Formulario elettromagnetismo

Elettrostatica nel vuoto

F = K       &hat;r         → forza interazione (legge di Coulomb)        r²₁𝑓 = Q      r = Q      → campo elettrico       a³4πε₀       4πε₀r²𝑓 = ∫d𝑓 = ∫        r →       6                                      Q1Q2       4πε₀r³𝑓𝑓 = → d = densità carica volumetrico                                      𝘀 = densità carica lineare                                      ε = densità carica superficiale.

φ(𝐳) =                 É                            → flusso campo elettrico (Gauss)                                      S         ¹∫ ρldz,     ∫ c Δ A,     ∫ ⁴rC𝐱            Ô                 =                     &Xopf;&nldr; ζ &XopfΛ;V =        → energia potenziale                           q_x,y,z,tVdiv ∇E = ︲ ∇ε =                                    → divergenza campo elettrico&& E = <<>> densità carica volumetrica.

U = q_1q2q₃Vdiv v εε = ︲ ρ(x,y) ɹ²¹ ^N εε&pscr;vo = 6(1+πβ &subsup; _∑len mon(1))Eq due &Sub;®→ gr. εεV(ε) = ¼&x; εεε (x,y) εεε<H>V_AB = - ∫e Ø ε = → differenza di potenziale elettrostatico∇V = 'ELETTROSTATICA NEL VUOTOF = K _q1q2 ^âr / r² → forza tra cariche (legge di Coulomb)Ē = Q _âr / 4πε₀r² → campo elettricoĒ = ∫ dĒ = ∫ _Q / 4πε₀r³ rρ densità carica volumetricaλ densità carica lineareσ densità carica superficiale∮_S Ē ân dS = Q_int/ε₀ → flusso campo elettrico (Gauss)U = q₁q₂ / 4πε₀r → energia potenzialeU = 1/2 ∫ ρ(x,y,z,t) V(x,y,z,t) dz → dist carica volumetricaU = 1/2 ∫ G(x,y,z,t) V(x,y,z,t) Σ δU = 1/2 ∫∫ [ ρ(x,y,z,t) V(x,y,z,t) dz + G(x,y,z) V(x,y,z) δz ] Σdiv Ē = ∇ Ē = ρ(x,y,z,t)/ε₀ → divergenza campo elettricoeq di MaxwellV(r) = q/4πε₀r + V₀ → potenziale elettrostaticoV_AB - V_CB = - ∫_A^B Ē · dℓ → differenza di potenziale elettrostatico- ∇V = Ē → gradiente del potenziale elettrostatico.

Elettrostatica nei conduttori

Ėint = 0Et = 0CONDUTTORE È EQUIPOTENZIALESUP. ESTERNA È EQUIPOTENZIALECARICA ESTERNA (Qint = 0)CARICO SUPERFICIALEĖ = En ân (En = σ/ε₀) PROPRIETÀ DEI CONDUTTORIC = Q/V (conduttori)C = Q/ΔV (condensatori) capacità elettrica SFERA = 4πε₀R CONDENS.CARICO = 4πε₀ R₁R₂ / R₂-R₁.

Elettrostatica nei dielettrici

P̅ = q d̅ MOMENTO DI DIPOLOV(P̅) = Q d cosθ / 4πε₀ r²E(r̅) = -∇ V(1, r, Θ, φ) ∂V/∂r 1/r ∂V/∂Θ 1/sinΘ ∂V/∂φ C₀ = Q/ΔV₀ = ε₀ S/d CAPACITÀ CONDENSATORE CON IL VUOTOC = εr C₀ dove εr = ΔV₀/ΔV CAPACITÀ CONDENSATORE CON UN DIELETTRICOĖ = E͂c - E̅p|σe| = |σe+σp| / ε₀ CAMPO ELETTRICO COND. E DIELETTRICO[|σp| = [(εr-1)/(εr+0.ε)]<P̅> = P̅²/3εrT = αc.E̅ MOMENTO DI DIPOLO MEDIO (αc COEFF. POLARIZZABILITÀ)P̅ = dp/db = ε₀ Xe E̅ MOMENTO DI DIPOLOP̅ = ε₀ [(εr-1) E̅]σ_e = • n   →   dρ_e = -∇•P   →   dQ_e = ∫_S σ_edS = 0   →   d∇•D = ρ   →  1a eq Maxwell nei dielettriciD = Ε₀Ε_r • E   →   dE = D / Ε₀Ε_r.

