Formulario-riassunto matematica finanziaria

Formulario matematica finanziaria

Operazione finanziaria

Operazione finanziaria: è QLS contratto (accordo) che dia origine allo scambio di somme di denaro riferite ad epoche diverse tra 2 soggetti.

• Semplice (es. sconto di cambiale); 2 scadenze
• Complessa: + di 2 scadenze

Capitale iniziale = C = importo investito | Capitale finale o montante = M = quello disponibile alla fine dell'investimento (rendenda).

M > C ipotesi di contratto parziale degli asset), C = chi rinuncia oggi ad una disponibilità finanziaria, richiesta chi oggi consapisce un rendimento (e viceversa).

Interesse (I) = <> I = D = M - C

Legge finanziaria di capitalizzazione

Legge finanziaria di capitalizzazione: funzione atta a definire il montante M(t) accumulato al tempo generico t da un capitale iniziale C: M(t) = F(C,t)

Postulati:

1. \(1)\) F(C,t) definita per ogni C > 0 e per ogni t ∈ [0,t̅ ]
2. \(2)\) F(C,0) = C per ogni C > 0
3. \(3)\) t₁ ≤ t₂ ⇒ F(C,t₁) < F(C,t₂)
4. \(4)\) F(C,t) = C • F(1,t)

Proprietà:

• F(0,t) = 0 per ogni t > 0
• C₁ < C₂ ⇒ F(C₁,t) < F(C₂,t)

Ponendo C = 1 f(t) = F(1,t) = fattore di montante

Definita per t ∈ [0,t̅ ]

Tale che f(0) = 1

Non decrescente (se derivabile, f'(t) ≥ 0)

\(H(t) = C • f(t)\) ⟹ \(I(t) = D(t) = H(t) - C = C[f(t) - 1]\)

Tasso di interesse di periodo

\(i(t) = \frac{I(t)}{C} = \frac{H(t) - C}{C} = \frac{M(t)}{C} - 1 = f(t) - 1\)

Tasso di sconto di periodo

\(d(t) = \frac{D(t)}{H(t)} = \frac{H(t) - C}{H(t)} = 1 - \frac{C}{H(t)} = 1 - \frac{1}{f(t)}\)

Periodicità del tasso

• i₁₂ ➔ Tasso mensile (1 mese)
• i₁₄ ➔ Tasso trimestrale (3 mesi)
• i₁₄ ➔ Tasso quadrimestrale (4 mesi)
• i₁₆ ➔ Tasso semestrale (6 mesi)

1 punto base = 0,01%

Un'operazione che comporti il differimento di una disponibilità monetaria indebitata si dice capitalizzazione:

Il montante è una variabile indipendente, essendo noti l'importo di C e il tasso unitario di interesse.

• Funzioni affini: f(t) = 1 + hc, \(h > 0\)
• Funzioni esponenziali: f(t) = e^bhc, \(h > 0\)
• Funzioni iperboliche: f(t) = \frac{1}{1 - hc}

Il parametro h è usato al tasso di interesse caratteristico della capitalizzazione.

Formulario matematica finanziaria

Operazione finanziaria

Operazione finanziaria: è QLS contratto (accordo) che dia origine allo scambio di somme di denaro differite ad epoche distinte tra 2 soggetti.

• Semplice (es. sconto di cambiale): 2 scadenze
• Complessa: + di 2 scadenze

Capitale iniziale = C = importo investito

Capitale finale = montante = M = quello disponibile alla fine dell'investimento

Viene ceduto oggi un importo a fronte di una somma superiore (e viceversa).

Interesse (I) = indennizzo = I = D = M - C

Legge finanziaria di capitalizzazione

Legge finanziaria di capitalizzazione: funzione atta a definire il montante M(t) accumulato al tempo generale T da un capitale iniziale C: M(t) = F(C,t)

Postulati:

1. F(C,t)_è definita per ogni C >0 e per ogni t∈[0,]
2. F(C,0)=C per ogni C>0
3. t₂≤t₃ ⇒ F(C,t₂) ≤ F(C,t₃)
4. F(C,t) = C·F(1,t) montante direttamente proporzionale a C.

