Idraulica - Appunto 9

Equazioni di Eulero e teorema di Bernoulli

Consideriamo un fluido incomprimibile, per cui valgono ∇·V = 0 ∇·_t + 1/ρ ^−Dρ/_Dt = 0.

Per un fluido perfetto l'equazione costitutiva del moto diviene ∇·v = −∇_p/ρ2 noti ·∇·V = div f = −∇_n.

Quindi possiamo scrivere le equazioni di Eulero ∇·v = 0 −∇·_p + ρ ^−Dρ/_Dt = 0.

Le equazioni di Eulero costituiscono un sistema di equazioni differenziali e tale sistema non è lineare, quindi assegniamo delle condizioni iniziali:

• Campo di moto ⟶ V(x,0)
• Campo di pressioni ⟶ P(x,0)

Inoltre vi sono delle condizioni al contorno, ossia su tutta la frontiera del dominio si danno delle condizioni al contorno delle variabili di moto.

Le condizioni al contorno sono di due tipi:

• Condizioni al contorno cinematiche: si hanno quando si considera il contatto fra liquidi e solidi.
• Condizioni al contorno dinamiche: si hanno quando si hanno due fluidi in contatto e quindi si deve tenere conto anche.

Consideriamo un fluido incomprimibile per cui valgono ∇ · v = 0 {∇ · v = 0 {−∇p + ρg = ρ Dv/Dt = 0.

Per un fluido perfetto l’equazione costitutiva del moto diviene T = -p I N2. notale: ∇ · v = div T = - ∇p.

Quindi possiamo scrivere le equazioni di Eulero ∇ · v = 0 {−∇p + ρg = ρ Dv/Dt = 0.

Le equazioni di Eulero costituiscono un sistema di equazioni differenziali e tale sistema non è lineare, vi si assegnano delle condizioni iniziali:

• Campo di moto → v(x,t₀)
• Campo di pressioni → p(x,t₀)

Inoltre vi si osservano delle condizioni di contorno, ossia su tutta la frontiera del dominio si danno delle condizioni al contorno delle variabili di stato.

Le condizioni al contorno sono di due tipi:

• Condizioni al contorno cinematiche: si hanno quando si considera il contatto fra liquidi e solidi.
• Condizioni al contorno dinamiche: si hanno quando si hanno due fluidi in contatto e quindi si deve tenere della pressione, continuità delle pressioni e le condizioni al contorno si dispongono sulla frontiera.

Se n è la normale uscente → v_r = v_sc · n = 0, dove v_r = velocità relativa al solido, meglio, alla parete del solido.

È una condizione al contorno cinematica.

Se un fluido è a contatto con un altro fluido si hanno condizioni al contorno diverse e dinamiche, es. condizioni dinamiche si ha nel caso di un fluido a contatto con l'atmosfera.

Teorema di Bernoulli

Le equazioni di Eulero si utilizzano per trovare il teorema di Bernoulli:

• Si considera un fluido perfetto, per cui: le sue: le sue de: p = p I_t e non hanno tensioni interne.
• Il fluido è omogeneo ed incomprimibile.
• Il campo della forza di massa è conservativo e l'energia potenziale.
• Il moto del fluido è stazionario.
• Il moto è irrazionale.

Si ricorda che dV/dt = ∂v/∂t - ∇(v²/2) = v ∧ w, dove w = ∇ ∧ v = rot v e si sostituiscono nelle 3 proiezioni dell'equazione di Eulero: -∇p/ρ + g - ρ (DV_s/Dt) = 0.

Quindi: è la cla\[ \nabla \vec{v} + \rho \left ( \frac{\Delta k}{\Delta t} + \nabla \left ( \frac{\vec{v}^2}{2} \right ) \vec{v} \wedge \vec{\omega} \right ) = 0 \]

Poi siccome per e polare il campo di forze è conservativo: \( \vec{f} = \nabla U \). Inoltre essendo il moto stazionario si ha che \(\left ( la \right ) \ la \) velocità non dipenda dal tempo, e quindi \(\ \frac{\partial v}{\partial t} \right ) = 0 \). nabla \left ( p + \rho \left ( \frac{(\vec{U}}{2} \right ) \right )= - \rho \left ( \vec{v} \wedge \omega \right ) \]

