Gestione dei rischi finanziari

Rischio di mercato

Il rischio di mercato è il rischio di variazioni del valore di mercato di uno strumento o di un portafoglio di strumenti finanziari connesse a variazioni inattese dei fattori di mercato (prezzi azionari, tassi di interesse, tassi di cambio e volatilità di tali variabili). Il rischio di mercato è diventato sempre più importante perché c’è stato un tema di cartolarizzazione, di diffusione delle metodologie contabili basate sul principio di Mark-to-market, episodi di crisi e infine perché la vigilanza si è sempre più interessata del rischio di mercato.

L’importanza deriva anche dal fatto che è più facile da studiare dal punto di vista del relatore in quanto si ha a che fare con molti dati disponibili e di disponibilità dei modelli. Il metodo di trattazione del rischio di mercato nasce verso la fine degli anni '80, ovvero periodo in cui si erano molto affermati i derivati finanziari e le grandi banche erano avvolte da una forma di insoddisfazione circa le forme di investimento tradizionali.

Misure di sensibilità

Per misurare le rischiosità delle varie forme di investimento venivano utilizzate le seguenti misure di sensibilità: duration per le obbligazioni, beta per i titoli azionari, basis point value, delta e gamma. Tuttavia, ciò che le banche richiedevano ai loro manager era un’unica misura di sensibilità che racchiudesse le misure dette in precedenza.

Concetto di Value at Risk (VAR)

Per questo si introdusse, per migliorare la comunicazione orizzontale (responsabili del portafoglio), verticale (top management) e dunque una misura consente di aggregare e quindi additiva e per la correlazione, si introdusse il concetto di value at risk o VAR o capital at risk CAR.

Il vantaggio ricercato nelle misure di VAR era:

• È basato sul concetto di valore di mercato e non nominali: dobbiamo immaginare che quelle posizioni sono negoziabili e quindi di liquidarla immediatamente.
• Rifletta il diverso grado di sensibilità delle posizioni alle variazioni dei fattori di mercato.
• Rifletta il diverso grado di volatilità dei fattori di mercato.
• Consenta di aggregare i rischi di posizioni diverse.

Essenzialmente i concetti rilevanti sono:

• La massima perdita potenziale che una posizione può subire,
• Con un certo livello di confidenza,
• In un determinato orizzonte temporale Pr( L > VAR) = 1 – c riassumibili nella seguente funzione matematica.

Dunque, ciò che a noi interessa è qual è la perdita che noi potremmo avere domani con una probabilità molto bassa, non vogliamo sapere la perdita esatta ma la perdita massima con una probabilità bassa. Possiamo spiegare questo attraverso uno schema e ipotizzare qual è la distribuzione che il fenomeno segue. Si inizia da una distribuzione normale in quanto dipende dai parametri medie e deviazione standard. Dal momento in cui sappiamo la media e la deviazione standard, possiamo sapere anche l’integrale ovvero la somma che sta sotto la distribuzione normale, che va da meno infinito a più infinito, che è pari a 1.

Sappiamo che ci sono degli intervalli tipici: tra l’intervallo meno sigma e più sigma ci sta il 66% dei casi; nell’intervallo -2 sigma e +2 sigma abbiamo il 95% dei casi; nell’intervallo -3 sigma e +3 sigma abbiamo il 99% dei casi. Una volta che sappiamo questo, possiamo adattare queste cose al risk management. Come? Attraverso questo grafico. Vogliamo sapere qual è quel livello, x che è il nostro VAR, che lascia da una parte il 95% dei casi e il 5% dei casi. Noi chiameremo VAR al 95%, possiamo fare il VAR al 99% che lascia l’1%.

Approccio varianza-covarianza parametrico

L’approccio che stiamo vedendo è definito come approccio varianza-covarianza parametrico. È detto parametrico perché c’è una funzione che descrive il nostro fenomeno in modo preciso che è la nostra funzione normale identificata dai parametri media e varianza. Il valore a rischio sarà dato dal valore di mercato VM (tutti i titoli valorizzati sulla base dei prezzi correnti Mark-to-market), da un fattore di sensibilità del valore di mercato della posizione a variazioni del fattore di mercato, la volatilità stimata del fattore di mercato moltiplicato per alfa (alfa mi individua il numero di volte che la volatilità deve essere moltiplicata per ottenere il 90, 95, 99% dei casi). Il valore alfa sarà uguale 1.65 per il 95% e 2.3 per il 99%. Sono quelli che ricorrono più frequentemente. Alfa è un parametro che decide il risk manager.

