Dalle funzioni alle derivate: riassunto preciso

Matematica

Funzione reale di variabile reale

Dati due sottoinsiemi A e B (non vuoti) di R, una funzione f da A a B è una relazione che associa a ogni numero reale di A uno e un solo numero reale di B, relazione tra la variabile x (indipendente) e la variabile y (dipendente).

y = f(x) (forma esplicita)

f(x, y) = 0 (forma implicita)

Si può disegnare il grafico, si possono determinare le intersezioni con gli assi.

Dominio naturale della funzione → è l’insieme più ampio dei valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y, si indica con D.

Codominio → è il sottoinsieme di R costituito dalle immagini degli elementi del dominio.

Si dividono in:

• Algebriche (esprimibili attraverso un’espressione algebrica) → razionali e irrazionali.
• Trascendenti → logaritmiche, esponenziali, goniometriche.

Tipologie di funzioni

• Iniettiva → a ogni y corrisponde una x.
• Suriettiva → a una y corrisponde almeno una x.
• Biettiva → iniettiva + suriettiva → a una x corrisponde una y.

Caratteristiche:

• Pari → f(-x) = f(x) → simmetrica rispetto all’asse y.
• Dispari → f(-x) = -f(x) → simmetrica rispetto all’origine.

Zeri di una funzione → sono i punti in cui la funzione taglia l’asse x → per trovarli → f(x) = 0.

Dati x1 e x2, la funzione si dice crescente se ∀ x1 < x2 e se contemporaneamente f(x1) < f(x2).

Dati x1, x2, la funzione si dice decrescente se ∀ x1 < x2, f(x1) > f(x2).

Monotona → è la funzione che cresce sempre o decresce sempre; se in un determinato intervallo la funzione è solo crescente o è solo decrescente, allora è monotona in senso stretto.

Continua o discontinua.

Tipologie di funzione

Funzione esponenziale → y = a^x.

• Dominio = x ∈ R.
• Codominio = a > 0, a ∈ R+.
• a > 1 → valori crescenti.
• 0 < a < 1 → decrescenti.
• a = 1 → monotona.
• Passa sempre per il punto (0; 1).
• Asse x asintoto.

Funzione logaritmica → funzione inversa di esponenziale.

• Dominio = R+.
• Codominio = R.
• Interseca l’asse x in punto (1; 0).
• Non interseca l’asse y → asintoto.
• a > 1 → crescente.
• 0 < a < 1 → decrescente.

Goniometria

Funzione seno → y = sin α.

Funzione coseno → y = cos α.

Entrambe → D = R, Cod = -1 ≤ y ≤ 1.

I limiti

• In matematica il concetto di limite serve a descrivere l’andamento di una funzione all’avvicinarsi del suo argomento ad un altro valore.
• Intervallo → sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta se illimitato, segmento se limitato.
• Può essere chiuso o aperto a seconda che gli estremi appartengano o no all’intervallo.

Intorno di un punto → dato un numero reale x0, un intorno completo di x0 è un qualunque intervallo aperto I(x0) contenente x0 con δ1, δ2 → numeri reali positivi.

Ix0 = ]x0 - δ1; x0 + δ2[, δ1, δ2 numeri reali positivi.

Limite finito per x → x0: la funzione f(x) ha per limite il numero reale l quando, comunque si scelga un numero reale positivo ε, si può determinare un intorno completo l di x0 tale che:

• |f(x) - L| < ε.
• lim f(x) = l se → ∀ ε > 0 ∃ Ix0: |f(x) − l| < ε ∀ x ∈ Ix0 − [x0], x → x0.

Punto di accumulazione → è un punto intorno al quale esistono degli elementi dell’insieme che sto trattando.

Funzione continua

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a, b] e x0 un punto interno all’intervallo, la funzione è continua nel punto x0 quando esiste il limite di f(x) per x → x0 e tale limite è uguale a f(x0), della funzione calcolata in x0: lim f(x) = f(x0), x → x0.

lim f(x) = f(x0) ∀ x0 ∈ [a, b], x → x0.

NB: diciamo che f è continua nel dominio quando risulta continua in tutti i punti di D.

Una funzione f(x) non è continua in x0 se lim f(x) =/ f(x0), x → x0; diciamo che x0 è un punto di discontinuità.

