Idraulica - Appunto 8

Equazione di continuità e del moto

Equazione di continuità: ∂(p_Ω)/∂t + ∂(p_Q)/∂s = 0

Equazione del moto: ∂/∂s (p + 1/Ω + 1/g ∂v/∂t)²

Caso 1: Mencl - RuCata, Pag. 352

Supponiamo di avere un getto di un liquido che colpisce una parete piana ortogonale all'asse del getto. Supponiamo inoltre che il moto del fluido sia stazionario e permanente. Sia n l'area della sezione del getto in z e sia V la velocità del getto. Supponiamo che l'intero tra le sezioni 2 e non sia molto grande di modo che si possano trascurare alcuni effetti anomali e di modo che il getto z possa considerare di forma cilindrica.

Vogliamo determinare la forza F, ossia la forza esercitata del getto sulla parete. Si applica il principio fondamentale della meccanica.

Sezioni 1 e 2

Sia x l'asse lungo il quale avviene il moto. Poiché il fluido si muove di moto permanente la portata è costante lungo l'asse della corrente, per applicare il principio fondamentale.

Equazione di continuità: ∂/∂t + ∂Q/∂s = 0

Equazione del moto: ∂/∂s + 1/ρ ∂q²/∂s + mB/ρ_Ω; 1/ρ ∂V/∂t

Caso 3: Merlin-Rucata, Pag. 352

Supponiamo di avere un getto di un liquido che colpisce una parete fissa ortogonale all'asse del getto, supponiamo inoltre che il moto del fluido sia stazionario e permanente. Sia A l'area della sezione del getto in z e sia V la velocità del getto. Supponiamo che il tratto fra le sezioni 2 e non sia molto grande di modo che si possano trascurare alcuni effetti anomali e di modo che il getto z possa considerare di forma cilindrica.

Vogliamo determinare le forze T, ossia la forza esercitata del getto sulla parete. Si applica il principio fondamentale della meccanica.

Sezioni 1 e 2

Sia x l'asse lungo il quale avviene il moto. Poiché il fluido si muove di moto permanente la portata è costante. Lungo l'asse della corrente per applicare il principio fondamentale della meccanica si torna a considerare:

Lungo l'asse x si ha che: Per quanto riguarda le fasi di massa si ha solo la forza perché, come è noto, è verticale, quindi la pressione lungo i bordi è nulla perché coincide con quella atmosferica. Perché il getto si mantiene allora la distribuzione delle pressioni è uniforme. Per considerare il getto perfettamente cilindrico si esclude la forza di gravità, di modo da evitare fenomeni di caduta e sovrapposizione di strati. Quindi non si considera la forza di gravità, il carico piezometrico è costante, quindi le pressioni sono costanti e quindi nella sezione si ha la pressione atmosferica.

Sezione 2

Si considera solo la risultante delle pressioni sulla parete. Dunque si ha che: dove =0 nella componente tangente alle pareti (supp. 2) =1, perché si suppone che la velocità del fluido coincide con la velocità media. Questa ipotesi è possibile in quanto non si considerano vari fenomeni di resistenza finali, vari strati del fluido e punti, la velocità di quest'ultimi non può considerarsi la stessa in ogni punto della sezione in esame.

In conclusione si ha che V_r = velocità del getto. Consideriamo un getto con le caratteristiche del caso 1 (il movimento di moto traslazionisti attraversamento di ostacoli interni ecc.) e con velocità V. Tale getto colpisce una pala che non è fissa, ma mobile trasla con velocità v. Si noti che V > v.

Sistema di riferimento

Si fissa un sistema di riferimento x₂ dedicato alla fissi di tale pala. Riguetto a questo sistema di riferimento la velocità del fluido è data da V - v. Portata ridotta: Q_r = Ω(V - v)

Si applica ancora:

G + Π = M_u - M_e → Trascurato_x + Π_x = M_u - M_ex come al solito G = 0, essendo il peso l'unica forza di massa le posizioni sono nulle sulla superficie del fluido, quindi coincidono con la pressione atmosferica. L'unica superficie dove la pressione è diversa da zero è quella della pala. M_ex avendo la direzione dell'asse x è nulla. Quindi si ha che:

-=(-)² dove quindi -= = Velocità relativa alla pala. Definiamo la potenza come energia trasmessa per unità di tempo. Ȧ = energia ceduta per unità di tempo alla pala → Ȧ = +=(-)²

Se = (cioè la pala è fissa) → Ȧ = 0

Se = (cioè fluido e pala si muovono alla stessa velocità) → → Ȧ = 0 → Il getto non cede alcuna forza alla pala.

Calcolo della velocità della pala

Calcoliamo la velocità della pala se è massimo il trasferimento di potenza. Se la potenza è massima è la ded Ȧ = 0 => → [(-)²+ 2(-)] = 0 => → (-)(- - 2) = 0 → -3 = 0 => → = 3 per questo valore di si ha massimo trasferimento di potenza. Il calcolo della potenza è molto utile per le proprietà ma in bolline e sperimentalmente ci sono due tipi di turbine:

• A reazione
• Ad azione

Consideriamo un recipiente che contiene un liquido e che sta a monte di una turbina, collegato alla pala tramite un lungo condotto. Energia cinetica per unità di peso: 1/2 q. Energia cinetica per unità di volume: 1/2 p Q². Ugello che fa uscire il getto ad alta velocità. L'energia potenziale si trasforma in energia cinetica.

Ago Doble

Mentre D può essere dell'ordine di alcuni metri, d è dell'ordine di centimetri.

Turbina Pelton

Ruota palettata

Forza esercitata su ogni pala: f = Ω(V - v)(ν - v) dove Ω(V - v) = Q τ = ΩV - Ωv di cui Ωv serve ad allungare il getto viso a trascinare la pala. Se le pale non hanno forma piatta si ottiene una trasmissione di potenza molto maggiore.

Pala della turbina Pelton

Direzione del getto

Sezione orizzontale

Fisso il solito sistema di riferimento x solidale alle pale che si muove a velocità v; la velocità del fluido rispetto a questo è V - v. Quando il getto incontra le pale di Pelton, questo viene ribaltato di un angolo pari quasi a 180° (non esattamente 180° perché alimenta inclinabile sul). Sia α l'angolo che forma il getto uscente (la sua inclinazione) rispetto a quello entrante, ossia rispetto alla direzione tale che v₂ la velocità nella sezione 2. Sia fa che:

G_x + π_x - M_u - M_ex = 0 → G_x + π_x = M_ux - M_ex

G_x = 0 perché la forza peso è verticale

F = ρ [ Ω (v_f - v_i) v_ux ] - ρ [ Ω (v_f - v_i) v_ex ] dove v_2x è la componente sull'asse x della velocità v₂ Oss. Si trascurano le dispersioni di energia lungo la gola: quindi l'energia entrante è uguale all'energia uscente per cui se si calcola l'energia cinetica tenendo conto del fatto che la velocità d'ingresso del getto è V - v_r e invariabile nella sezione 2 rimane invariata.

L'energia cinetica entrante è la stessa dell'energia cinetica uscente, quindi la velocità è la stessa → || v₂ || = || v_r - v_i || → 1 (essendo v_2x = || v_i - v_i || cosa α) si fa che:

N.B. Ogni gola deve scaricare il fluido senza interferire con la gola seguente.