Gli assiomi

Università degli Studi di Lecce

Corso di Perfezionamento

in

“Fondamenti e Metodi delle Scienze”

a.a. 1993/94

Relazione finale

Gli assiomi

Relatori: Prof. C. Dalla Pozza

Prof. R. Ferro Laura Todisco

Fino ai primi decenni del secolo scorso, l’idea di “organizzazione assiomatica” di una disciplina matematica, così come la si può ritrovare nelle opere di Aristotele, di Euclide, di Pascal o di Newton, era radicalmente diversa da quella attuale. L’ideale dell’organizzazione assiomatica di una teoria consisteva nel rinvenire un certo numero, possibilmente ristretto, di concetti ai quali ogni altro concetto potesse venir ricondotto tramite “definizioni”, e un certo numero, possibilmente piccolo, di proposizioni “vere” alle quali ogni altra proposizione vera della teoria potesse venir ricondotta mediante “dimostrazioni”.

L’intelligibilità dei concetti ultimi, così come la verità delle proposizioni ultime (assiomi), doveva essere immediata. Cioè gli assiomi erano quelle proposizioni “evidenti” che, in quanto tali, non necessitavano di dimostrazione e che erano fornite dalla dimensione “extralogica” dell’intuizione.

Tuttavia, in geometria euclidea, esiste un assioma di cui non è affatto ovvia la “verità”; si tratta del famoso “postulato delle parallele”. Per secoli i matematici si chiesero se esso fosse da considerarsi un assioma o se, invece, non potesse essere dimostrato a partire dagli altri assiomi; in tal caso non sarebbe stato indipendente dagli altri e si sarebbe potuto eliminare.

Tra i molti tentativi di dimostrazione, ebbe maggior risonanza quello di Gerolamo Saccheri (1667-1773), che credette di essere riuscito nel suo intento mediante un ingegnoso ragionamento per assurdo; egli partiva cioè dall’ipotesi che il postulato fosse falso e cercava di dedurne una contraddizione con gli altri assiomi. Ma i tentativi di Saccheri fallirono: la contraddizione che cercava, in effetti, non c’era.

Intorno al 1830, Giovanni Bolyai cominciò a sviluppare a fondo una teoria partendo dalla negazione del V postulato e, studi successivi dovuti a Klein (1849-1925) e a Poincaré (1854-1912), confermarono definitivamente la assoluta coerenza logica delle nuove geometrie così costruite, dette appunto geometrie “non-euclidee”, e da ciò conclusero che il V postulato era indipendente dagli altri.

Osserviamo che Euclide non aveva né la formazione critica né le cognizioni di logica matematica necessarie per riuscire a provare la “indimostrabilità” del suo postulato; per cui, dopo aver probabilmente tentato e ritentato di dimostrarlo, non gli rimanevano che due possibilità alternative: quella di rifugiarsi nella riduzione ad una delle altre proprietà geometriche apparentemente tanto evidenti o l’altra di darsi per vinto trasformando in postulato quell’inafferrabile teorema.