Grado di un'equazione

Veriano Veracini – Calcolo delle radici

Calcolo delle radici Veriano Veracini

Veriano.Veracini@inwind.it

Premessa

Lo scopo di queste pagine è quello di descrivere alcuni metodi pratici per il calcolo delle radici, compresi alcuni metodi insoliti. Particolare attenzione è posta a quei metodi che richiedono soltanto l’utilizzo delle quattro operazioni (somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione). Per i più curiosi, nell’appendice in fondo a queste pagine, ho riportato alcune notizie e curiosità di varia natura.

Definizioni, storia e proprietà

Definizioni

Si dice radice n-esima di un numero “a” il numero “b” che elevato ad “n” riproduce il numero “a”. Il numero “n” si chiama indice della radice; il numero “a” si chiama radicando della radice ed il numero “b” si chiama soluzione della radice n-esima del numero “a”.



Ovviamente deve sempre risultare “n” 0. 1

  

L’espressione è equivalente all’espressione ed è equivalente all’espressione.

n

n n

a b a b a b

Si dice radice quadrata se “n” è uguale a 2 e si scriverà (per convenzione il 2 si omette e non si scriverà ), si dice radice cubica se “n” è uguale a 3 e si scriverà , si dice radice quarta se “n” è uguale a 4 e si scriverà , ecc.

a

3

2 a a

4 a

Un pizzico di storia

Le radici quadrate (radici aventi indice uguale a due) erano note, ai matematici greci, sino dall’antichità e venivano calcolate attraverso il metodo geometrico.

Il matematico Francois Viète propose alcuni metodi di calcolo per l’estrazione delle radici dal grado secondo sino al grado sesto.

Il calcolo delle radici di ogni indice si semplificò moltissimo grazie allo studio dei logaritmi e alla loro introduzione da parte dei matematici Henry Briggs, Joost Burgi, Leonard Euler, Edmund Gunter, John Napier, ed altri.

Grazie soprattutto al lavoro di Abraham de Moivre fu introdotto il metodo di calcolo per l’estrazione delle radici dei numeri complessi noto come “Formula di Moivre”.

Proprietà delle radici

Le radici hanno 4 proprietà fondamentali, vediamole in dettaglio.

1) Il prodotto di più radicali, aventi lo stesso indice, è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi.

Esempio

Moltiplicando il radicale per il radicale otteniamo. Interessante è anche la sua applicazione inversa con il preciso scopo di portare un fattore del radicando fuori dalla radice stessa.

m

m m

a b ab

2) Il quoziente di due radicali, aventi lo stesso indice, è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi.

Esempio 20

n a

a

Dividendo il radicale per il radicale abbiamo che è equivalente a. Anche in questo caso può essere utile la sua applicazione inversa.

n n

a b n

n b

b

3) L’elevazione a potenza di un radicale è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il radicando elevato alla potenza.

Esempio  

m

L’espressione è equivalente all’espressione. Anche in questo caso può essere utile la sua applicazione inversa.

m

n

n a

a

4) La radice di un radicale è un radicale che ha per indice il prodotto degli indici e per radicando il medesimo radicando.

Esempio 

L’espressione è equivalente all’espressione.

n n m

m a

a

Utilizzo pratico delle 4 proprietà elencate

Premetto che moltiplicando o dividendo l’indice della radice e l’esponente del radicando per uno stesso numero, il radicale non si altera. Cioè.

 

 

p m p

n n p n p

m m

a ( a ) a

Vediamo ora come utilizzare queste 4 proprietà per comparare due radicali che possiedono indici diversi.

I radicali e così come sono scritti non sono facilmente comparabili, ma se entrambi vengono espressi con il medesimo indice la sua comparazione sarà più semplice. Per potere effettuare tale calcolo dobbiamo procedere nel modo seguente.

p

n q

m a b

Calcoliamo il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici dei radicali, poi dividiamo tale m.c.m. per ogni singolo indice e moltiplichiamo il risultato ottenuto per l’esponente del radicando, attribuendo come indice delle radici il m.c.m. calcolato.

Per rimanere al nostro esempio avremo che il m.c.m. sarà “m” moltiplicato “p” (“mp”), poi (per il primo radicale) lo dovremo dividere per “m” ottenendo “p” che lo moltiplicheremo per “n”.

 

m p

Per cui avremo che è equivalente a.

n n p

m a a

Per il secondo radicale ci dobbiamo comportare nel medesimo modo di prima e cioè divideremo il m.c.m. (“mp”) per “p” e poi lo moltiplicheremo per “q”.

