Geometria e Algebra Lineare

Vettori

Direzione, verso, intensità (proporzionale alla lunghezza della freccia secondo un'unità di misura prestabilita).

Vettori paralleli → stessa direzione ma verso e modulo diversi.

Vettori congruenti → stessa direzione, stesso verso e stesso modulo.

Vettori opposti → differiscono solo nel verso.

Vettori equivalenti → hanno modulo, direzione e verso uguali ma è cambiato il punto di applicazione.

Vettore applicato in un preciso punto

A = Punto di applicazione.

B = Secondo estremo.

Modalità per individuare il modulo

• Retta afferente la retta A sta per afferire mediante gli assi giudicando il grado di libertà.
• Insieme di punti in un piano o nello spazio.

Siano a,b ∈ A³ → (A,B) = coppia ordinata: serve sapere quale punto viene prima e quale dopo, (A,B) ≠ (B,A).

Un vettore applicato in A³ è una coppia ordinata A,B dove A è il punto di applicazione mentre B è il secondo estremo.

Si può indicare come AB o come B-A (invertendo si invertono gli estremi).

Un vettore libero è una classe di equivalenza di vettori applicati equivalenti.

AB BA vettori opposti insieme di vettori uguali dei quali si traslascia il punto di applicazione.

AA vettore nullo: non ha direzione né verso.

V¹ mette retta.

V² vettori liberi mette piano.

V³ mette spazio.

V₁ vettori applicati mette retta.

V₂ vettori applicati mette piano.

V₃ mette spazio.

Vettori

Verso.

Direzione.

Intensità (proporzionale alla lunghezza della freccia secondo un'unità di misura prestabilita).

Vettori paralleli — Stessa direzione ma verso e modulo diversi.

Vettori congruenti — Stesso modulo, verso sovrapposto.

Vettori opposti — Differiscono solo nel verso.

Vettori equivalenti → Hanno modulo, direzione e verso uguali ma è equivalente il punto di applicazione.

Vettore applicato in un preciso punto

A = Punto di applicazione.

B = Secondo estremo.

Notazione per indicare il modulo

• Reffa retta.
• Misure dei punti.
• Spazio.

Siano a,b e A¹ → (A,B) = coppia ordinata. Serve sapere quale punto viene prima e quale dopo, (A,B) ≠ (B,A).

• Un vettore applicato in A¹ è una coppia ordinata A,B dove A è il punto di applicazione mentre B è il secondo estremo.
• Si può indicare come AB o come B-A (in questo caso si invertano gli estremi).
• Un vettore libero è una CLASSE DI EQUIVALENZA, di vettori applicati equivalenti AB BA vettori opposti equivalente di vettori uguali dei quali si traslata il punto di applicazione.
• A¹ vettore nullo, ha la direzione ice verso.

V¹ Mette retta.

V²₀ Vettori liberi_{Mette piano}.

V³ Mette spazio.

V²_O Vettori applicati mette retta.

V³_O Mette spazio.

Somma vettoriale

Somma di due vettori applicati

U^o x V^o → V◊ (V,W N) → V + W.

• Esistenza dell'elemento neutro ∃ V (numero 0) ∈ V^o tale che ∀ V ∈ V^o V + 0 = V = 0 + V.
• Esistenza dell'opposto ∀ V ∈ V^o ∃ - (V) ∈ V^o tale che V + (- V) = 0 = - (V) + V.
• Proprietà commutativa ∀ V, W ∈ V^o V + W = W + V.
• Proprietà associativa ∀ U, V, W ∈ V^o (U + V) + W = U + (V + W).

Queste proprietà valgono analogamente per i vettori liberi; ♢ V, W ∈ V^o ⇔ V_o, W_o ∈ V_o.

V_o + W_o → corrisponde al vettore libero V + W.

Moltiplicazione per uno scalare (R)

R x V^o → V^o.

(λ, V) → λV.

Sia V = ◊A⃗ e siano B il punto sulla semiretta OA tale che ◊B⃗ = |λ|◊A⃗ e B' il simmetrico di B rispetto a o.

• λV = ⎧ B se λ > 0.
• B o se λ = 0.
• B' se λ PROPRIETÀ CHE CARATTERIZZANO UNO SPAZIO VETTORIALE.

• ∀ V ∈ V^o 1V = V.
• ∀ λ, μ ∈ R, ∀ V ∈ V ◊(λ, μ)V = (λμ)V.
• ∀ λ, μ ∈ R, ∀ V, U ∈ V ◊(λ + μ)V = λV + μV.
• ∀ λ ∈ R, ∀ U, V ∈ V ◊λ(V + W) = λV + λW.

Differenza vettoriale

V - W := V + (-W).

Spazio vettoriale

Spazio vettoriale = uno spazio vettoriale reale (su R) è un insieme V su cui sono definite due operazioni dette somm