Corrente elettrica

I = dq/dt,   dI = d/dt ∫ ρ_g dτ = - ∫ J•ndS   →   ddq=ln&partial;q = qnV_d dS cosα   dove   σg = qnV_d   dV_d = ΔV/2 = (|-e_{&EmptySmallSquare;}E |)/m Δt &= E • (|-e_b| 2/m) = kE   velocità di derivΔτ = δΛτ =   E/m Δt = (2E′ ||)∇•J = ∂ρ/∂t   →  Eq continuità corrente elettrica∇•J = 0,   ΣI=0   d   Kirchhoff  - ΣΔV_i...R = ΔV/I = ρ  ...   bisogna resistenza ( - serie   R_T=R₃+R₁)    bisogna ( ⋅⋅   (vRef | Parm. | RL) )W = δI/δt = d/dt (V^A-V^B)=I • ΔV   potenzi elettrici(•••••••••••) w :3: Δ²V/R)dW = •••l •• (G • &alphar;&surd; ••conductibilità)E_emf= |∫ Eds - V^A - V^B   forza elettromotrice  E = I/ ∫ S    E =| JdS/m   |     dove Pα ⊂ la remanenz...

Campi elettrostatici

Filo indefinito

\( \vec{E} = \int d\vec{E} = \int_{0}^{\infty} \frac{2 \lambda \cos{\theta}\, dl}{4\pi \epsilon_0 r^2} = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos{\theta}\, dl}{r^2} \) so che: \( dl = r \, d\theta \quad r = \frac{R}{\cos{\theta}} \) \( \Rightarrow \vec{E} = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \int_{0}^{2\pi} \frac{\cos{\theta} \, R \, d\theta}{R^2 \cos^2{\theta}} = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 R} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \) quindi \( \vec{E} = \frac{\lambda}{2\epsilon_0 R} \).

Piano indefinito

\( dQ = \sigma dS = \sigma 2\pi r \, dR \) \( d\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\cos{\theta}\, dQ}{r^2} = \frac{\sigma R \cos{\theta} \, dR}{2\epsilon_0 r^2} \) \( \vec{E} = \int d\vec{E} = \int \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left[ \frac{R\cos{\theta} \, dR}{r^2} \right] \quad dove \quad dR = \frac{x \, d\alpha}{\cos{\alpha}} \quad e \quad r \approx \frac{x}{\cos{\alpha}} \) \( = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \int \frac{x\cos{\alpha}}{x^2} \, d\alpha = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \int \sin{\alpha} \, d\alpha = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} [-\cos{\alpha}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \) quindi \( \vec{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \).

Spira e quello

\( d\vec{E} = \frac{\lambda \cos{\theta}\, dl}{4\pi \epsilon_0 x} \quad so \quad che \quad r^2 = R^2 + x^2 \) \(\cos{\theta} = \frac{x}{r}\) \(\Rightarrow \vec{E} = \int \frac{\lambda \cos{\theta}\, dl}{4\pi \epsilon_0 x} = \frac{\lambda \cos{\theta} 2\pi R}{2 \cdot 4\pi \epsilon_0 x} = \frac{\lambda \cos{\theta} R}{2\epsilon_0 x^2}\) quindi \( \vec{E} = \frac{\lambda R x}{2\epsilon_0 (R^2+x^2)^{3/2}} \).

E = ∫₀^R 2σzrdr / 4ε₀(z² + r²)^3/2 = 2σ / 4ε₀ ∫₀^R 2r / (z² + r²)^3/2 dr =pongo x = (z² + r²)2rdr = dx= 2σ / 4ε₀ ∫₀^R x^-3/2 dx = 2σ / 4ε₀ [₀^R] (z² + r²)^1/2= 2σ / 2ε₀ (1 - z / √(z² + R²)).

Campo magnetico statico

B = _μ0I/(4π) ∫ (dl × r) / r³· filo   _μ0I/(2πr)· spira   _μ0I/2        R²/(R² + z²)^3/2,       _μ0I/(2r)· solenoide   μ₀In· lastra   _μ0σ/2F = q V × B       (usare per calcolare F  della  V  una q)F = I ∫ (dl × B) = (μ₀/4π) (I₁I₂) (ρ/d)forza interazione magnetica tra 2 fili di lunghezza finitaF = (μ₀/2πd) (I₁I₂)dove: interazione magnetica tra 2 fili infiniticorrenti equivalenti → attrazionecorrenti non equivalenti → repulsione∮(B)  =  −∫Bdℓ = μ₀I = μ_0σconc    circolazione di B : B_sup(μ_0σsup)N.B.All'esterno il campo magnetico = 0Se  presente  bobina  nel  conduttore  :  pertanto  A_sup  considerata  nel  vuotoI ⊂ I/ _σsup Se  I = I  / qualsiasi momento  =(conc)  nel All'esterno di un conduttore  utilizzata  Iformule moto  a caricar = (_mV0/qB₀)       se il moto è qualsiasi uno VP = V_II (2mπ/m)/qB₀   passo quanto si innalza elettr.T= (2_πm)/(qB₀)X = 2R = (2mV₀)/(qB₀)       dove si forma  q nello spettrometro∇E = ρ/ε₀ ;   ∇B = 0 ;   ∇ × E = 0 ;   ∇ × B = μ_0σconc.