 

p m

p

Per cui avremo che è equivalente a.

q q m

b b  

 

m p m p

Ora è molto più semplice confrontare il radicale con il radicale.

n p q m

a b

  

 p

Se allora.

n q

n p q m m a b

a b

Esempio

Sarà maggiore la o la?

3 3

2

Si può rispondere facilmente a questa domanda facendo queste semplici trasformazioni.

  6

3 3

3

2 ( 2 ) 2

 

2 2

6

3 3

3 ( 3 ) 3

Abbiamo trasformato due radicali con indici diversi (che sono incomparabili) in due radicali equivalenti con il medesimo indice (che sono facilmente comparabili).

Visto che ( = 9) è maggiore di ( = 8) allora abbiamo che >

2 2 3 3 3 3 2

3 3 2 2 21

Esempio

Vediamo un esempio di moltiplicazione di due radicali con indice diverso.

  

    

n m n m

m n m n m n

m n

a b a b a b 

 

 



Nell’ipotesi che sia abbiamo n m (n m)

m n m n

a a a

b a

Radice n-esima di un numero complesso (Formula di Moivrè)

Grazie a questa formula è possibile calcolare le radici n-esime di un numero espresso in forma complessa. Sempre grazie a questa formula possiamo stabilire che ogni numero, diverso da zero, ammette sempre “n” e solo “n” radici n-esime distinte nel campo dei numeri complessi.

 

2kπ 2kπ

 

    

ρ(cos ρ

jsen ) [cos( ) jsen( )]

n n n n n n



In questa formula (anomalia) è espressa in radianti.

 

360k 360k

 

    

ρ(cos ρ

jsen ) [cos( ) jsen( )]

n n n n n n



In questa formula (anomalia) è espressa in gradi sessagesimali.

Nelle formule il numero “ ” può assumere tutti i valori interi possibili. Si può dimostrare che la radice può avere soltanto “ ” valori diversi in corrispondenza dei seguenti valori di “ ”.

k

k

n

“ ” = 0, 1, 2, 3, …, ( - 1)

k n

Com’è possibile vedere, queste formule permettono di calcolare gli “n” valori complessi della radice n-esima di un numero complesso espresso in forma di coordinate polari dove è il suo modulo e è la sua anomalia. Se il radicando è espresso in forma di coordinate cartesiane, dove x è l’ascissa e y è l’ordinata, bisogna prima effettuare la conversione tra coordinate cartesiane e coordinate polari.



ρ

Indipendentemente dal valore del radicando e dal valore dell’indice della radice, si può dimostrare che, al massimo due di queste “n” soluzioni possono essere numeri reali, al massimo due di queste “n” soluzioni possono essere numeri immaginari, tutte le altre soluzioni devono essere soluzioni complesse.

Metodi non analizzati

In queste pagine non analizzerò la possibilità di effettuare il calcolo delle radici, attraverso il “Regolo Calcolatore”, le “Tavole Aritmetico-logaritmiche” e i tasti della calcolatrice X, Y e che lo effettuano in modo automatico.

3 n

Metodi di calcolo per le sole radici quadrate

Questo capitolo è dedicato ai metodi utilizzabili per il calcolo delle sole radici quadrate dei numeri reali non negativi.

Metodo geometrico

Questo metodo di calcolo delle radici quadrate è antichissimo, sicuramente il più antico di tutti i metodi. Piuttosto che descrivere il metodo, anche se è molto semplice, preferisco commentare ogni singolo passaggio della sua costruzione.

Ammettiamo di dover calcolare la radice quadrata del numero 8. Si traccia una retta di lunghezza proporzionale al numero 8 (retta di colore rosso). 22

Ad una delle due estremità si prolunga la retta precedente di una quantità proporzionale al numero 1 (retta di colore blu).

Per cui ora abbiamo una retta complessiva proporzionale al numero 9 (retta di colore rosso-blu). Ora dobbiamo trovare il centro di questa nuova retta.

Tracciamo ora una circonferenza con centro nel punto appena trovato e raggio uguale alla distanza che esiste dal centro ad uno dei due estremi.

Ora tracciamo una retta perpendicolare alla retta esistente nel punto dove le retta di colore rosso e quella di colore blu si incontrano, sino ad incontrare la circonferenza appena tracciata. Questo nuovo segmento, di colore rosa, è proporzionale alla radice quadrata del segmento di colore rosso.