Dividiamo entrambi i membri per \(\delta\) e si ottiene: \[\nabla \left ( \frac{U}{g} \ \ \delta \right ) \left [ \frac{\vec{v}^2}{g \ \delta } \right ] + \frac{\vec{v}}{\delta} \wedge \vec{\omega} \]

Ma per la quinta (polare), il moto è irrotazionale ed un moto si dice tale quando \(\ \omega\) => \[\frac{\vec{v}}{\delta} \wedge \omega = \vec{n} \wedge \delta = 0 \]. Per cui si ha che: \[ \nabla \left ( \frac{U}{g} + \frac{\vec{v}^2}{2g} \right ) = 0 \] al che essendo U = g z sostituendo si ritiene che: \( \ \frac{z}{g} + \frac{v^2}{2g} = cost \ \).

Il precedente è chiamato trinomio di Bernoulli.

Supponiamo ora che il moto non sia irδροazionale, ossia \(\ \omega ≠ 0 \), mentre le altre equazioni rimaniamo a volere considerare il mo\[ \nabla \left ( \frac{U}{g} + \frac{\vec{v}^2}{2g} \right ) + \frac{\vec{v}}{\delta} \wedge \omega \quad \]

Sia S\₀ il cam0 della traettoria li>au. Comog i vettori *e \(\vec{n} \) sono disposti come in figu_re: S \(\vec{v}\) - e c (sil a S. Quindi S. la direzione ortogonale (al foglio ed al camele). Se S proiettata il vettore c ru S si vede che la componente </c, N) o nulla essere ortogonale ala S medesima. Ma se S. rappresenta una linea di corrente del fluì-do, quindi e giuste considerare che anche se il moti non e irrotazionale, c _ W T0, camog una linea di corrente, e dunque ^d/_ds [⁷/_2g + ^u2/_2g ^|=^o] = 0 e quindi lunga una linea di corrente ¹/₂ ^{v 2}/_g + ^u2/_2g +∞|=^{eos| 2g} lunga una linea di corrente.

Oss. si noti che in una pols di Pelton s teoreme di Bernoulli viene appliesto per qui loce le velocità di esc del getto. s:2. se V - is la velocità di entry, ai provise che S = V - ate v- CS ^{(V - a)}/_2g | = ^{(V- a)2}/_2g | ^{c 6 V,= V v}]^-2 = ^{2 poiché siano nel} piano orizzontale₁ ==pi èdia la pressione atmoferica pcmpossone scrivere (V-v)²/_2g = v²/_2g => v₂ = V-v.

Teorema di Bernoulli per correnti

Si considierione uerts massa m c la non erenie casorice odote da; E= ¹/₂m v².

Se vogliamo ottenere l'energia cinetica per unità di peso occorre dividere E per mg, quindi E / mg = 1/2 mv² / mg = v² / 2g.

Analogo, se riferiamo l'energia potenziale per unità di peso, posto che la massa m sia alla quota z, si ha che U = z (mg).

Per unità di peso diveniamo U / mg = z mg / mg = z.

Se consideriamo un continuum fluido, l'energia meccanica non si riduce soltanto ad energia cinetica ed energia potenziale di massa, ma anche ad energia potenziale di pressione 1/ρ, (in realtà possibile solo in casi di moto permanente).

Vediamo perche 1/ρ nel moto stazionario è un'energia potenziale di pressione.

Prima di tutto si tenga conto del fatto che tutte le energie sono per unità di peso.

Per il teorema delle forze vive sappiamo che, dato un corpo, la cui variazione di energia cinetica per unità di tempo ΔE/Δt è uguale al lavoro compiuto dalle forze per unità di tempo, ottenendendo il fatto che tutte le forze considere sono non conservative.

Dunque si ha che D/Dt ∫_V ρ v²/2 dV = ∫_V ρ .∂/∂t + ∮_S ζ . v dS, D/Dt ∫_V ρ v²/2 dV = Variazione di energia cinetica.

∫_V ρf_j v dV = lavoro delle forze di massa. ρf forza v = spostamento per unità di tempo ( = velocità ).

Si ricorda che il lavoro compiuto da una forza è dato dal prodotto di quest'ultima per lo spostamento da essa provocato.

∫_S f ∙ v dS = lavoro delle forze di superficie. v = Re Co stesso significato giacché sopra f_i = p_m.

Quindi si ha che D/Dt ∫_V ρ e^ie dV - ∫_V ρ ∇ (gz) v dV + ∫_V ∇ ∙ ( p + τ) v dV.

