Formulare e risolvere il problema dell'equilibrio elastico- parte 7

Formulare e risolvere il problema dell'equilibrio elastico lineare

Formulazione

Dato un corpo B nella sua configurazione di riferimento, un corpo omogeneo, isotropo, costituito da materiale linearmente elastico e sia caratterizzato da una frontiera DB in parte libera e in parte vincolata.

Studio del corpo B

DB = Frontiera del corpo (continua)

DB_L = Frontiera libera del corpo, dove assegno forze superficiali di tipo t.

DB_V = Frontiera vincolata del corpo, dove assegno u (gli spostamenti).

La frontiera DB = DB_V ∪ DB_L, DB_V ∩ DB_L = Ø.

Dati assegnati al corpo

• Geometria del corpo: B, DB.
• b(x) ∀x ∈ B, forze di volume.
• t̂(x) ∀x ∈ DB_L, forze di superficie.
• u(x) ∀x ∈ DB_V, spostamenti legati ai vincoli della frontiera vincolata.

Problema

Il problema dell'equilibrio elastico lineare consiste proprio nel "ricercare" per questo corpo, la tripletta (degli stati elastici) dei campi di: spostamento, deformazione e tensione.

{ μ(x), E(x), T(x) } ∀x ∈ B.

Questo significa che la soluzione di problema visto deve valere in ogni punto del corpo B e i vincolati e che vengano soddisfatte, le equazioni di campo e le equazioni al contorno (legate alle condizioni della frontiera libera e vincolata).

Determiniamo tali equazioni.

Formulare e risolvere il problema dell'equilibrio elastico lineare

Materiale

Metallo elastico isotropo.

Formulazione

Dato un corpo B nella sua configurazione di riferimento, un corpo omogeneo isotropo, costituito da materiale linearmente elastico e sia caratterizzato da una frontiera totale ∂B in parte libera e in parte vincolata.

Studio del corpo B

DB = Frontiera del corpo (continua).

DB_L = Frontiera libera del corpo, dove assegno forze superficiali di tipo T^s.

DB_V = Frontiera vincolata del corpo, dove assegno μ (gli spostamenti).

La frontiera ∂B = DB_L ∪ DB_V, DB_L ∩ DB_V = ∅.

Dati assegnati al corpo

• Geometria del corpo: B, ∂B.
• ∀x ∈ B, forze di volume.
• ∀x ∈ ∂B_L, forze di superficie.
• ∀x ∈ ∂B_V, spostamenti legati ai vincoli della frontiera vincolata.

Problema

Il problema dell'equilibrio elastico lineare consiste proprio nel "ricercare" per questo corpo, la tripletta (degli stati elastici) dei campi di: spostamento, deformazione e tensione.

Questo significa che la soluzione del problema risolto deve valere in ogni punto del corpo B e si richiede che vengano soddisfatte, le equazioni di campo e le equazioni al contorno (legate alle condizioni della frontiera libera e vincolata).

Determiniamo tali equazioni.

1. Le equazioni di campo, estese a tutto il corpo

Traslazione.

div T + b = 0.

T = T^T.

Eq. di equilibrio.

Rotazione.

3 condizioni sugli spostamenti.

Nota: siccome stiamo studiando il "problema elastico lineare legato al contorno", quindi alla superficie, alla frontiera ∂B, diamo per scontato che la prima eq. oltre essere comunque soddisfatta, ossia che le forze di volume b, in tutto il corpo devono essere in equilibrio ossia nulle!

E = ¹⁄₂ ∇u + ∇u^T.

Eq. di congruenza: lega le deformazioni agli spostamenti.

6 condizioni.

T = A · E.

Eq. costitutiva: lega tensioni agli spostamenti, nell'ipotesi di solido isotropo di materiale linearmente elastico.

6 equazioni.

Inoltre, sulla frontiera ∂B del corpo devono essere soddisfatte le:

2. Condizioni al contorno, sulla superficie

T^{^}m = λ^{^} ∀ x ∈ ∂B_e (frontiera libera).

