Formulario Inference

Formulario V.I. verifiche di ipotesi

• 1 campione

Test sulla media σ nota

Stat-Test Z = ^{▒X̄ - μ₀} _▒σ/√m H₀ ～ N(0;1)

Unilaterale R.C. Z_oss ≥ Z_1-α oppure X̄ ≥ μ₀ + Z_1-α · ^σ/√m

Bilaterale R.C. |Z_oss| > Z_1-^α/2

R.C. (X̄ 1-^α/₂ ^σ/√m) ∨ (X̄ > μ₀ + Z_1-^α/2 ^σ/√m)

Formulario V.I. verifiche di ipotesi 1 campione

Test sulla media nota

Scarto-Test Z = ^{X̄ - μ₀}/_σ/√m d/_H₀ ~ N(0;1)

Unilaterale R.C. {Z_oss ≥ Z̄_1-α} oppure R.C. {X̄ ≥ μ₀ + Z̄_1-α · σ/√m}

Bilaterale R.C. {|Z_oss| > Z̄_1-α/2} R.C. {X̄ 1-α/2 · σ/√m ∨ X̄ > μ₀ + Z̄_1-α/2 · σ/√m}

Test sulla media

STAT-TEST T = _{X̄ - μ0} / _{S / √m H0} ∼ t^m-1

Stesse regioni critiche di: prima, solo con t^m-1

Test sulla varianza

STAT-TEST T = _i=1∑^m (x_i - μ)² / σ² ∼ χ²_m

Chi quadro con m gdlumi. R.C. { T > χ²_m;1-α }

Bi 1 R.C. { (T < χ²_m;α/2) ∨ (T > χ²_m;1-α/2) }

Test sulla varianza

Stat-test T = ^{(m-1) S²}/_σ₀² → H₀ χ²_m-1 UNIL.R.C. { T ≥ χ²_{m-1, 1-α} }

BIL. R.C. { ( T ≤ χ²_{m-1, α/2} ) ∨ ( T > χ²_{m-1, 1-α/2} )}

Test su proporzioni

Stimatore p̂ = ^w/_m ∼ N ( P; ^P(1-P)/_m )

Stat-test ^{p̂ - p₀}/_{√(^p̂(1-p̂)/m)} → _n→∞ N (0;1) per Slutsky m→∞ p̂ → P

Dobbiamo ragionare nell’assunzione.

UNIL. R.C. { ^{P̂ - P₀}/_{√p̂(1-p̂)/m} ≥ Z + Z_1-α }

BIL. R.C. { ^{P̂ - P₀}/_{√p̂(1-p̂)/m} > Z_1-α/2 }

Potenza del test

Potenza del test sulla media

π = 1-β = P [Rifiutare H₀ | H₁ vera] = P( ^{X̅ - μ₀ + Z_1-α σ/_√m | μ*₁)}

Standardizzo = P ( Z > μ₀ + z_1-α ^δ _√m (μ₁^* - μ₁^* ) ) = 1 - P ( Z < ...) = 1 - φ(ζ) = ^π hat

Potenza del test su proporzione

π hat = 1-β = P(C. Rifiutare H₀ |θ₁ vero)= P (P hat > P₀ + z_1-α P hat (1-P hat) _m | P hat₁^* )

STANDARDIZZO = P ( Z >(P₀ + z_1-α P hat (1-P hat) _m - P hat₁^*) )= 1 - P(Z < ...) = 1 - φ(ζ) = π hat

Verifiche di ipotesi 2 campioni

Differenza tra 2 medi _{μ1 - μ2}

Stimatore D = ₁ - _{2 H0} ~ _{(μ1 - μ2, 1²/1 + 2²/2)}

Nel finito ₁² = ₂² Stat-Test (₁ - ₂ - D₀)/√(_{(1 + 2)/1 × 2}) ~ _{H0 (0,1)}

R.C. { (₁ - ₂ - P₀)/√(₁²/₁ + ₂²/₂) > +Z_1-

R.C. { | (₁ - ₂ - P₀)/√(₁²/₁ + ₂²/₂) | > Z_1- }

Nel finito ₁² = ₂² Stat-Test T = (₁ - ₂ - D₀)/√_{(1 + 2)/1 × 2) H0 ~ m1+2-2}

S_p² = S₁² (m₁-1) + S₂² (m₂-1)m₁ + m₂ - 2

R.C. { T_oss > + t_1-α2^m₁+m₂-2 }

R.C. { |T_oss| > t_1-α2^m₁+m₂-2 }

Nell’asintotico σ₁² = σ₂²

STAT TEST D = X₁ - X₂ σ^{m₁ + m₂}⁄_{m1 . m2} ~(0;1)