1.050.000, ovvero il valore di mercato è dato da 1 milione per 105 / 100. Questo è il Mark-to-market. Essendo un’obbligazione, avrà come delta la sua duration. Moltiplichiamo per la sua volatilità e poi moltiplicato per l’alfa pari a 2.326 che corrisponde all’intervallo di confidenza del 99%. Questo è il modo di applicare la formula del VAR.

Stima della volatilità

Dei parametri presenti nella formula, il più complicato da trattare è la volatilità perché ciò che a noi serve è la volatilità futura basandoci su quella passata. Dobbiamo dunque stimare la volatilità e per fare questo abbiamo 3 modi di stimarla: volatilità storica, volatilità implicita e i modelli GARCH.

Volatilità storica

Vediamo la volatilità storica nel calcolo della volatilità storica, più grande è il campione e maggiore è il contenuto ma c’è un problema ovvero che per avere un campione grande dobbiamo andare indietro nel tempo ma così facendo rischio di guardare dati vecchi quindi non aggiornati. A questo c’è tuttavia una soluzione, possiamo usare la media mobile semplice ovvero tutti i dati hanno lo stesso effetto ma la media mobile ha un problema definito come “echo effect”.

L’echo effect è possibile spiegarlo in questo modo: quando si verifica uno shock di mercato, la volatilità subisce un rialzo e successivamente scende quando lo shock esce dal campione storico di stima, ossia dopo che lo shock è terminato. Questo problema è definito come volatility clustering e vediamo come trattarlo. Per trattare questo problema viene usato lo strumento delle medie mobili esponenziali EWMA. Si tratta di prendere ogni numero e moltiplicarlo per lambda, che è compreso tra 0 e 1 in particolare molto vicino ad 1. Quando lambda è uno, abbiamo la media mobile semplice, se lambda fosse uguale a 0.5 i numeri perderebbero molto rapidamente di peso.

L’effetto che otteniamo con questo tipo di livellamento esponenziale è una proprietà che prevede di far perdere progressivamente di importanza alle osservazioni man mano che invecchiano. Così facendo abbiamo il livello esponenziale e otteniamo la formula per calcolare la deviazione standard. (all’esame non si calcola ma è necessario sapere cos’è il livellamento esponenziale) Dunque, maggiore è lambda e minore è la rapidità con la quale le osservazioni perdono peso con il passare del tempo mentre minore è lambda e maggiore è la rapidità con la quale le osservazioni perdono peso con il passare del tempo.

Modello GARCH

Un ulteriore modello per la stima della volatilità è il GARCH. L’approccio GARCH può funzionare per stimare l’evoluzione della varianza in quanto il GARCH misura una metodologia di adattamento dell’errore di stima. Il modello GARCH che ci interessa maggiormente è il GARCH(1,1) in cui la varianza al tempo t dipende da tre fattori: Alfa 0 è una costante che dovrebbe essere 0 se il modello è stimato bene, un parametro alfa1 che rappresenta una stima di quanto incide l’errore di previsione fatto nel periodo precedente, mentre il parametro beta 1 usa la varianza stimata nel periodo precedente. Il modello GARCH è un modello auto regressivo. In questo modo abbiamo una stima della varianza.

Volatilità implicita

Meno usato è il modello della volatilità implicita. È il modello che deriva dalle teorie delle opzioni la quale dice che un valore di una opzione call americana è funzione delle 5 variabili: prezzo di mercato, prezzo di esercizio, tempo alla scadenza, tasso di interesse e volatilità. Di queste 5 variabili, l’unico parametro soggetto a stima è la volatilità. La stima della volatilità implicita presenta alcuni problemi:

• Per molte variabili non esistono opzioni quotate.
• Il mercato delle opzioni non è liquido per tutti gli strumenti, anzi per la normalità degli strumenti è poco liquido.
• Si ipotizza che il modello di Black è giusto e la formula che vado a risolvere è basato sul modello che è molto accurato ma non perfetto.