μ = μ(x) ∀ x ∈ ∂B_v (frontiera vincolata).

(∞ soluzioni).

Importante

Determinate le equazioni. Fra gli stati elastici {μ, E, T} che posso determinare associati a B, devo "ricercare" quelli che non solo mi soddisfano le eq. di campo, ma devono anche soddisfare le condizioni al contorno (che riguardano la frontiera ∂B), andremo così a determinare la "soluzione" al problema misto di elasticità lineare, (legato al contorno ossia quando la frontiera è sia libera che vincolata).

Oss:₁

Per quanto riguarda la frontiera, il contorno delle condizioni al contorno, che ci portano a studiare delle soluzioni dirette ossia quando:

• ∂B_e ≡ ∂B_v &quad; e non c'è la frontiera libera ∂B_e = 0.

Le condizioni al contorno saranno solo negli spostamenti (problema negli spostamenti).

_D ΓDB = ΓDBL e non c'è la frontiera vincolata ΓDBV = 0.

Le condizioni al contorno saranno solo nelle forze (proprietà nelle forze).

_© Se ΓDBV ≠ 0 e ΓDBL ≠ 0, quindi ci sono entrambe le frontiere che caratterizzano il contorno del corpo, questa condizione al contorno sarà detta "problema misto".

Quindi: il problema dell'equilibrio elastico lineare sta proprio nel trovare quest'ultima soluzione, quando la frontiera del corpo è in parte libera è in parte vincolata.

Dalle equazioni di campo scritte prima, caratterizziamo un problema retto da 15 equazioni nelle derivate parziali di tipo lineare.

Soluzione

Il problema si risolve imponendo le condizioni al contorno, dal punto di vista matematico è bene che detto problema sia ben posto (nel senso del matematico Hadamard) ossia che:

• La soluzione esista.
• La soluzione è unica.
• La soluzione dipenda con continuità dai dati al contorno (assorbisca la stabilità della soluzione).

Da queste proprietà (fornite del matematico H.) ci interessa la b ossia dire che la soluzione è unica. Per affermare ciò, bisogna studiare il teorema di sovrapposizione degli stati elastici.

Teorema di sovrapposizione degli stati elastici, in generale

Siano {μ₁, E₁, T₁} e {μ₂, E₂, T₂} due stati elastici rispettivamente corrispondenti ai dati {b₁, δ₁, μ₁} e {b₂, δ₂, μ₂}.

Allora ∀ α, β (scalare, ovvero un numero) (∀ α, β ∈ R).

{αμ₁ + βμ₂, αE₁ + βE₂, αT₁ + βT₂} "soluzione" stato elastico corrispondente ai cosiddetti:

{αb₁ + βb₂, αδ₁ + βδ₂, αμ₁ + βμ₂}.

La dimostrazione è una diretta conseguenza della linearità delle equazioni del problema.

Osservazione riguardo gli scalari α e β (α, β ∈ R)

1^a osservazione.

Se β = 0, allora che {αμ₁, αE₁, αT₁} rispettivamente, corrispondente ai dati {αb₁, αδ₁, αμ₁}.

Notiamo la dipendenza proporzionale dei dati della soluzione.

2^a osservazione.

Se α = 1, β = ±1.

La soluzione del problema somma (differenza) è la somma (differenza) delle 2 soluzioni.

(Questo in teoria lineare quando ho materiale elastico).

3^a osservazione (non lineare) φ non lineare.

Se il materiale è anche iperelastico esiste φ (energia specifica di deformazione) che risulta essere una funzione non lineare di E (della deformazione).

Caratterizzando l'energia per un materiale iperelastico diciamo che:

∃! φ ∃ A' = ¹⁄₂ A•E : E.

Dim. Se considero due stati di deformazione associati dell'energia, da risultato:

φ (E₁ + E₂) = ¹⁄₂ A (E₁ + E₂) • (E₁ + E₂) == ¹⁄₂ A•E₁•E₁ + ¹⁄₂ A E₂•E₂ + ¹⁄₂ A E₁•E₂ + ¹⁄₂ A E₂•E₁.