R.C. ∞ { X₁ - X₂ - P₀^{σ₁2⁄n₁ + σ₂2⁄n₂}> + z_1-α }

R.C. ∞ { X₁ - X₂ - P₀^{σ₁2⁄n₁ + σ₂2⁄n₂}> z_1-α }

Nell'asintotico σ₁² = σ₂² ignota

D = (X̄₁ - X̄₂) Sp √(m₁ + m₂ / m₁ . m₂) ~ N(0;1)

R.C._∞ { D_oss > +Z_1-α }

R.C._∞ { |D_oss| > Z_1-α/2 }

σ₁² ≠ σ₂² ignota

Stat-test D_stat = ((X̄₁ - X̄₂) - (μ₁ - μ₂))√(S₁² / m₁ + S₂² / m₂) ~ N(0;1) m → ∞ H₀

R.C. { D_stat > Z_1-α }

R.C. { |D_stat| > Z_1-α/2 }

Test per varianza

Per verificare omoschedasticità

H₀:   g₁ - g₂ = 0

H₁:   g₁ - g₂ ≠ 0

STAT-TEST   V =      ∼ F_{m1-1, m2-1}

R.C. solo bilaterale   (V ≤ C₁) ∪ (V ≥ C₂)         _{Fm1-1, m2-1    2 , 1-}

Differenza tra 2 proporzioni

(Lavoriamo nell’ipotesi di 2 pop. =>)

Stimatore   p₁-p₂      D =    ∼ N (      )       m→∞  

Statistica Test D_STAT = (   -   ) - (C_p1-p2)    ∼ N (0;1)    R.C.   |D_STAT| ≥ 2 H₀               z_{1-α                         1 -}

R.C.   |D_STAT| > z_1-

P-value

p-value Probabilità di estrarre dal c.c. un valore della statistica Test più sfavorevole alla mia ipotesi nulla (sfavorevole ad H₀, favorevole ad H₁)

Ad esempio se ho H₀   μ ≤ μ₀ H₁   μ > μ₀

Test Test    v.c.Z = ^{X - μ₀}/_σ/√n

Uno Z mi porta verso accettazione H₁

p-value è quel valore minimo (massimo) prob. di commettere l'errore di 1° specie pur il quale si rifiuta accettà l'ipotesi nulla

2^x > a accetto H₀

a^x < a rifiuto H₀

Prob. di oss. un ulteriore oss. camp. sotto stesse condizioni tale da essere più sfavorevole ad H₀ rispetto a quella osservata

Potenza: Prob. di rifiutare H₀ quando H₁ è vero, un test è tanto migliore più alta è la sua potenza

I.C. > u il 1-α% delle volte il cadere in questo intervallo è preso un grande campione

Formulario I.C.

1 campione non finito

I.C. su media con σ² nota

Q.P. X̄ - μ ──────── ~ N(0;1) σ ──── √m

I.C. [X̄ ± Z_1-α/2 (σ/√m)]

I.C. su media con σ² ignota

Q.P. X̄ - μ ──────── ~ t^m-1 s ──── √m

I.C. [X̄ ± t_m-1;α/2 (s/√m)]

I.C. su varianza con μ nota

Q.P. Σ^m_i=1 (X_i - μ)² ──────────────────── ~ X²_m σ²

I.C. [ (Σ^m_i=1 (X_i - μ)²) / X²_m-1;α/2 , (Σ^m_i=1 (X_i - μ)²) / X²_m;α/2 ]

I.C. su varianza con σ ignota

Q.P.∑_i=1^m (X_i - X̄)² / σ² ~ Χ²_m-1

I.C.∑_i=1^m (X_i - X̄)² / Χ²_{m-1; 1- α/2}∑_i=1^m (X_i - X̄)² / Χ²_{m-1; α/2}

Nell'asintotico

I.C. sulla media con σ ignota

Q.P.X̄ - μ / s/√m ~ Ζ

I.C. ∞X̄_m ± Z_{1- α/2} (s/√m)

I.C. su proporzione pp̂ - p / √[p̂ (1-p̂) / m] ~ N(0;1) _{m → ∞}

I.C. ∞[ p̂±Z_{1- α/2} √[p̂ (1-p̂) / m] ]

2 campioni

Nel finito

1.C per (μ₁-μ₂) con σ₁² = σ₂² NOTO

q.p. (X̄₁-X̄₂) - (μ₁-μ₂) ~ ℕ(0;1) 1.C [(X̄₁-X̄₂) ± Z_1-α/2 ⋅ σ √(m₁+m₂ / m₁⋅m₂)]

1.C per (μ₁-μ₂) con σ₁² = σ₂² IGNOTO

q.p. (X̄₁-X̄₂) - (μ₁-μ₂) ~ _m₁+m₂-2S_p √(m₁+m₂ / m₁⋅m₂)

1.C [(X̄₁-X̄₂) ± t_{1-α/2m₁+m₂-2} S_p √(m₁+m₂ / m₁⋅m₂)]

Nell'asintotico

1.C. per _(μ1-μ2) con σ₁²=σ₂² nota

1.C. per _(μ1-μ2) con σ₁²=σ₂² ignota

Q.P. _{(X̄1-X̄2)-(μ1-μ2)}S_p^{√(m₁+m₂)}/(m₁ . m₂) ∼ N(0;1) m→∞

I.C. [ (X̄₁-X̄₂) ± Z_1-α/2 S_p √_{(m1+m2)/(m1 . m2)} ]

1.C. per _(μ1-μ2) con σ₁²≠σ₂² ignota

Q.P. _{(X̄1-X̄2)-(μ1-μ2)}√(S₁²/m₁ + S₂²/m₂) ∼ N(0;1) m→∞

I.C. [ (X̄₁-X̄₂) ± Z_1-α/2 √(S₁/m₁ + S₂/m₂) ]

I.C. per differenza di 2 proporzioni: (P₁-P₂)

Q.P. (P̂₁-P̂₂) - (P₁-P₂)∼ N(0;1)m→∞^{P̂₁(1-P̂₁)}/_m1 + ^{P̂₂(1-P̂₂)}/_m2

I.C. [(P̂₁-P̂₂)] ± Z_1-α/2 √[^{P̂₁(1-P̂₁)}/_m1 + ^{P₂(1-P̂₂)}/_m2]

Formulario Pizzetti - Pearson

Test di adattamento

Verificare se una distribuzione di frequenze campionarie segue un particolare modello probabilistico

Confrontiamo freq. relative oss. con quelle teoriche relative

Test di ipotesi:

H₀ : ^K∑_i=1|P_i - Π| = 0

H₁ : ^K∑_i=1|P_i - Π| > 0

Stat-Test Χ² = ∑_i=1^K (m_i - ñ_i)² / ñ_i

Se H₀ ipotesi semplice (specifica completamente il modello prob.) Χ² ∼ Χ²_K-1 H₀ n→∞

Se l'ipotesi composta (non specifica il modello prob. a meno di s parametri) R.C. ⇔ {χ² ≥ χ²_g,1-α}

N.B. L'approx. di χ² alla V.C. χ² e soddisfatta SÈm͠_i = m · π͠_i ≥ 5

Test di indipendenza distributiva

Verifica se c'è indipendenza distributiva tra 2 caratteri confrontando le freq. relative teoriche m͠_ij con quelle osservate m_ij

Stat. Test χ² = Σ_i=1^r Σ_j=1^c (m_ij - m͠_ij)² / m͠_ij ~ χ²_(r-1)(c-1) H₀ m → ∞