Campo magnetico variazione tempo

Fel = E . q forza elettricaFm = q v0 B0 forza magnetica Li pongo uguali se voglio EVc = - Q/C [1 - e^-t/τ] circuito RLCVrc = E0/R [1 - e^-t/τ] circuito RLεem = - dΦ(B)/dt = ∫ Ede forza elettromotrice indottaΔV = - ∫ Ede differenza potenzialePdisp = Iind² R potenza dissipataQ = ∫ Idt = ∫ demi/R = ∫ dΦ(B)/RIind = demi/R corrente indottaϕ(B) = ∫ B nds flusso di BN.B. nel caso di rotazione E = v x B con v = ω x R --> E = ωRBεem = -L dI/dt = -dΦ(B)/dt autoinduzioneΦa(B) = ∫ B ndsΦ(B₁) = ∫ ∫ B nds = M I₁ mutuainduzione (M coeff. mutuainduzione)Ue = ∫ uεdτ = ∫ E²dτ energia elettrica [uε densità d'energia = 1/2 ε0 E²]Um = ∫ umdτ = ∫ B²/2μ0 dτ energia magnetica [um densità d'energia = 1/2 B²/μ0]Φ(B₁) = B S cos(ω0 t)εem = ω0 B0 S sin(ω0t) generatori alternati.

Onde elettromagnetiche

E = E₀ cos (kx - ωt + φ)B = E₀ cos (kx - ωt + φ) / conde pianeE = E₀ cos (kx - ωt + φ)B = E₀ cos (kx - ωt + φ) / conde sfericheN.B. le onde si possono anche indicare con E = E₀ e^{i(kx - ωt + φ)} andando a considerare E₀ a dose parte realeinfatti in modo complesso di onde è E = E_oe^{i(kx - ωt)}, E₀₂ e^{i(kx - ωt)}costanti che onde: K = 2π/λ = ω/vλ = v/νnumero d’ondaω = 2πνlunghezza d’ondaU_em = 1/2 ε₀E² + 1/2 (B²/μ₀) = ε₀E²densità energia onda elettromagneticaP = c²ε₀E x B|P| = cε₀E² = E² / zvettore di Poynting (il modulo = alla intensità)I = c U_em = c ε₀E² = E² / zintensità d’onda( z = √(μ₀/ε₀) = impedenza )< I > = c/2 ε₀E₀² = E₀² / 2zintensità d’onda mediaP_r = I z / c = E² / 2cpressione radiazioneI₁ = I₀ cos² (α) (1°) I₂ = I₀ cos² (2α - α₁) (2°)lineare se φ = 0circolare se φ = π/2 e E_o1 = E_o2ellittica se φ ≠ π e φ ≠ π e E_o1 ≠ E_o2tipologie di polarizzazione.

Ottica

Interferenza

<I> = <I₁> + <I₂> + 2E_0,1E_0,2 ¹/_T∫ |g(t)| dt<I> = <I₁> + <I₂>se ω₁ ≠ ω₂ e k₁ ≠ k₂<I> = <I₁> + <I₂> + 2√(<I₁><I₂>) ^cosΔΦ/₂se ω₁ = ω₂ e k₁ = k₂→<I> = <I₁> + <I₂> + 2√(<I₁><I₂>) costruttiva ΔΦ = n2π<I> = <I₁> + <I₂> - 2√(<I₁><I₂>) distruttiva ΔΦ = (n+1)π<I> = <I₁> + <I₂> quadratura ΔΦ = ^π/₂ + n2π<I> = 2 <I₀> [1 + cosΔΦ] I_c = I₁2 fenditure<I> = 2 <I_∞> [1 + cosΔΦ]con ΔΦ = kΔx = kdsinθpto massimo ΔΦ = 2kπ con m = 0pto minimo ΔΦ = [2m + 1]πfigura interferenzan fenditure<I> = I₀ ^{sin [(NΔΦ)/₂]}/_{sin² [^ΔΦ/2]}pto massimo assoluti ^ΔΦ/₂ = mπpto massimo relativo N ^ΔΦ/₂ = [2m + 1] ^N/₂pto minimo assoluti N ^ΔΦ/₂ = mπN.B. P = N² I₀ ΔΦ_eff ≥ P_minN² ≥ ^P_min/_I0ΔΦeff.