Formulario di analisi modulo 1 - 1

Funzioni

Come determinare l'insieme di definizione di una funzione

Il dominio di una funzione, o insieme di definizione, è quel sottoinsieme di R in cui è definita. Per determinare l'insieme di definizione partendo dall'espressione analitica della funzione è sufficiente individuare in quali punti o intervalli di R la funzione non è definita, ossia i punti e gli insiemi di punti in cui non ha senso valutare la funzione.

Casi

• Rapporti → denominatore diverso da zero (≠0);
• Logaritmi → se la base è un numero, l'argomento deve essere maggiore di zero (>0); se la base dipende dall'incognita, la base deve essere maggiore di zero (>0) e diversa da uno (≠1).
• Radici con indice pari → radicando maggiore o uguale a zero (≥0);
• Arcoseno / arcocoseno → argomento compreso tra -1 e 1 (doppia disequazione);
• Esponenziale con base variabile → base maggiore di zero (>0).

Si noti che le funzioni come tangente e cotangente, secante e cosecante possono essere espresse sotto forma di rapporti. Esse ricadono quindi nella regola dei rapporti: denominatore diverso da zero. Se non compare nessuno dei precedenti termini, allora concluderemo immediatamente che l'insieme di definizione è tutto R.

Come determinare l'insieme dei valori di una funzione

Il codominio di una funzione è l'insieme in cui sono contenute le immagini della funzione. L'immagine di una funzione è l'insieme dei valori assunti da una funzione sul proprio dominio, ed è quindi contenuta nell'insieme di arrivo della funzione (il codominio), con il quale può al più coincidere. Data una funzione con dominio R, chiamiamo immagine di f l'insieme.

In parole povere, in riferimento alla rappresentazione di una funzione nel piano cartesiano, l'immagine di una funzione reale di variabile reale è l'insieme di tutte le ordinate corrispondenti alle ascisse di R mediante la funzione.

Funzione iniettiva

Una funzione si dice iniettiva se elementi distinti del dominio (l'insieme su cui la funzione è definita, nel nostro caso X) hanno immagini distinte. f: X → Y è iniettiva se x₁, x₂ ∈ X t.c. x₁ ≠ x₂ → f(x₁) ≠ f(x₂). O analogamente, una funzione è iniettiva se comunque si scelgano due elementi che hanno la stessa immagine, allora i due elementi devono necessariamente coincidere: x₁ = x₂ → f(x₁) = f(x₂).

Esempi

• f: x ∈ R → x² ∈ R non è iniettiva perché -1 e 1 hanno la stessa immagine
• f: x ∈ R → x + 1 ∈ R è iniettiva perché x₁ ≠ x₂ → x₁ + 1 ≠ x₂ + 1

Funzione suriettiva

Una funzione è suriettiva se l'immagine della funzione coincide con il codominio, che è l'insieme di arrivo della funzione (nel nostro caso Y). f: X → Y è suriettiva se per ogni elemento y ∈ Y esiste almeno un elemento del dominio x ∈ X tale per cui y è l'immagine di x mediante f.

Esempi

• f: x ∈ R → x² ∈ R non è suriettiva perché l'immagine non copre tutti i valori di R
• f: x ∈ R → x + 1 ∈ R è suriettiva

Funzione biettiva (o biunivoca)

Una funzione f: X → Y è biettiva se è contemporaneamente suriettiva e iniettiva.

Funzione invertibile

Una funzione è invertibile se è possibile definire una nuova funzione che percorre al contrario la legge di f.