Dobbiamo dire anche un’altra cosa interessante e cioè che se si unisce il punto dove la retta di colore rosa incontra la circonferenza con il punto dove la retta blu incontra la circonferenza, si ottiene un segmento che è proporzionale alla radice quadrata del diametro della circonferenza (retta di colore rosso-blu). Le dimostrazioni le potrete provare in appendice.

Metodo manuale

Esiste un metodo abbastanza semplice, anche se necessita di un certo tempo, per calcolare la radice quadrata, approssimata per difetto all’unità, di un numero attraverso delle semplici operazioni. Piuttosto che descrivere il metodo (che non è molto semplice da descrivere), preferisco fare un esempio pratico commentando ogni singolo passaggio.

Esempio

Ammettiamo di voler calcolare la radice quadrata del numero 200.000.000. Si deve scomporre il numero da calcolare in gruppi di due cifre a partire da destra. Per cui il numero 200.000.000 si trasforma in:

2 00 00 00 00

Visto che abbiamo ottenuto 5 gruppi di cifre, il valore della radice quadrata approssimato all’unità sarà composto da 5 cifre, e cioè:



200.000.00

0 x x x x x

Mentalmente si calcola la radice quadrata, per difetto a meno dell’unità, del gruppo di cifre che sono più a sinistra (è da tener presente che questo gruppo di cifre può essere composto anche da una sola cifra, come è nel nostro esempio). Visto che abbiamo:

2 2

1 = 1 < 2 2 = 4 > 2

Per cui, la radice quadrata, per difetto a meno dell’unità, del gruppo di cifre più a sinistra (2) è 1. Questo numero è anche la prima cifra della radice che stiamo cercando, cioè:



200.000.00

0 1 x x x x

Calcolare il quadrato di questo valore (1) e sottrarlo al gruppo di cifre più a sinistra. Allineiamo, al risultato ottenuto, il gruppo di due cifre immediatamente più a destra.

2 00 00 00 00 1

2

1 = 1

1 00

Si stacca l’ultima cifra più a destra del nostro numero.

2 00 00 00 00 1

2

1 = 1

1 00

10 0

Si raddoppia la prima approssimazione della radice appena trovata

2 00 00 00 00 1

1 x 2 =

2

1 = 1 2

1 00

10 0

e si verifica quante volte è contenuta nel secondo gruppo di cifre (10).

2 00 00 00 00 1

2

1 = 1 1 x 2 = 2

1 00

10 0 10 : 2 = 5

Ora effettuiamo la verifica per capire se questa seconda cifra (5) è corretta oppure se è troppo grande.

Questa cifra (5) si scrive a destra del doppio della radice (2) e si moltiplica questo nuovo numero (25) per il quoziente stesso (5). Cioè:

2 00 00 00 00 1

2

1 = 1 1 x 2 = 2

1 00

10 0 10 : 2 = 5

25 * 5 = 125 >

100

Siccome questo nuovo numero (125) è maggiore di 100, il numero 5 non può essere la seconda cifra cercata. Per cui si rifà il calcolo riducendo di una unità la cifra del quoziente fino a trovare un numero che, come prodotto, dia un valore inferiore o uguale a quello cercato (100). Cioè:

2 00 00 00 00 1

2

1 = 1 1 x 2 = 2

1 00

10 0 10 : 2 = 5

25 * 5 = 125 >

100

24 * 4 = 96 < 100

Essendo 96 inferiore a 100 abbiamo appena ottenuto la seconda cifra della radice quadrata.



200.000.00

0 1 4 x x x

Si esegue la sottrazione tra 100 e 96.

2 00 00 00 00 14

2

1 = 1 1 x 2 = 2

1 00

10 0 10 : 2 = 5

25 * 5 = 125 >

100 100

96 24 * 4 = 96 < 100

4

Ora si allinea al nuovo numero ottenuto (4) le altre due cifre immediatamente a destra (00) e si stacca l’ultima cifra.

2 00 00 00 00 14

1 x 2 =

2

1 = 1 2

1 00

10 0 10: 2 =

5

25 * 5 = 125 >

100 100

96 24 * 4 = 96 < 100

4 00

40 0

Si raddoppia la radice appena trovata (14 x 2 = 28) e si verifica quante volte è contenuta nel terzo gruppo di cifre (40) poi si procede come prima.

