Geometria differenziale delle curve con Mathematica

Geometria differenziale delle curve

Bernardo geometria differenziale.nb 1

Appunti di A. Bernardo

Spazio vettoriale

n

 

8x Hx L ê

spazio vettoriale su

= = ∀

n

, x, ..., x numero reale i<

1 2 n i

Addizione di vettori

Hx L

+ × →

n n n

  

: Hy L

=

x, x, ..., x

1 2 n

Hx L

=

y, y, ..., y

1 2 n

Definizione

+ = + + +

x y y, x y, ..., x y

1 1 2 2 n n

Prodotto di un vettore per uno scalare

→

· n n



 

:

λ ∈  Hλx L

∈ n



x Definizione

λ · = λx λ

x, , ..., x

1 2 n

Prodotto scalare tra due vettori

× →

· n n

 



: ‛

p

Definizione ·

· = x x

x y i i

j=1

· è bilineare simmetrica definita positiva

8u <

n



Base canonica di ℝⁿ

Base canonica di

H1,

=

B, u, u, ..., u

1 2 3 n

H0,

=

u 0, 0, ..., 0L

1 =

u 1, 0, ..., 0L

2 H0,

...

=

u 0, 0, ..., 1L

n n



Curve in ℝⁿ

Ha, Ha,

Curve in

HtL

α → n

 

: bL dove bL è intervallo aperto di

HtL Hα HtL, HtL, HtLL

→ α

t

α = α α

...,

1 2 2

Def.

α α ∀

è differenziabile se sono differenziabili i

i

(parametrizzata) Ha,

Def.

α è una curva se è differenziabile a tratti in bL

Ht L

Def. L Hα Ht L, Ht LL

Ht = α

Vettore velocità

Vettore velocità di α in un punto P è

0 0

Def

= α

α ' ..., '

' 0 1 0 n 0

HtL ˛ HtL ˛

Def. = α α

La funzione v ' si chiama velocità di α HtL

Def.

α ∀ ≠

si dice regolare se è differenziabile e se t si ha v 0

˛ HtL ˛ Ha,

Def.

α α = ∀ ∈

si dice a velocità unitaria se ' 1, t bL

Bernardo geometria differenziale.nb 2

Riparametrizzazione positiva

Ha, Hc,

α → β →

n n

 

: bL, : dL curve differenziabili,

Hc, Ha, HuL

β α

si dice riparametrizzazione positiva di se esiste una funzione differenziabile

→ > ∀ < <

h : dL bL tale che h ' 0 u, con c u d

Esempio di grafico di una curva

8a

ellisse@a_, b_D@t_D := Cos@tD, b Sin@tD<

8t, →

ParametricPlot@ellisse@4, 2D@tD, 0, 2 Pi<, AspectRatio AutomaticD

2

1

-4 -2 2 4

-1

-2

Graphics

Lunghezza di una curva

Ha,

Def. @a,

α ¢

n



Sia una curva di, definita su un intervallo I bL,

@a,

α definita e differenziabile in bD

α

si definisce lunghezza di nell'intervallo bD

˛ HtL ˛

† b

= α

Length@a, bD@αD ' dt.

a

Lunghezza di una curva con Mathematica

˛a'(t)˛

Per calcolare la lunghezza di un arco di curva costruiamo prima la funzione ê. →

moduloVelocita@alpha_D@t_D := Sqrt@Simplify@D@alpha@xD, xD.D@alpha@xD, xDDD x t

Calcoliamo ora l'integrale indefinito ê. →

lungArco@alpha_D@t_D := Integrate@moduloVelocita@alphaD@xD, xD x t

Calcoliamo ora l'integrale definito 8u,

lung@a_, b_D@alpha_D := Integrate@moduloVelocita@alphaD@uD, a, b<D

La seguente è la formula per il calcolo numerico dell'integrale, qualora non sia possibile calcolarlo con il calcolo

simbolico, in questo caso a e b devono essere dei numeri. 8u,

lunghezza@a_, b_D@alpha_D := NIntegrate@moduloVelocita@alphaD@uD, a, b<D

Esempi

Calcolo della lunghezza dell'ellisse

Con il calcolo simbolico

Bernardo geometria differenziale.nb 3

êê

lung@a, bD@ellisse@4, 2DD Simplify

i

j

j E E E »»

j

k 5 1 a

− + ≥

IfA ArcCosA ImA 2 ReA 2

−a + −

3 b a b D y

z

z

E E E »» E z

+ 5 {

2 a ArcCos@

1 5 1 a

+ ≥ ≠

3 &&

ArcCosA ImA ReA 0 ImA 0

−a + −a + −

2 3 b b 2a 2b

i

j

j E E E »» E E E

j

k 5 1 a 1 5 1 a

− + ≥ + ≥

ArcCosA ImA 2 ReA 2 ArcCosA ImA ReA

−a + − −a + −a +

3 b a b 2 3 b b

»» E E E »»