φ(E₁) φ(E₂).

Poiché A è simmetrico, A E₁•E₂ = A E₂•E₁.

Quindi in definitiva scriveremo:

Ψ(E₁+E₂) = Ψ(E₁) + Ψ(E₂) + A E₁•E₂.

Questo termine mi fa capire che la funzione Ψ non è lineare considerando due stati di deformazione.

Teorema di unicità di Kirchhoff (1859)

Dato un corpo B, un corpo materiale ipoelastico, quindi significa che andremo a definire per questo corpo anche l'energia.

Questo corpo soggetto a forze e spostamenti (b, t, u) che saranno i miei dati:

Dati del corpo

dB = Frontiera del corpo.

dBL = Frontiera libera dove agiscono forze superficiali di tipo t. t(x)∈ dBL.

dBV = Frontiera vincolata dove agiscono gli spostamenti coerenti alla parte vincolata U=U(x)∈ dBV.

Su β = aggiungiamo forze di volume b.

b(x)∈ B.

Ipotesi

Il tensore elastico A (che lega T ed E) sia definito positivo.

A è definito positivo.

E Pos⁺ ⇔ A: A ⋅ A > 0.

(AE ⋅ E > 0)_{V∈E Sym -{0}}.

Tesi

La soluzione è unica a meno di uno spostamento rigido infinitesimo.

La condizione di "definitezza positiva" per i materiali ipoelastici rappresenta una restrizione di plausibilità fisica, dove viene garantita che l'energia elastica di deformazione sia definita positiva! Ossia per deformare un corpo a partire da una configurazione di riferimento bisogna spendere un lavoro.

Kirchhoff come dimostra che la soluzione sia unica? (Con il teorema virtuale).

Dimostrazione per assurdo

Dimostrazione per assurdo (suppone) che ci siano che esistano 2 soluzioni.

1^a soluzione: {u₁, E₁, T₁} corrispondenti agli stessi dati di [b, t, u].

2^a soluzione: {u₂, E₂, T₂}.

Consideriamo la soluzione (differenza) per il "principio di sovrapp. degli stati elastici".

{u₁, E₁, T₂} = {μ₁, E₁, T₃} - {μ₂, E₂, T₃} = {μ₁-μ₂, E₃=E₁-E₂, T₁-T₂}.

• Lo stato elastico "differenza" _{μ, E, T} è soluzione del problema, con i dati di contorno che risulteranno nulli:

{ b - b = 0 Â = 0 μ̂ - ̂ = 0 Dati ai contorno [0, 0, 0] b̂ â ̂.

• Ora, per la soluzione trovata, applichiamo il "teorema dei lavori virtuali" scrivendo i due sistemi: {forze - tensioni}; {spostamenti - deformazione}.

1) Sistema forze - tensioni

Poiché sia {o; o; T} b̂ â spost. equilibrato.

div T = 0 ∀ x ∈ B.

T = T^T ∀ x ∈ B.

T Â = 0 ∀ x ∈ DBÊ.

2) Sistema spostamenti - deformazione

Poiché sia congruente {o; E} ̂ deform.

E = 1/2 ∇u + ∇u^T ∀ x ∈ B.

u = o ∀ x ∈ DBv ̂.

• Definiti i sistemi, per il ^th dei lavori virtuali in generale si ha che: L_v^est = L_v^int.

∫_DBÊ ŝ . μ dA + ∫_B b̂ . u dV = ∫_B T . E dV.

Sostituendo sappiamo che: ∫_DB o . μ dA + ∫_DBê o . u dV = ∫_B T . E dV ➔.

• Nel nostro caso essendo la frontiera.

• ∫_DB ➔ Â = o ➔.

• ∫_DBv ➔ ̂ = 0 ➔.

• ∫_B T . E dV = 0.

L_v^int resta invariato.