Formula per la determinazione delle terne pitagoriche

Formula per la determinazione delle

Terne pitagoriche e sue primitive

di Renato Signore

Dato un triangolo rettangolo, dove “a” e “b” sono i cateti e “c” l’ipotenusa, sappiamo dal

teorema di Pitagora che a² + b² = c²

da cui seguono le seguenti formule:

a² + b² + 2ab = c² + 2ab

(a + b)² - c² = 2ab

(a + b + c)·(a + b - c) = 2ab

Da quest’ultima:

2ab

+ − =

a b c

(1) + +

a b c

ab = = ⋅

n X Y

Ponendo:

+ +

a b c 2 si ricava “a”

a = c - b + 2XY da cui ponendo c-b = X² si ricava “b”

b = c - a + 2XY da cui ponendo c-a = 2Y

c = a + b – 2XY da cui sostituendo “a” e “b”, si ricava “c”

Il tutto è dimostrabile sostituendo nella (1) i valori di “a”, “b”, “c” con le rispettive uguaglianze

della formula generale.

Formula generale per calcolare le terne pitagoriche

Y ^

: |

: | 2 + 2XY Formula generale per calcolare le terne pitagoriche

6 | a = X

2 + 2XY X ed Y sono le coordinate dei punti di

5 | b = 2Y

2 2

+ 2Y + 2XY un piano cartesiano in numeri naturali

4 | c = X

3 |

2 |

1 |-------------------------------------------------->

1 2 3 4 5 6 …………… X

Le TP (terne pitagoriche) primitive hanno: “X dispari” ed “X, Y primi fra loro”.

Esempio di calcolo delle TP

TP

n (X, Y) a b c primitiva

-----------------------------------------------------------------------

• n = 1 = (1 * 1) a = 3 b = 4 c = 5 sì
• n = 2 = (1 * 2) a = 5 b = 12 c = 13 sì
• = (2 * 1) a = 8 b = 6 c = 10 no
• n = 3 = (1 * 3) a = 7 b = 24 c = 25 sì
• = (3 * 1) a = 15 b = 8 c = 17 sì
• n = 4 = (1 * 4) a = 9 b = 40 c = 41 sì
• = (2 * 2) a = 12 b = 16 c = 20 no
• = (4 * 1) a = 24 b = 40 c = 56 no
• n = 5 = ( ) e così via.

Dalla formula generale, per ogni numero naturale n = X·Y, si generano tante TP

(a, b, c in numeri interi) quanti sono i divisori naturali di n stesso. 1