Queste ipotesi fanno sì che tale modello non è molto usato per questi limiti. Il modello più utilizzato per la stima della volatilità è il modello a media mobile con livellamento esponenziale EWMA, dopo abbiamo il GARCH.

Orizzonte temporale

Passiamo adesso ad un altro importante aspetto che è rappresentato dall’orizzonte temporale. L’orizzonte temporale da scegliere dipende da un fattore soggettivo (ovvero decido io il periodo) o da un fattore oggettivo (le mie considerazioni devono essere basate sulla liquidità della posizione). Tuttavia, quando vogliamo convertire una volatilità giornaliera in una volatilità mensile, dobbiamo moltiplicare per la radice di 22, perché quelli che contano sono i giorni lavorativi di borsa, si utilizzano i business day.

Altro problema che ci poniamo è: quale livello di confidenza scegliere. Se prendiamo la distribuzione normale e di questa sappiamo tutto (pigreco, media e deviazione standard del fenomeno) allora possiamo calcolare gli integrali indefiniti che ci permettono di determinare gli intervalli di confidenza.

Dunque, possiamo determinare il VAR come la differenza tra il valore atteso e la perdita corrispondente all’intervallo di confidenza considerato.

VAR = E(P) – L Tuttavia, possiamo rendere questo ancor più semplice perché quando parliamo di rischio di mercato, noi abbiamo in mente posizioni con durata molto breve e quindi quando questo è vero, la migliore stima del rendimento atteso su intervallo atteso è pari a 0, rendimento 0. Allora le deviazioni le posso fare rispetto a 0 anziché sulla media ottenendo quindi distribuzione normale con media nulla.

Scelta dell'intervallo di confidenza

Aspetto interessante è che le banche non sono completamente libere di scegliere l’intervallo di confidenza. In base a su cosa faccio il calcolo, distinguo l’approccio asset normal dall’approccio delta normal. In quello asset normal, le ipotesi di distribuzione normale sono applicate ai valori di mercato delle posizioni dei prezzi. L’approccio più corretto è quello delta normal che si basa su ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti dei fattori di mercato e non sui valori.

VAR di portafoglio

Fino ad ora abbiamo ragionato su una singola posizione, il problema è che non è realistico. Nessuna banca ha una singola posizione ma ha un portafoglio con dimensioni grandi. Dobbiamo dunque calcolare il VAR di portafoglio. Sappiamo bene che il rischio di portafoglio non è la somma dei rischi delle posizioni che ci sono all’interno del portafoglio. Per determinare il rischio di portafoglio viene calcolato attraverso le correlazioni fra i rendimenti dei fattori di mercato. Quindi il VAR è dato dal valore di mercato delle singole attività moltiplicato per i fattori di mercato e moltiplicato per rho:

Quando introduciamo il concetto di correlazione, abbiamo dei problemi: sono da calcolare, sono instabili e c’è un tema organizzativo ovvero un meccanismo di attribuzione delle responsabilità. C’è tuttavia, una possibile soluzione semplificatrice dove consideriamo l’inesistenza delle correlazioni e quindi fare la somma dei rischi. Ho una stima del VAR ma non mi porto i benefici delle correlazioni.

In questo caso abbiamo due aspetti importanti:

• Il VAR del portafoglio può essere inferiore rispetto a quello della posizione più rischiosa, il cosiddetto effetto di copertura naturale (natural hedge).
• Le correlazioni tendono ad aumentare in corrispondenza di shock di mercato.

Mapping

Dato che abbiamo necessità, per economia di calcolo e qualità del calcolo, di tenere sotto controllo un numero di fattori di mercato relativamente basso e tantissimi strumenti finanziari sui quali calcolare il VAR, usiamo il mapping. Usiamo il mapping quando dobbiamo ricondurre tante posizioni ad un numero più basso di fattori di mercato.

Per le posizioni in titoli azionari, in portafoglio, queste devono essere ricondotte e quindi mappate sui fattori di mercato rilevanti mediante il beta. Il beta in questo caso rappresenta un indicatore di sensibilità del rendimento del titolo alle variazioni dell’indice di mercato. Il beta collega il rendimento atteso di un titolo con il rendimento atteso del mercato. A questo punto avremo:

Dove sigma J è la volatilità dell’indice di mercato J. Alfa rappresenta sempre il valore a scalare dell’intervallo di confidenza. Quindi poi possiamo calcolare il VAR di portafoglio in quel modo.

