Idraulica - Appunto 6

Pressioni idrostatiche e corpi galleggianti

Consideriamo un recipiente avente la forma disegnata, contenente un liquido in quiete. Si vuole calcolare la componente verticale delle pressioni idrostatiche sulla faccia inferiore.

Se la pressione al pelo libero effettivo è Po, per calcolare la componente è richiesto di supporre di avere un pelo libero immaginario, corrispondente al punto in cui le pressioni sono nulle. L'importante è che non vari la distribuzione delle pressioni idrostatiche.

Pelo libero immaginario dove Po = pelo libero effettivo

Si considera il cilindro sovrastante la superficie S:

G + Π = 0 => => G_z + Π_x = 0 => => δV + Π = 0 => I_z = - R_z = δV => R_z = - xV -

Se avessimo calcolato R_z facendo riferimento al pelo effettivo, avremmo avuto - δV_o + Π - ρ_oΩ = 0.

In altre parole, ci sarebbe stato in più il seguente termine - ρ_o Is_o che è la pressione sulla superficie.

Consideriamo un recipiente avente la forma disegnata contenente un liquido in quiete si vuole calcolare la componente verticale delle pressioni idrostatiche sulla faccia inferiore.

Se la pressione al pelo libero effettivo è Po, per calcolare la componente richiesta si suppone di avere un pelo libero immaginario corrispondente al punto in cui le pressioni sono nulle. L'importante è che non vari la distribuzione delle pressioni idrostatiche.

Pelo libero immaginario dove Po = _{pelo libero effettivo}

Si considera il cilindro sovrastante la superficie S:

G + _S = 0 => =>G2 + _+T1 = 0 => =>T = -R2 = v = R = -xV

Se avessimo calcolato R₂ facendo riferimento al pelo effettivo, avremmo avuto: -- _+T - Po = 0.

In altre parole, ci sarebbe stato in più il seguente termine -Po = _{che è la pressione sulla superficie}

Supponiamo di avere il precedente recipiente di palo alto di un cilindro; il peso che devo mettere nell'altro piatto della bilancia deve essere uguale al peso del misture pi.

Effettivamente ma perchni laterali(!) —》 Demente.

Calcoliamo quanto vale la risultante di tali prossilaterali.

Superfici chiuse

Supponiamo di avere una superficie ideale chiusa e di ficmare qualcosa immersa in un liquido. Vogliamo trovare la risultante della pressione agenti su questa.

Spinta di Archimede

Sulla superficie chiusa S agisce una spinta verticale e uscente che in modulo vale o meglio: Al volume racchiuso da S la netta azione del campo anche Archimede posta per esempio del corpo.

Ogni corpo immerso in un liquido riceve una spinta verticale uscente pari al peso del corpo immerso.

Corpi galleggianti

Corpo galleggiante = Corpo che trova una condizione di equilibrio in una posizione in cui è parzialmente emerso e parzialmente sommerso.

Consideriamo la parte immersa del corpo considerata la risultante delle forze di pressione agente su questa posizione di superficie. Si calcola con i metodi visti per le superfici immerse.

M.B.

Quella della parte emersa è nulla (= pressione atmosferica).

V_C = Volume di carena = Volume della parte immersa

G_C = Centro di carena = Baricentro del volume V_C

|P| = per la spinta di Archimede

Per fare si che il corpo galleggiante sia in equilibrio i punti G e C devono stare sulla stessa verticale: il baricentro del corpo galleggiante e quello del volume di carena devono stare sulla stessa verticale.

Oss.

Ricordiamo le seguenti definizioni:

• Equilibrio stabile - Se con una piccola perturbazione il corpo tende a rimanere nella posizione di equilibrio iniziale.
• Equilibrio instabile - Se con una piccola perturbazione il corpo si allontana indefinitamente dalla posizione di equilibrio iniziale.
• Equilibrio indifferente - Rimane nelle condizioni perturbate.

Analizziamo il comportamento di un corpo galleggiante soggetto a degli spostamenti infinitesimi:

• Traslazione orizzontale

Figura disegnata

Se si effettua una piccola traslazione orizzontale si arriva ad una nuova condizione di equilibrio:

a. Equilibrio stabile (indifferente)

• Traslazione verticale in basso

Figura disegnata

Il volume di carena V_c aumenta, la spinta di Archimede aumenta. Se la traslazione verso il basso è piccola d_z, e d_w possono considerarsi invariati. Il corpo galleggiante oscilla di d_z col basso verso l'alto smorzando quindi sia nella.una posizione leggermente di equilibrio, condizione di equilibrio stabile.

b) Traslazione verticale in alto

Se (−) che il volume di carena (V_C) diminuisce.

La spinta di Archimede diminuisce.

Anch'io in questo caso il corpo oscilla, però dall'alto verso, e tendea ritornare nella sua posizione iniziale, quindi anche in questo caso → c'è l'equilibrio stabile.

III) Piccole oscillazioni

a) Intorno ad un asse verticale

Se si ha una piccola oscillazione del corpo galleggiante intorno ad un asse verticale, si vede che l'equilibrio non varia, quindi c'è l'equilibrio indifferente.

b) Intorno ad un asse orizzontale

Vediamo quale asse orizzontale ci conviene scegliere, può essere se esterno che interno al corpo galleggiante. Supponiamo di avere il corpo disegnato in figura.

• Metac di emersione
• Metac di immersione

L'asse di rotazione orizzontale deve passare per il centro di massa (G₁), del corpo galleggiante C₁) il centro di carena dopo la piccola oscillazione.

H è il punto d'incontro fra l'asse del corpo galleggiante e la della soluzione dello sforzo di Archimede, possiede per C i dopo la piccola rotazione.

Oss.

Poiché si considera un corpo rigido, la posizione relativa del centro resta sempre la stessa.

La coppia che fa ruotare il corpo galleggiante è data dalla ritta di Archimede (passante per C) ed il peso (passante per G); tale coppia può essere di due tipi:

Stab^&SZlig;e, se il loro sforzo=, che si trova alla destra di G, instab^&SZlig;e in caso in cui C è alla sinistra di G, ° per

Si possono avere tutti e tre i tipi di equilibrio possibile.

Il punto M è chiamato metacentro ed è l'intersezione della retta verticale per C, con la nuova verruica per C.

Se M forma al di sotto di G, quindi C alla sinistra di G, aremmo una coppia instab^&SZlig;e; in questo caso M è alla sopra di G, c è alla sinistra di G, quindi z è fra una coppia stable?

Col contrario. Si noti che se M è = G si ha equilibrio.

Suggeriamo di conoscere le posizioni di G e di C, quindi conosciamo anche il segmento sc a volte, che:

• Se MC > GC ⇒ si ha equilibrio stabile
• Se MC < GC ⇒ si ha equilibrio instabile
• Se MC = GC ⇒ si ha equilibrio indifferente

d &d=rMattere infinityamente<> MC dx d&; > MC ≡ CC₁d₁= =

Poicilc è piccolo L'ongolo può essere approximato col sem-sems: d₁ = sin d¹ = tg d₁

Volume del menisco

Vogliamo dimostrare che il volume del menisco di emersione è uguale al volume del menisco di immersio.

Supponiamo di avere un corpo omogeneo di volume V. Di tale corpo consideriamo due parti g₁ eg₂. Il baricentro di tale corpo è G₁, se per es à posta la massa g₂ veso g₂ il baricentro di tutto il corpo à posta in G₂ si vede che:

G₁G₂ = g₁ g₂ V, dove v è il volumetto

Siano g_f = Baricentro del menisco di emersione

g_a = Baricentro del menisco di immersione

cc = _{ga gf v}/^y_c A = Baricentro delle superfici che costituise il priemodi galleggiamento

Le indica la distanza dei punti del piano di galleggiamento dall'asse di rotazione.

m_e: Distanza dei punti emersi dell'asse di rotazione

m_i: Distanza dei punti immersi dell'asse di rotazione

dV = Volume infinitesimo compreso fra il piano di gallegg.manualdo stato iniziale ed il piano di galleggiamento n_u

dV = dS z_c dξ dove dS z_c c. superficie di base del cilindretto

N.B.

η = m_e

η = m_i

Per come ξ è fissato il verso,

La superficie totale del piano di galleggiamento può essere scritta come S = S_e + S_i, ossia come laie emerse e di quelle immerse.

Volume del menisco di immersione:

v_e = ∫ (m_e dd_l) dS = ∫ m_e dS

Volume del menisco di immersione:

v_i = ∫ (m_i dd_l) dS = dd_l ∫ m_i dS

Dunque si ha che

• v_e = dd ∫_Se m_e dS
• v_i = dd ∫_Si m_i dS

⇒ v_z v_x = d_z ∫_S η dS , ma ∫_S η dS = Momento statico

⇒∫_S η dS = η_G S

η_G = Distanza dall'asse di rotazione del baricentro del piano di galleggiamento, che all'inizio ho chiamato A i punti.

η_G = 0 ⇒ ⇒ η_G S = 0 ⇒ ⊥ nulla, il momento statico ⇒ ⇒ v_z - v_x = 0 ⇒ v²_z = v²_x che è quanto volevamo dimostrare

Calcoliamo la distanza fra g₁-g₂

g₁g₂ = Distanza fra il baricentro del menisco di immersione e quello del menisco di immersione.

η_g1 = ? ⇒ η_g1 = v_z g₁ = 0 = ∫ dS η_zi² d_z per il teorema di Huggens

η_g2 = ? ⇒ η_g2 = v_z g₂ = 0 = ∫ dS η_zi² d_z sempre per il teorema di Huygens

Ricordiamo che v_z = v_x = v allora

v (g_1z + g_2z) = ∫ d_z η² dS ⇒         _{g1 g2}