Tangente e cotangente
Funzione cotangente
Consideriamo la funzione
[math] f [/math]
:[math] f : \alpha \in \mathbb{R} - \{k \pi\} \to ctg(\alpha) \in \mathbb{R} [/math]
[math] \pi [/math]
) in un numero reale. Questa è la funzione cotangente.Vediamo delle proprietà:
- La funzione non è iniettiva, in quanto è una funzione periodica di periodo π, per cui: ad angoli distinti in R si associano gli stessi valori del seno (per cui ci sono angoli distinti che hanno la stessa immagine).
- La funzione, al contrario, è suriettiva, in quanto ogni numero reale è immagine di almeno un angolo [math] \alpha [/math].
- La funzione non è biunivoca/biettiva, in quanto non è iniettiva: una funzione per essere invertibile dev'essere necessariamente biunivoca/biettiva. Affinchè si possa, quindi, invertire questa funzione possiamo applicare una restrizione al campo di esistenza: ovvero, invece che considerare tutto il campo d'esistenza (ovvero [math] \mathbb{R} [/math]), ne consideriamo soltanto una parte. L'intervallo che andremo a considerare sarà, quindi:[math] [0; \pi] [/math]e lo chiameremo[math] I [/math].
La funzione
[math] g [/math]
:[math] g: [0, \pi] \to \mathbb{R} [/math]
[math] g(\alpha) = ctg(\alpha) [/math]
Sarà sia: iniettiva che suriettiva, quindi biettiva: essendo biettiva può finalmente essere invertita. La funzione inversa sarà:
[math]g^{-1}: y \in \mathbb{R} \to arcctg(y) ∈ [0; π].[/math]
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