Ma ∇ ∙ (ε + v) = -v ∙ Vρ = ρ : ∇ ∙ v = Divergenza dove -ρ ∙ V ∙ v = 0, poiché il fluido è incomprimibile => ⇒ ∇ ∙ ( ε v) = -v ∙ ∇μ = ∫_V ∇ ∙ ( p + τ) ∣d∣r = ∫_V ∇p ∙ v dV.

Sostituendo D/Dt ∫_V 1/2 ρ v² dV = -∫_V ∇ [ p.1 + gz]. v dV.

Se il moto è permanente, allora niente dipende da t, quindi il risultato non cambia se si somma una quantità nulla, quale può essere d/dt [p.1 + gz] = 0, ma questo se e solo se il moto è permanente.

Dunque si ha che: DDt∫V_212pu²dV = ∫Dt[n + x2]dVe per il teorema del trasporto DDt ∫V12pu²dV -DDt ∫Vp[n rp+ q_z²] dV =−DDt∫V[n + x2] dV1xDt∫V12pu²dV −DDt∫V[x + rx] dV =>=>DDt∫V[ x + 12u^-22g] dV = 0.

P.T. => Le ip. devono essere soddisfatte le ip. del teorema di Bernouli. 2: Le in quanto x considerano forze di massa conservative: U = -gz, de è l'energia potenziale di massa ed esprime il lavoro delle forze di massa.

(1/x) = lavoro delle forze di superficie per la loro componente oposta alla pressione scalare.

Esempio

Consideriamo una corrente che verifici le cinque ipotesi del teorema di Bernoulli.

Poiché si è supposto che il moto va completamente acceso quella quantita te è costante. De consi immobili è soddisfatto il teorema di Be... 4nulli per ogni punto della corrente.

Si considerino le sezioni 1 e 2; si applichi il teorema di Bernoulli e si ha il: z₁+^P₁/_g+v₁²/_2g=z₂+^P₂/_g+v₂²/_2g.

Dove z₁+^P₁/_g=h₁ è il carico piezometrico nella sezione 1.

z₂+^P₂/_g=h₂ è il carico piezometrico nella sezione 2.

Dunque h₁+v₁²/_2g=h₂+v₂²/_2g.

E moltiplichiamo entranbi i membri per dQ, si ottiene (h₁+v₁²/_2g)dQ-(h₂+v₂²/_2g)dQ.

Integriamo entrambi i membri su Q: ∫_Ω(h₁+v₁²/_2g)dQ-∫_Ω(h₂+v₂²/_2g)dQ=>⇒∫_Qh₁dQ+∫_Qv₁²/_2gdQ=∫_Qh₂dQ+∫_Qv₂²/_2gdQ.

Ma h₁ ed h₂ sono costanti nelle sezioni 1 e 2 risp:ettivamente quindi si ha che: h₁Q+∫_Qv₂²/_2gdQ=h₂Q+∫_Qv₂²/_2gdQ.

Per la definizione di portata si ha che dQ=σdΩ.

Quindi, in generale ∫_Q v² dQ = ∫_Ω v² n dΩ = ∫_Ω ν³ dΩ.

Si definisce v = 0 + ν dove v è lo scarto della velocità media, ossia v = v (l).

Infatti, se consideriamo una sezione qualunque della corrente, sappiamo che la velocità varia in ogni punto della sezione (le velocità dipende dalla posizione ma non dal tempo poiché liv = I, supposto che il moto sia stazionario), quindi lo scarto di velocità media è dato dalla differenza della velocità effettiva in un dato punto meno la velocità media (v).

Per lo scarto di velocità media, vale infatti ∫_Ω v dΩ = 0.

Quindi &frac{1}{2g} ∫_Q v² dQ = &frac{1}{2g} ∫_Ω ν³ dΩ = &frac{1}{2g} ∫_Ω (0+ν)³ dΩ = ∫_Ω [ν³ + 3Uν² + 3U (ν)² + (U)³] dΩ == - ∫_Ω U³ dΩ + ∫_Ω 3U² ν dΩ + ∫_Ω 3U (ν)² dΩ + ∫_Ω (ν)³ dΩ == - U³ Ω + 0 - 3U ∫_Ω (ν)² dΩ.

Poiché ∫_Ω Uν dΩ = 0.