5 1 a

+

0 ArcCosA ImA 2 ReA 0 D y

−a + − z

3 b a b z

E E E »» E z

+ 5 {

2 a ArcCos@

1 5 1 a

− + ≠

3

ArcCosA ImA 1 ReA ImA 0 &&

−a + −a + −

2 3 b b 2a 2b

i

j

j E E E »» E E E

j

k 5 1 a 1 5 1 a

+ ≥ − + ≥

ArcCosA ImA 2 ReA 2 ArcCosA ImA ReA

−a + − −a + −a +

3 b a b 2 3 b b

»» E E E »»

1 5 1 a

0 ArcCosA ImA ReA D y

−a + −a + z

2 3 b b z

E E E »» E z

−2 + 5 {

a ArcCos@

1 5 1 a

+ ≠

3,

ArcCosA ImA 1 ReA ImA 0

−a + −a + −2 +

2 3 b b a 2 b

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8u,

−2 −3D + −3D,

EllipticE@a, 2 EllipticE@b,

− D

i

IntegrateA 10 6 Cos@2 uD, a, b<,

j

j E E E E

j + 5

k 2 a ArcCos@ 5 1 a

→ − + <

3

Assumptions ImA 0 && ArcCosA ImA 2 ReA 2 &&

− −a + −

2 a 2 b 3 b a b

y

z

z

E E E »»

z

{

1 5 1 a

+ <

ArcCosA ImA ReA 0

−a + −a +

2 3 b b

D

i

j

j E E E E

j −2 + 5

k a ArcCos@ 5 1 a

+ <

3

ImA 0 && ArcCosA ImA 2 ReA 2 &&

−2 + −a + −

a 2 b 3 b a b

E E E E

1 5 1 a a

− + < ≠

ArcCosA ImA ReA 0 && ReA y

−a + −a + −a + z

2 3 b b b z EE

E E E E E

z

{

1 5 1 a 1 5 1

+ ≠

ArcCosA ImA && 1 ReA ArcCosA ImA

−a + −a + −a +

2 3 b b 2 3 b

Con il calcolo numerico

lunghezza@0, PiD@ellisse@0, PiDD

6.28319

Calcolo della lunghezza della circonferenza

8t, →

ParametricPlot@ellisse@1, 1D@tD, 0, Pi<, AspectRatio AutomaticD

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-1 -0.5 0.5 1

Graphics

Con il calcolo simbolico

Bernardo geometria differenziale.nb 4

è!!!!!

!

lung@0, PiD@ellisse@r, rDD

π 2

r

Con il calcolo numerico

lunghezza@0, PiD@ellisse@1, 1DD

3.14159

Curvatura di una curva piana

Intuitivamente misura di quanto la curva si discosta dall'essere una retta.

HtL HtL

Solitamente viene definita da

Hx' HtL+y' HtLL

x' y "HtL-x "HtL y'

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

ÅÅÅÅ

k2[a](t)= (1)

3ê2

2 2

La si può definire anche in questo modo

HtL

Def »»a' HtL»»

a "HtL •Ja'

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

k2[a](t)= (2)

3

Def ÅÅÅÅÅÅÅÅ

ÅÅÅÅ

1

a

Il raggio di curvatura di è k2@aD

Definizione mediante Mathematica

Definiamo una curva piana alpha

8a1@tD,

alpha@t_D := a2@tD< 2



Definiamo la struttura complessa J di

8−p2,

J@8p1_, p2_<D := p1<

Definiamo il vettore velocità di alpha

D@alpha@tD, tD

8a1 @tD, @tD<

a2

Applichiamo la formula (2) 8tt, ê

kappa2@alpha_D@t_D :=

D@alpha@ttD, 2<D.J@D@alpha@ttD, ttDD

H3 ê ê.

Simplify@D@alpha@ttD, ttD. −>

D@alpha@ttD, ttDD ^ 2L tt t

La funzione che a una curva associa la funzione curvatura si usa nel seguente modo

kappa2@alphaD@tD

@tD @tD @tD @tD

Ha1 @tD @tD L

−a2 +

a1 a1 a2

3ê2

2 2

+ a2

Che corrisponde alla formula (1)

Bernardo geometria differenziale.nb 5

Curve celebri nel piano

Lemniscata di Bernoulli

8Sin@tD,

otto@t_D := Sin@tD Cos@tD<

8t, →

ParametricPlot@otto@tD, 0, 2 Pi<, AspectRatio AutomaticD

0.4

0.2

-1 -0.5 0.5 1

-0.2

-0.4

Graphics

Calcoliamo ora la curvatura

è!!!

kappa2@ottoD@tD H−Cos@tD LL

H−4 H2 − + 2

2 2

Sin@tD Sin@tD Sin@tD

2 2 Cos@tD + + 3ê2