Geometria e Algebra lineare - Formulario

Vettore

Vettore = v = Q-P: insieme di bipunti con modulo, direzione e verso di (P,Q).

Proprietà

Somma dei vettori

v + w = w + r

(v + w) + t = (w + t) + r

v + 0 = v

v + (-v) = 0

Moltiplicazione per scalare

λ(v + w) = λv + λw

(λ + μ)*v = λv + μv

λ*(μv) = (λμ)*v

1*v = v

Moltiplicazione

Moltiplicazione (Vettore)*(Scalare, λ)

λ*v =  λ*v

Se λ = 0, λ*v = 0

Se λ>0, λv è il vettore che ha stessa direzione e verso di v e modulo pari a λ*|v|

Se λ<0, λv è il vettore che ha stessa direzione di v ma verso opposto e modulo pari a |λ|*|v|.

Versore

Versore = Vettore modulo unitario. Dato un vettore v ≠ 0 esistono due versori che hanno stessa direzione, verso opposto che sono: (1/|v|)*v e (-1/|v|)*v.

Teoremi

Teorema 1

Sia v ≠ 0. Un vettore w è parallelo a v, se e solo se è esprimibile come combinazione lineare di v, a*v, ossia c’è una sola combinazione. Le comb. lin. di v sono  sono i multipli tutti paralleli a v. Quindi se w è parallelo a v, w = a*v con a = + |w|/|v|.

Teorema 2

Siano v e w non paralleli 0. Un vettore t è complanare con v e w solo esprimibile con l’unica combinazione lineare di v e w. Il vettore t complanare con v e w è nella forma: t = a*v + b*w.

Teorema 3

Siano v, w e t 0, tre vettori non complanari, allora ogni vettore s = λv + υt è esprimibile come combinazione lineare di w, v e t e ha forma: s + wμ =

Teorema 4 (dipendenza)

Se all’interno di un insieme di vettori c’è anche il vettore nullo, l’insieme è dipendente.

Teorema 5 (dipendenza)

Un insieme di due vettori {v₁, v₂} è linearmente dipendente se e solo se i due vettori sono paralleli (che sono complanari è sottointeso).

Teorema 6 (dipendenza)

Un insieme di 3 vettori è linearmente dipendente se e solo se tali vettori sono complanari.

Riassumendo

• 2 Vettori: se paralleli (complanari) dipendenti ↔ prodotto vettoriale = 0
• 3 Vettori: se complanari dipendenti ↔ prodotto misto = 0
• 3 Vettori: se non complanari indipendenti formano base (Corollario)

Base di tre vettori

Base di tre vettori (l₁, l₂, l₃) = E’ un qualunque insieme di V₃ per il quale:

Ogni vettore w € V₃ è esprimibile come comb. lin. di (l₁, l₂, l₃).

C’è un’unica combinazione l