Proprietà:

• F(0,t)=0 per ogni t>0
• C₁ < C₂ ⇒ F(C₁,t) < F(C₂,t)

Ponendo C = 1 f(t) = F(1,t) = fattore di montante

Definita per t ∈ [0,]

Tale che f(0)=1

Non decrescente (se derivabile f'(t) ≥ 0)

M(t)=C⋅f(t) ⇒ I(t)=D(t)=M(t)−C=C[f(t)−1]

Tasso di interesse di periodo

(Unitario se t = 1) i(t)=I(t)/C=M(t)−C/C=f(t)−1

Tasso di sconto di periodo

(Unitario se t = 1) d(t)=D(t)/M(t)=M(t)−C/M(t)=1−C/M(t)=1−1/f(t)

Periodicità del tasso

• i₁₂ ⇒ Tasso mensile (1 mese)
• i₃ ⇒ Tasso trimestrale (3 mesi)
• i_k =1/k⋅anno
• i₄ ⇒ Tasso quadrimestrale (4 mesi)
• i₆ ⇒ Tasso semestrale (6 mesi)

1 punto base = 0,01%

Tasso annuo ⇒ i (1 anno); tasso biennale (i_.0,5 (1 biennio)

Un'operazione che comporti il differimento di una disponibilità monetaria nel tempo si dice capitalizzazione.

Il montante è la variabile indipendente, essendo noti l'importo di C e il tasso unitario di interesse.

• Funzioni affini: f(t) = 1 + h·t, (h>0) ⇒ regime finanziario di interesse semplice
• Funzioni esponenziali: f(t) = e^h·t, (h>0) ⇒ regime finanziario di interesse composto
• Funzioni iperboliche: f(t) = C/t+1/C·h, (h>0) ⇒ regime finanziario di interesse anticipato

Il parametro h è legato al tasso di interesse caratteristico della capitalizzazione ⇒ leggi di capitalizzazione

Confronto tra i montanti nei regimi a interesse semplice e composto

Per durate > di un periodo il montante in capitalizzazione composta supera il montante in capitalizzazione semplice. Es. t= 1,5% periodi = periodo 3 mesi t= 3 cap. sempl. = cap. composta

• T<3 cap. sempl.> cap composto
• T>3 cap composto> cap semplice

Tassi equivalenti

Tassi equivalenti: due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono, ad una data futura e a parità di capitale impiegato, lo stesso montante, ovvero gli stessi interessi.

Occorre usarne i normati:

Nota 1 dei 2 tassi, l'altro si calcola:

H(t) = C(1+it) = C(1+Y)^t κ = 1/t [(1+Y)^1/t -1] Y = √(1+it) - 1

Tasso annuo nominale convertibile K volte all'anno

(j^k) : j^k = K * i^k dove i^k = tasso del periodo

j^k = è un tasso annuo fittizio, è definito come se fosse equivalente a i^k nei restanti x rimandato i_k separato, non si appoggiano al regime composto, nei calcoli occorre riferirsi a i_k.

Tasso medio

Tasso medio: è quel tasso costante equivalente alla sequenza dei tassi variabili nel senso che consente di ottenere lo stesso montante.

Confronto f(t) nei 3 regimi

3 curve, si intersecano in 2 punti (0,1) e (1,1 + it), poiché per la Def di tasso unitario di interesse, f(t) per t = 1 vale 1 + i. Per ql.s. periodo finanziario di carattere interesse.

N.B. a parità di i, x (0,1,+ ) H(t) a interesse semplice è di quello composto che a sua volta è di quello annuario, per t >= 1: int. int > int. compo. > int. semplice

Forza di interesse

Forza di interesse:

Considero I(t₀ T+Δt) = M(t₀ t+Δt)-M(t) ora considero c^-1- f(t₀, t+Δt) = M(t₀+Δt)-H(t) = f(t +Δt) - f(t) / f(t) = I' ((t+Δt)-f(t) / Δt ) - I / f(t) = I(t)f'(t)

Definizione intensità di interesse

f'(t)=ρ(t)

Intensità istantanea di interesse (ρ; forza di interesse) = δ(t)=ρ(t) / f(t)

Capitalizzazione continua

Capitalizzazione continua: quando l'interesse si unlementon instante a instanto, il nostro cancellization tenso a ∼ t e ⊃ x(l)e^{d ∗δ;}