E la energia potenziale.
• Il moto del fluido è stazionario.
• Il moto è irrotazionale.

Si ricorda che D⅄ = youtube(d⅄ + ⨂ v²) = ⅄ ∧ g = ▢⋅U, 庭 U=gz ⋅ (μ)＝ -ugueug·v-⨍·i sono positivamente le program di damera: -r ООО + _p÷←d Dt quindi si ha che

\[\nabla h + \rho \left( \overrightarrow{U} \cdot \frac{\Delta \overrightarrow{U}}{\Delta t} + \nabla \left( \frac{U^2}{2} \right) + \overrightarrow{U} \times \overrightarrow{\omega} \right) = 0\]

Poiché per ipotesi il campo di forze è conservativo:

\[f \Downarrow \nabla U\]

Inoltre essendo il moto stazionario si ha che la velocità non dipende dal tempo e quindi:

\[\frac{\Delta \overrightarrow{U}}{\Delta t} = 0 \Rightarrow\]

\[\nabla \left( h + \rho \left( \overrightarrow{U} \cdot \frac{U^2}{2} \right) \right) = -\rho \overrightarrow{U} \times \overrightarrow{\omega}\]

Dividiamo entrambi i membri per \(\rho\) e si ottiene:

\[\nabla \left[ \frac{U}{g} + \frac{h}{g} + \frac{U^2}{2g} \right] \frac{1}{\rho} \overrightarrow{U} \times \overrightarrow{\omega}\]

ma per la quinta ipotesi, il moto è irrotazionale ed un moto è detto tale quando \(\omega = 0\):

\[\Rightarrow \overrightarrow{U} \times \overrightarrow{\omega} = ( \overrightarrow{\omega} \cdot \overrightarrow{U} ) = 0\]

per cui si ha che:

\[\nabla \left[ \frac{U}{g} + \frac{h}{g} + \frac{U^2}{2g} \right] = 0\]

nel seno di \(U = g z\) sostituendo si ottiene che:

\[\frac{z \rho}{\gamma} + \frac{U^2}{2g} = cost\]

Il precedente è chiamato teorema di Bernoulli.

Supponiamo ora che \(\omega \neq 0\) mentre le altre ipotesi continuano a volere consideriamo:

\[\nabla \left[ \frac{U}{g} + \frac{h}{g} + \frac{U^2}{2g} \right] \frac{1}{\gamma} \overrightarrow{U} \times \overrightarrow{\omega}\]

Sia \(\beta C\) piano delle traiettorie curve tangenti i vettori \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{\omega}\) orientati come in figure.

Il vettore \(\overrightarrow{U} \times \overrightarrow{\omega}\) deve essere ortogonale a \(\gamma\) quindi la direzione ortogonale al foglio ed esempio Se si proietto il vettore V su S si vede che la componente V e nulla essendo ortogonale allo Sesso. Ma lo S rappresenta una linea di corrente del fluido, quindi si può considerare che anche se il moto non è irrotazionale V = 0 lungo una linea

Oss.

Si noti che in una ruola di Pelton il teorema di Bernoulli viene applicano per calcolare la velocità di uscita del getto. 2:

se V - ve è la velocità di entrata, si prova che V - v Infatti

(V-v)²  v² 22g      2g

V₂ = V - v

Teorema di Bernoulli per correnti

Si consideri una certa massa m, la sua energia cinetica è data da:

E = 1 mv²2

Se vogliamo ottenere l'energia cinetica per unità di peso, conviene dividere E per mg, quindi:

E/mg = 1/2 mv²/mg = v₁²/2g

Energia cinetica per unità di peso

Analogamente, se riferiamo l'energia potenziale per unità di peso, posto che la massa m sia alla quota z, si ha che:

U = z (mg)

Energia potenziale per unità di peso

per unità di peso diventa:

U/mg = z(mg)/mg = z

Se consideriamo un continuo fluido, l'energia meccanica non si riduce solamente ad energia cinetica ed energia potenziale di massa, ma anche ad energia potenziale di pressione 1/ * (in realtà possibile solo in caso di moto permanente).

Vediamo perchè 1/ nel moto stazionario è un'energia potenziale di pressione.

Prima di tutto si tenga conto del fatto che tutte le energie sono per unità di peso.

Per il Teorema delle forze vive, sappiamo che dato un corpo, la cui variazione di energia cinetica per unità di tempo in _{2 1}ΔE/t è l'equale al lavoro compiuto dalle forze per unità di tempo, ottenendo anche se fatto che tutte le forze considerate sono non conservative. Dunque si ha che

d/dt ∫_V (ρv²/2) dV = ∫_S ρvj.vdsv S Variazione di energia cinetica

∫_Vρ f_jv_jdV = lavoro delle forze di massa

ρ f_j = forza

v_j = spostamento per unità di tempo (= velocità)

N.B.

