Funzione - Studio completo

I.I.S.S Scipione Staffa - Trinitapoli

Anno scolastico 2011-2012

Tesina di matematica

di

Ronzino Maria Celeste

Studio completo della funzione:

√

( )=2

f x x−x Docente:

Giacomo Di Staso

Lo studio della seguente funzione è stato

svolto con il programma Derive 6

Studio completo della funzione:

√

( )=2

f x x−x

1. Classificazione della funzione : Algebrica irrazionale intera

2. Dominio: Essendo una funzione irrazionale intera con indice pari

poniamo il radicando dunque D:

≥ 0 x ≥ 0

3. Determinare il segno della funzione: poniamo l’incognita x=(-x),

√

ne consegue: essendo la funzione sia diversa da

(−x )=2 −x+

f x

f(-x) che da –f(x), la funzione non è: Né pari né dispari.

Quindi la funzione non presenterà simmetria né con l’asse delle y,

né con l’origine degli assi.

4. Intersezione con gli assi:

{ } { }

√ √

y=2 x−x y=2 0−0

Asse y: x=0 x=0

Il grafico della funzione intrinseca l’asse delle y nel punto di

coordinate: 0(0;0)

{ } { } { }

√ √ √

=2

y=2 x−x 0=2 x−x x x

Asse x: y=0 y=0 y=0

{ } { } { }

2

( ) √

( ) 2 2

2 =4 −4

= x x x x=0

x 2 x y=0 y=0

y=0 ¿

x 4−4

= =0

{ } 1 2

1 4 ± 4

=

x +4

x 4 8

= =

2 2 2 2 2

y=0 =0

y

¿=4

¿

Il grafico della funzione intrinseca l’asse delle x nei punti di

coordinate: 0(0;0) e A(4;0)

5. Positività:

√ >0

2 x−x

√ >

2 x x

2

√ 2

( ) ( )

>

2 x x

2

>

4 x x 2

−x <0

4 x x 4−4

= =0

1 2

1 =¿

x 2 +4

x 4 8

= = =4

2 2 2 <4

0< x

La funzione è maggiore di 0 nell’intervallo compreso tra 0 e 4.

6. Limiti: la funzione non presenta punti di discontinuità. Presenta

solo un limite intorno a + ∞

√ √

lim 2 x−x=2 ∞−∞=−∞

x →+∞

Sostituendo all’incognita il valore - otteniamo una forma

∞

indeterminata. Quindi prima di sostituire le incognite mettiamo la x

in evidenza:

√ √

( )

1 1

−x = −1 =−∞

lim 2 x lim x 2

x x

x →+∞ x →+∞

Quando l’incognita x tende a + la funzione tende a -

∞ ∞

Ricerca degli asintoti obliqui nella forma: y=mx+q

√

( )

1 −1

x 2 √

√ √ x

−x

2 x 2 x−x 1

= = = −1=¿

lim lim lim lim 2

x x x x

+∞ +∞

x →+∞ x→ x →+∞ x→

√ 1 ( )−1=−1

−1=2

2 0

+∞

-1 è il coefficiente m dell’equazione dell’asintoto (y=mx+q) [ ]

Stabiliamo l’esistenza dell’asintoto obliquo con la formula ( )−mx

f x

: