Formulario Fisica 1 (prima parte)

Formulario fisica

Cinematica

Cinematica: La cinematica descrive il moto dei corpi (ovvero la posizione di un oggetto nello spazio e nel tempo) senza considerare le cause che hanno prodotto il moto.

Le grandezze fisiche che descrivono il moto sono la velocità e l'accelerazione. (Sono grandezze vettoriali).

Moto rettilineo: la retta lungo la quale avviene il moto può essere: orizzontale, verticale, obliqua.

v = ^Δx/_Δt = ^{x₂ - x₁}/_{t2 - t1} (velocità media)

(v è un vettore, ma nel caso del moto unidimensionale può essere trattato come uno scalare).

v = lim_{Δt → 0} Δx/_Δt = ^dx/_dt (velocità istantanea)

È la rapidità con cui il punto cambia la propria posizione in funzione del tempo.

Rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva x(t) nel punto di ascissa t.

a = ^Δv/_Δt = ^{v₂ - v₁}/_{t2 - t1} (accelerazione media)

a = lim_{Δt → 0} Δv/_Δt = ^dv/_dt (accelerazione istantanea)

Moto rettilineo uniforme

Moto rettilineo uniforme: Si tratta di un moto che si svolge su una traiettoria rettilinea con velocità costante.

x(t) = x(t₀) + v(t - t₀)

Equazioni moto rettilineo uniforme: a = 0, v = cost., x(t) = x(t₀) + v(t - t₀)

Moto uniformemente accelerato

Moto uniformemente accelerato: (a = cost.)

Quando l'accelerazione è costante, l'accelerazione media coincide con l'istantanea.

a = ^{v - v₀}/_t

v = v₀ + a.t

x = x₀ + v₀.t + ¹/₂a.t²

[x - x₀ - ¹/₂(v₀ + v_t)t]

v₂ - v₀² = 2a (x - x₀)

Formulario fisica: Cinematica

Formulario fisica: Cinematica

La cinematica descrive il moto dei corpi (ovvero le posizioni di un oggetto nello spazio e nel tempo) senza considerare le cause che hanno prodotto il moto.

Le grandezze fisiche che descrivono il moto sono la velocità e l'accelerazione. (Sono grandezze vettoriali).

Moto rettilineo: la retta lungo la quale avviene il moto può essere orizzontale, verticale o obliqua.

Δx = x₂ - x₁ (spostamento)

v = Δx / Δt = (x₂ - x₁) / (t₂ - t₁) (velocità media)

v è un vettore, ma nel caso del moto unidimensionale può essere trattato come uno scalare.

v = lim (Δt→0) (Δx/Δt) = dx/dt (velocità istantanea)

È la rapidità con cui il punto cambia la propria posizione in funzione del tempo.

Rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva x(t) nel punto di ascissa t.

a = Δv / Δt = (v₂ - v₁) / (t₂ - t₁) (accelerazione media)

a = lim (Δt→0) (Δv/Δt) = dv/dt (accelerazione istantanea)

Moto rettilineo uniforme: Si tratta di un moto che si svolge su una traiettoria rettilinea con velocità costante.

x(t) = x(t₀) + v(t-t₀)

Equazioni moto rettilineo uniforme: a = 0; v = cost.; x(t) = x(t₀) + v(t-t₀)

Moto uniformemente accelerato: (a = cost.)

Quando l'accelerazione è costante, l'accelerazione media coincide con l'istantanea.

a = (v - v₀)

v = v₀ + a·t

x = x₀ + v₀·t + 1/2 a·t²

x - x₀ = 1/2 (v + v₀) t

v² - v₀² = 2a(x - x₀)

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Moto rettilineo uniformemente accelerato

v(t) = v(t₀) + a(t-t₀)

x(t) = x(t₀) + v(t₀)[t - t₀] + ¹/₂a(t-t₀)²

Accelerazione del moto di caduta libera

Accelerazione del moto di caduta libera

y(t) = y(t₀) + v(t₀)(t - t₀) - ¹/₂ g(t-t₀)²

Vettore spostamento Δr

Vettore spostamento Δr

Δr = _⎰^⎱r₂ - _⎰^⎱r₁ = (x₂-x₁)i + (y₂-y₁)j + (z₂-z₁)k

v = Δr = (Δx)i + (Δy)j + (Δz)k (velocità media)

Δt Δt Δt

v = lim (Δr/Δt) (velocità istantanea)

Δt→0

v² = v_x² + v_y² + v_z² (modulo vettore)

a = Δv/Δt (accelerazione media)

a = lim (Δv/Δt) (accelerazione istantanea)

Δt→0

Moto di proiettili

Moto di proiettili

Moto orizzontale

x = v_0xt, v_x = v_0x

Moto verticale

y = y₀ + v_0yt - ¹/₂ g t² v_y = v_0y - gt

Traiettoria

y = x tan(Θ₀) - (g x²)/2(v₀cosΘ₀)²

Gittata

tan(Θ₀) = x_G g/2(v₀cosΘ₀)²

x_G = v₀²sin(2Θ₀)/g

y_MAX = v₀²sin²(Θ₀)/2g

t = (x_MAX)/(v_0x)

t_MAX = (v₀sinΘ₀)/g

Tempo di volo = (2 v₀sinΘ₀)/g, 2t_MAX

Moto circolare e traiettorie

Circolare uniforme: Un oggetto che si muove lungo una circonferenza di raggio R con velocità in modulo costante.

\(\overline{a} = \frac{v^2}{R}\) (accelerazione istantanea)

Moto accelerato lungo una traiettoria qualunque:

\(\overline{a} = \frac{d\overline{v}}{dt}, \, \overline{v} \frac{d\overline{u}_t}{dt}\) (accelerazione istantanea)

\(\overline{a}_n\) ortogonale alla traiettoria (centripeto)

\(\overline{a}_\tau\) tangente alla traiettoria

\(\overline{a}_\tau = \frac{d\overline{v}}{dt}, \, \frac{d^2s}{dt^2}\), \(\overline{a}_n = v \frac{d\overline{u}_t}{dt} \left(-\frac{ds}{dt} \right), \, \frac{d\overline{u}_t}{ds}\)

Moto circolare

Moto circolare:

\(\overline{\omega} = \frac{\Delta \overline{\theta}}{\Delta t}, \, \frac{\overline{\theta}_2-\overline{\theta}_1}{\Delta t}\) (velocità angolare media)

\(\omega = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \overline{\theta}}{\Delta t}\) (velocità angolare istantanea)

\(1 \, rad/s = \frac{30 \, gradi}{\pi} \, minuto\)

\(\overline{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}, \, \frac{\omega_2 - \omega_1}{\Delta t}\) (accelerazione angolare media)

\(\overline{\alpha} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \omega}{\Delta t}, \, \frac{d\omega}{dt}\) (accelerazione angolare istantanea)

\(1 = \frac{2 \, rad}{s^2}\)

Moto rotatorio con velocità angolare costante: \(\Theta(t) = \Theta_0 + \omega \cdot t\)

Moto rotatorio con accelerazione angolare costante:

\(\omega = \omega_0 + \alpha \cdot t\)

\(\omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha(\Theta_0 - \Theta_0)\)

\(\Theta - \Theta_0 = \frac{1}{2} \alpha (\omega_0 + \omega) \cdot t\)

Moto circolare uniforme: la traiettoria è una circonferenza percorsa con velocità in modulo costante e velocità angolare costante

\(\overline{r}(t) = x(t)\hat{\imath} + y(t)\hat{\jmath}\)

\(x(t) = r \cdot \cos(\omega \cdot t)\)

\(y(t) = r \cdot \sin(\omega \cdot t)\)

\(\overline{v}(t) = \dot{\overline{r}}(t) = \dot{x}(t)\hat{\imath} + \dot{y}(t)\hat{\jmath}\)

\(\dot{x}(t) = -r \cdot \omega \cdot \sin(\omega \cdot t)\)

\(\dot{y}(t) = r \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t)\)

\(\overline{a}(t) = \dot{\overline{v}}(t) = \ddot{x}(t)\hat{\imath} + \ddot{y}(t)\hat{\jmath}\)

\(\ddot{x}(t) = -r \cdot \omega^2 \cdot \cos(\omega \cdot t)\)

\(\ddot{y}(t) = -r \cdot \omega^2 \cdot \sin(\omega \cdot t)\)

|v| = ω · r

|a_t| = Δ|v|/Δt

T = 2π/ω

f = 1/T ≡ 1 (s^-1)

Accelerazione tangenziale

a_t = d|v|/dt = r · α

Accelerazione centripeta

a_c = |v|²/r = ω² · r = v²/r

Forze

Forze: La forza è quella azione, causata da un agente esterno al corpo, che provoca una variazione della velocità del corpo (o come intensità o come direzione) e quindi il corpo acquista un’accelerazione. La forza si suddivide in attrito e di contatto.

1° Legge della dinamica: In assenza di interazioni, tutti i corpi si muovono l'uno rispetto all'altro di moto rettilineo uniforme.

La forza è la causa delle variazioni del moto.

Il modo in cui una forza agisce su un’accelerazione fa sì che anche la forza sia un vettore F.

2° Legge della dinamica:

F = m · a

3° Legge di Newton:

F_AB = −F_BA

Forze peso:

P = m · g

Forze normale:

N = −P = − m ·g (diretta verso l’alto)

Legge di Hooke:

F = −k · x

Moto di caduta libera:

F = G · M_T · m/r² · r̂

a = G · M_T/r² · r̂ ≃ G · M_T/R_T² · r̂

Forze di attrito

Forze di attrito:

F_S,max = μ_s · N (forza di attrito statico max)

F_K = μ_K · N (forza di attrito dinamico) coefficiente di attrito dinamico

V_x = √(2 · g · h (1− μ_K · cosθ/m · g)) (con attrito)

V = √(2 · g · h) (senza attrito)

Moto viscoso

Moto viscoso:

F_d = b v (cost. viscosità fluido)

Moto di caduta di un grave in un fluido viscoso

F = m₀g + F_d = (m₀g - b v) a

v_L = ^m₀g/_b (velocità limite)

Tensione e macchina di Atwood

Tensione:

a_x = ^F/_{m1 + m2} T_x = ^m₁/_{m1 + m2} · F

Macchina di Atwood (ideale)

a = ^{M - m}/_{M + m} · g

T = ^2·m·M/_{M + m} · g

Forza elastica e moto armonico

Forza elastica:

F_e = - k · x spostamento dalla posizione di riposo della molla

Moto armonico:

-k x = m ^d2x/_dt²

x(t) = A · cos(ω t + φ) (moto armonico)

ω = ^k/_m

T = ^2π/_ω ^{μ =} ω/_2π

x(t) = x₀· cos ( ^k/_m t) v(t) = x₀ ^k/_m · sin ( ^k/_m t)

Pendolo semplice

Pendolo semplice:

θ = Θ · sin(ω t + φ)

ω = ^g/_L (moto armonico semplice)

T = ^2π/_ω = 2π · ^L/_g (periodo delle piccole oscillazioni del pendolo)

S(t) = L · Θ(t) = L · Θ₀ sin(ω t + φ) (spostamento)

^dθ/_dt = ω · Θ₀ · cos(ω t + φ) (velocità angolare)

v(t) = ^ds/_dt = L · ^dθ/_dt = L · ω · Θ₀ · cos(ω t + φ) (velocità lineare)

Dinamica del moto circolare

Dinamica del moto circolare:

F_c = m v_max² / R (forza centripeta)

v_max = √μ_s g R (velocità max in curva)

Esempio: Lancio di un oggetto in aria.

Y_max = v₀² / 2g

Lavoro, energia e potenza

Lavoro svolto su un sistema da una forza esterna:

W = ΔK + ΔU = ΔE_mec (in assenza di attrito)

W = ΔE_mec + incremento di energia termica (in presenza di attrito)

F_d = ΔE_mec + f_k d

Energia cinetica e lavoro:

K = 1/2 m v² (energia cinetica)

W = ΔK = K_f - K_i

W = ∫_A^B F · ds

Potenza:

P̄ = W / Δt (potenza media)

P_i = dw / dt (potenza istantanea)

P = F → · v → (in caso di forza costante F)

Forze conservative:

W_AB = ∫_A^B F · ds

Energia potenziale:

U(x) = 1/2 k x² + U₀ (energia potenziale)

U = 1/2 k x² (energia potenziale elastica)

U(y) = m g y (energia potenziale gravitazionale)

Energia meccanica:

E = K + U

Forze e gravitazione

Forze

F = G _{m 1} · _{m 2} /_r ²

G = 6,67 · 10 ^-11 N m²/kg²

U (_x) = - G _{M t} · _m /_r

F (_x) = - dU/_dr (forza centrale)

Moto orbitale

Moto orbitale:

E_mecc. cost.

E⁽ⁱ⁾ = - 1/2 m · v _i ² - G _{M t} · _m /_{R T}

E^(f) = E⁽ⁱ⁾

E^(f) = 1/2 m · v _f ² + O

v _i ² = v ₀ ² + 2 · G _{M T} /_{R T}

v _f = √2 · G _{M T} /_{R T}

Energia di un pianeta (orbita circolare)

U = - 2 K

K = G _{M T} / 2_r

v _o = √G _{M T} /_r

E_mecc. = O + k = -k

T _T = 2π · r = 2π · r^3/2 / √G _{M T}

Sistema di punti materiali

Sistema di punti materiali:

_{centro massa} r _cm = _{m 1 r 1} + _{m 2 r 2} / _{m 1} + _{m 2}

v _CM = m_{1 v 2} + _{m 2 v 2} / _{m 1} + _{m 2}

a _CM = m_{1 a 1} + _{m 2 a 2} / _{m 1} + _{m 2}

Urti

Urto elastico: nell'urto elastico si generano forze impulsive conservative e la variazione dell'energia potenziale elastica, durante la fase compressione, si trasforma in energia cinetica nella fase di rilascio e non ha dissipazione di energia o l'energia è meccanica prima e dopo l'urto è la stessa.

Urto anelastico: quando una parte o tutta l'energia meccanica iniziale del sistema viene dissipata nell'urto o l'energia meccanica non si conserva.

Urto completamente anelastico: dopo l'urto i due corpi restano attaccati formando un solo corpo l'energia spesa non viene più recuperata e l'energia meccanica non si conserva.