Si ricorda che il lavoro compiuto da una forza è dato dal prodotto di quest’ultima per lo spostamento da questa provocato.

∫_Sz·v dS = lavoro delle forze di superficie

v = Re col verso significato giacchè sopra

t·z =: p_m

Quindi si ha che

D/Dt ∫_Vρ^g₂dV - ∫_Vρ∇(gz)·v dV + ∫_V∇·(ρ⋅t) dV

ma ∇·(v_jv_j) = −v·∇v = ρ·∇·v = Divergenza

dove

−ρ·∇·v = 0, poichè il fluido è incomprimibile = >⇒ ∇·(ρv_jv_j) = v·∇v_i = ∫_V∇·(ρ⋅t) ||r = ∫_V∇·v_i·v dV

sostituendo

D/Dt ∫_V½ ρv²dV = -∫_V∇[ρ (1+xg²)·v] dV

Se il moto è permanente, allora niente dipende da t, quindi il risultato non cambia se si somma una quantità nulla, quale può essere

d/dt [ρ (1+xg²)] = 0, ma questo se e solo se il moto è permanente

Dunque si ha che:

D/Dt ∫_V 1/2 ρu² dV = ∫_Dt D/Dt [ Π_n + xg_z ] dV

e per il teorema del trasporto

D/Dt ∫_V 1/2 ρu² dV = ∫_V D/Dt ρ [ r_n/_ρ + q_z² ] dV

= - D/Dt ∫_V [ Π_n + xg_z ] dV

1 / x D/Dt ∫_V 1/2 ρu² dV = - D / Dt ∫_V [ z + rn / x ] dV ⇒⇒ D/Dt ∫_V [ z + rn / x² / 2g_z ] dV = 0 -> Poiché devono essere soddisfatte le ipotesi del teorema di Bernoulli.

2 ⇒ Se in quanto x considerano forze di massa conservative: U = - gz of e e l'energia potenziale di massa ed esprima il lavoro delle forze di massa.

(Π/x) = lavoro delle forze di superficie per la loro componente legata alla pressione scalare.

Esempio

Consideriamo una corrente de verifica le cinque ipotesi del teorema di Bernoulli.

Poiché si è supposto che il moto va comunemente e che la quantità e costante. Questi immobili è soddisfatto il dinamico di Be...nulli per ogni punto della corrente. Si considerino le sezioni 1 e 2; si applichi il teorema di Bernoulli e si ha il:

z₁ + ^p₁⁄_γ + ^v₁2⁄_2g = z₂ + ^p₂⁄_γ + ^v₂2⁄_2g

dove z₁ + ^p₁⁄_γ = h₁ è il carico piezometrico nella sezione 1

z₂ + ^p₂⁄_γ = h₂ è il carico piezometrico nella sezione 2

dunque

h₁ + ^v₁2⁄_2g = h₂ + ^v₂2⁄_2g

e moltiplichiamo entrambi i membri per dQ, si ottiene

(h₁ + ^v₁2⁄_2g) dQ - (h₂ + ^v₂2⁄_2g) dQ = 0

integriamo entrambi i membri su Q:

∫_Q (h₁ + ^v₁2⁄_2g) dQ - ∫_Q (h₂ + ^v₂2⁄_2g) dQ =

∫_Q h₁ dQ + ∫_Q ^v₁2⁄_2g dQ - ∫_Q h₂ dQ - ∫_Q ^v₂2⁄_2g dQ

ma h₁ ed h₂ sono costanti nelle sezioni 1 e 2 rispettivamente, quindi si ha che:

h₁ Q + ∫_Q ^v₁2⁄_2g dQ = h₂ Q + ∫_Q ^v₂2⁄_2g dQ

per la definizione di portata si sa che dQ = σ dΩ

quindi, in generale

∫_Q u² dQ = ∫_Ω u² dΩ = ∫_Ω u³ dΩ

Si definisce u = U + w

dove w è lo scarto della velocità media ∅ quindi, ν U infatti se consideriamo una sezione qualunque della corrente sappiamo che la velocità varia in ogni punto della sezione (la velocità dipende dalla posizione ma non dal tempo; poi lei è - supposto che il moto sia stazionario), quindi lo scarto di velocità media è dato dalla differenza delle velocità effettive in un dato punto mens' la velocità media, U (per lo scarto di velocità media, vale infatti

∫_Ω u' dΩ = 0

Quindi

1/2g ∫_Q u²dQ = 1/2g ∫_Ω w³ dΩ = 1/2g ∫_Ω (U + w)³ dΩ == ∫_Ω [U³ + 3U²u + 3U(u')² + (u')³] dΩ = = - ∫_Ω U³ dΩ + ∫_Ω 3U² u' dΩ + ∫_Ω 3U(u')² dΩ + ∫_Ω (u')³ dΩ = = - U³ Ω + 0 # 3U ∫_Ω (u')² dΩ

Poi c'è ∫_Ω ω dΩ = 0