Generalizzazione dell'equazione logistica

Generalizzazione dell’equazione logistica (UN)

Autore: Antonello Urso - 07/07/07

Pianetagalileo - (ultimo aggiornamento: 23/07/07)

A. Urso - Generalizzazione dell’equazione logistica

Introduzione:

L’equazione logistica può descrivere lo sviluppo di una popolazione biologica (batteri, animali ecc.)

che cresce fino al raggiungimento di un valore costante nel tempo. Tale crescita sarà provocata da

una fonte energetica da cui tale popolazione si nutre. E’ lecito supporre che sia una singola fonte

energetica rinnovabile erogata in modo costante nel tempo in un ambiente privo di materia

inquinante verso una popolazione omogenea di una singola specie.

Quindi per esempio in presenza di una fonte energetica rinnovabile (FER) costante e biologicamente

assimilabile, una popolazione tenderà a svilupparsi nel tempo con un certo tasso di crescita fino a

raggiungere un livello massimo p dato dalla seguente equazione differenziale del tipo Bernoulli:

M  

dp p

=  − 

kp 1 (1)

 

dt p

 

M

La cui soluzione porta alla seguente: p

=

p M (2)

[ ]

+ − −

1 exp k ( t t )

0

Come abbiamo detto questo sviluppo dipende dall’energia erogata dalla nostra fonte, cioè fornendo

una variazione Q di energia nell’unita di tempo, otterremo il flusso energetico f della nostra FER.

Quindi per definizione: ( ) ( )

=

dQ t dt f t (3)

Stabiliamo adesso per la (2) che la popolazione raggiunga il livello p sotto l’effetto fornito di un

M

flusso costante f , e che sia quindi: =

f cp (4)

M

Dove c è una costante positiva. Avremo quindi secondo la (4) una diretta proporzionalità tra un

flusso energetico costante e il numero della popolazione stabilizzata. Questo significa che se per

esempio vogliamo raddoppiare la popolazione dovremo raddoppiare anche il flusso energetico

perché ogni singolo elemento della popolazione della specie biologica considerata avrà bisogno per

vivere di una precisa razione pro-capite di energia c nell’unita di tempo. Il calcolo di questa razione

energetica si potrà fare agevolmente una volta raggiunto l’equilibrio tra il numero di nascite e morti

usando sempre la (4).

La domanda che ci possiamo porre adesso è se sia possibile una generalizzazione della (1) che

descriva la crescita di una popolazione in presenza dell’erogazione di una FER variabile nel tempo,

e dell’effetto di un generico ambiente di dimensioni limitate che certamente influisce sullo sviluppo

demografico. Per poter trovare una risposta dobbiamo prima chiarire che la dinamica dello sviluppo

di una popolazione biologica risentirà