Punti di discontinuità → sono i punti in cui una funzione non è continua.

• 1. specie → limite destro e sinistro per x → x0 esistono finiti, ma sono diversi tra loro (funzione presenta un salto finito nel punto di ascissa x0).
• 2. specie → almeno uno dei due limiti per x → x0 è infinito (positivo o negativo).
• 3. specie o eliminabile → esistono uguali e finiti i limiti dx e sx per x → x0, ma f non è definita in x0 o, se lo è, risulta f(x0) =/ l.

Asintoto

Asintoto → è una retta detta asintoto del grafico di f quando la distanza di un generico punto del grafico da tale retta tende a 0, quando l’ascissa o l’ordinata del punto tendono a ∞; la retta si avvicina a f senza toccarla.

• Verticali → lim f(x) = ±∞, x → x0.
• Orizzontali → lim f(x) = n, x → ±∞.
• Obliqui → se f(x) = ±∞.

lim f(x)/x = m; lim [f(x) - mx] = q, x → ±∞, x → ±∞.

y = mx + q.

3 teoremi di funzione continua

• 1. Teorema di Weierstrass → se f è continua in intervallo limitato e chiuso [a, b], assume in tale intervallo 2 valori particolari che sono il massimo assoluto e il minimo assoluto.
• 2. Teorema dei valori intermedi → se f è continua in [a, b], essa assume almeno 1 volta tutti i valori compresi tra il max. e il min.
• 3. Teorema di esistenza degli zeri → se f è continua in [a, b] e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto c, interno all’intervallo, allora ∃ c ∈ [a, b]: f(c), in cui f si annulla, ossia f(c) = 0.

Derivate

Rapporto incrementale → data una funzione y = f(x) definita in un intervallo [a, b] e due numeri reali c + h (con h =/ 0) interni all’intervallo, il rapporto incrementale di f nel punto c è il numero Δy/Δx = [f(c + h) − f(c)]/h.

Il rapporto incrementale ci dice di quanto aumenta y rispetto a x.

Derivata di una funzione → data una funzione y = f(x) definita in [a, b], la derivata della funzione nel punto c interno all’intervallo, che indichiamo con f’(c), è il limite, se esiste ed è finito, di h che tende a 0, del rapporto incrementale di f relativo a c: f’(c) = lim [f(c + h) − f(c)]/h, x → x0.

La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa c.

Funzione derivabile in c se esiste derivata f’(c) e se esistono finite e uguali tra loro la derivata dx e sx.

Derivata a sx e dx.

Teoremi del calcolo differenziale

1. Teorema di Rolle →

• Hp → f(x) è continua in [a, b].
• f(x) è derivabile in ]a, b[.
• f(a) = f(b).
• Tesi → ∃ almeno un punto c ∈ ]a, b[ tale che f′(c) = 0.
• Esistono punti stazionari, la retta tg è orizzontale.

2. Teorema di Lagrange →

• Hp → f(x) è continua in [a, b].
• Derivabile in ]a, b[.
• Tesi → esiste almeno un punto c ∈ ]a, b[ tale che [f(b) − f(a)]/[b − a] = f’(c).
• Conseguenze → deve esistere un punto c tale che la retta passante per c sia parallela alla secante.
• Interpretazione → esiste c tale che la retta tg in c nel grafico è parallela alla retta passante per a e b.

3. Teorema di Cauchy →

• Th → f(x) e g(x) continue in [a, b].
• Derivabili in ]a, b[.
• g’(x) =/ 0 ∀ x ∈ ]a, b[.
• Tesi → [f(b) − f(a)]/[g(b) − g(a)] = f′(c)/g′(c).
• Interpretazione → rapporto tra gli incrementi delle funzioni f e g è uguale al rapporto tra le rispettive derivate calcolate in un punto c interno all’intervallo.

4. Teorema di de l’Hospital → f(x) e g(x) e dato un intorno Ix0.

• Hp → f e g continue in x0.
• f(x0) = g(x0) = 0.
• f e g derivabili in x0.
• g’(x) =/ 0 in Ix0.
• Tesi → se esiste lim f′(x)/g′(x), allora esiste lim f(x)/g(x) = lim f′(x)/g′(x), x → x0.