È un valore approssimato perché il beta non misura tutto rischio. Per calcolare il rischio totale dobbiamo calcolare nel modo seguente:

Quindi con il mapping noi stiamo facendo:

• Ipotesi di assenza di rischio specifico.
• Ipotesi che il rischio sistematico è colto adeguatamente da un modello uni-fattoriale quale CAPM.
• Ipotesi che è adeguato a portafogli ben diversificati.

Limiti approccio varianze-covarianze

Con i concetti detti fin qui, abbiamo potuto estrarre il massimo da questo modello. Tuttavia, tale modello varianze-covarianze che abbiamo visto finora presenta dei limiti:

• Ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti dei fattori di mercato: noi abbiamo usato una distribuzione normale, ma nessuno ci garantisce che abbiamo fatto bene.
• La matrice varianza covarianza è costante: ma non è così anzi è l’esatto contrario, infatti, quando ci sono fasi tese di mercato tende a non diventare vera e quindi smentita dalla realtà.
• Indipendenza seriale dei rendimenti dei fattori di mercato: i fenomeni di volatilità dei prezzi tendono a cadere in modo casuale. C’è dipendenza seriale quando c’è una concentrazione degli shock. La volatilità tende a generare altra volatilità.
• Ipotesi di sensibilità lineare delle posizioni alle variazioni dei fattori di mercato: vuol dire che se il fattore di mercato cambia dell’1% la posizione perde il 2%, se il fattore di mercato cambia del 2% la posizione perde 4%. Abbiamo una distanza di 2 punti percentuali ovvero payoff lineari.

Per quanto riguarda la distribuzione normale dei rendimenti di mercato presentano code più spesse e quindi una curtosi maggiore di quella della normale, e sono sovente asimmetriche verso sinistra. Se la coda è grassa vuol dire che in quella parte della distribuzione c’è più probabilità di quella che mi direbbe la distribuzione normale. Lo spostamento verso sinistra ci dice invece che la probabilità che nella distribuzione normale è simmetrica avere guadagni o perdite, nella realtà è più probabile avere perdite anziché avere guadagni. Soluzione a questo è cambiare la distribuzione e ad esempio possiamo usare una t-student che ha le proprietà dette prima. È importante che la distribuzione t-student risolva i problemi perché altrimenti non varrebbe la pena ma le analisi dicono che anche la t-student presenta dei problemi e non viene molto adottata.

Una seconda soluzione che viene invece adottata, prevista da Risk Metrics, vede i rendimenti estratti da due distribuzioni normali con media uguale ma con diversa varianza. Una di queste presenta una probabilità maggiore ma con varianza minore. Risk Metrics ci dice in particolare che la volatilità è figlia di due fattori: strutturali e ciclici o congiunturali.

Per quanto riguarda la sensibilità lineare sappiamo che non sempre bisogna usarla. Per i bond si può usare la duration + convessità, per le azioni possiamo usare delta + gamma. La correzione per la non linearità si usa a volte perché costa poco ma non risolve del tutto il problema.

L’ipotesi di sensibilità presenta i seguenti problemi:

• La distribuzione delle variazioni del valore del portafoglio deriva dalla combinazione di un’approssimazione lineare (delta) e di una quadratica (gamma) e dunque la forma funzionale della distribuzione delle variazioni dei valori di mercato non è determinata. Questo accade perché alcuni portafogli di opzioni presentano un payoff non monotono e anche l’utilizzo dell’espansione al secondo termine conduce a errori significativi.

Una possibile soluzione alternativa a delta-gamma sono i modelli di simulazione.

Modelli VAR di simulazione

I modelli VAR di simulazione rappresentano la soluzione unica quando la relazione tra valore della posizione e fattore di mercato diventa troppo complicata e non lineare. Abbiamo due tipi di modelli di simulazione:

• Simulazione storica
• Simulazioni Monte Carlo

Tutti i modelli di simulazione hanno in comune una caratteristica fondamentale: non faccio nessuna ipotesi sulla forma funzionale che lega il valore del portafoglio con i rendimenti dei fattori di mercato. Con la simulazione storica vedo come le cose sono andate in passato mentre con le simulazioni Monte Carlo faccio delle proiezioni future. I modelli di simulazione presentano dei caratteri...