2 00 00 00 00 14

2

1 = 1 1 x 2 = 2

1 00

10 0 10 : 2 = 5

25 * 5 = 125 >

100 100

96 24 * 4 = 96 < 100

4 00 14 x 2 = 28

40 0 40 : 28 = 1

281 x 1 = 281 <

400

Siccome 281 è minore di 400, allora 1 è terza cifra della radice quadrata cercata.



200.000.00

0 1 4 1 x x

Si sottrae da 400 il numero 281 e si abbassano le prossime cifre (00) staccando l’ultima cifra come abbiamo fatto precedentemente.

2 00 00 00 00 141

2

1 = 1 1 x 2 = 2

1 00

10 0 10 : 2 = 5

25 * 5 = 125 >

100 100

96 24 * 4 = 96 < 100

4 00 14 x 2 = 28

40 0 40 : 28 = 1

400 281 x 1 = 281 <

281 400

119 00

1190 0

Proseguendo come prima si ottiene:

2 00 00 00 00 14142

2

1 = 1 1 x 2 = 2

1 00 26

10 0 10 : 2 = 5

25 * 5 = 125 >

100 100

96 24 * 4 = 96 < 100

4 00 14 x 2 = 28

40 0 40 : 28 = 1

400 281 x 1 = 281 <

281 400

119 00 141 x 2 = 282

1190 0 1190 : 282 = 4

11900

11296 2824 x 4 = 11296 < 11900

604 00 1414 x 2 = 2828

6040 0 6040 : 2828 = 2

60400

56564 28282 x 2 = 56564 < 60400

3836



Per cui a meno di una unità.

200.000.00

0 1 4. 1 4 2

Da questo calcolo possiamo dedurre anche che 14.142 x 14.142 + 3.836 = 200.000.000

Ovviamente risulta anche che:

1 x 1 + 1 = 2

14 x 14 + 4 = 200

141 x 141 + 119 = 20.000

1414 x 1414 + 604 = 2.000.000

Voglio far notare una particolare proprietà dell’estrazione della radice quadrata. I vari resti parziali non possono essere maggiori del doppio della radice corrispondente. Lascio al lettore la facile dimostrazione di questa proprietà.

Con una “certa” attenzione possiamo proseguire nel nostro calcolo per ottenere, se necessario, anche alcune cifre decimali. Da questo calcolo, comunque, possiamo anche dedurre il valore della radice quadrata del numero 2, cioè



2 1, 4 1 4 2

Esempio

Ammettiamo di voler calcolare la radice quadrata del numero 8.754.300.512. Procedendo come abbiamo appena visto, il calcolo da effettuare sarà:

87 54 30 05 12 93564

9 x 2 =

2

9 =81 18

6 54

65 4 65 : 18 = 3

654 183 * 3 = 549 <

549 654

105 30 93 x 2 = 186

1053 0 1053 : 186 = 5

10530

9325 1865 x 5 = 9325 < 10530

1205 05 935 x 2 = 1870

12050 5 12050 : 1870 = 6

120505

112236 18706 x 6 = 112236 < 120505

8269 12 9356 x 2 = 18712

82691 2 82691 : 18712 = 4

826912

748496 187124 x 4 = 748496 < 826912

78416

Per cui = 93564 a meno di una unità.

8754300512

Metodo con uso di frazioni continue illimitate periodiche

Tralasciando la teoria che, almeno in parte, potrete trovare in appendice, vediamo come sia possibile trasformare un numero irrazionale quadratico in una frazione continua illimitata periodica. Per essere il più chiari possibile faccio immediatamente due esempi pratici.

Esempio

Proviamo a calcolare la frazione continua del numero irrazionale quadratico.

2

1

 

Sappiamo che 1 < < 2, per cui possiamo scrivere con maggiore di 1.

x

2 2 1 x

Calcoliamo il valore della.

x 

1 1 1 1 2 1

       



2 1 2 1 x 2 1

x  



x x 2 1 2 1

2 1 1

 

Per cui è un valore compreso tra 2 e 3, per cui possiamo scrivere con maggiore di 1.

x x 2 y

y

Calcoliamo il valore della.

y

1 1 1

1

    

    

x 2 2 1 y

2 1 2 y 2 1



y y

y 2 1

Cioè è uguale a.

x y 1 1

1

     

Riassumendo abbiamo che. Siccome sostituendo otteniamo ma siccome è uguale a, possiamo continuare a sostituire. Per cui otteniamo

2 1 x 2 2 1 1

x y 

2 y

x

y 1 1

   